數(shù)學物理方程 2 分離變量法

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1、第二章第二章 分離變量法分離變量法本章中心內容 第第2 2章章 分離變量法分離變量法 用分離變量法求解各種有界問題；第二章第二章 分離變量法分離變量法 ,(1)nAxxxR第二章第二章 分離變量法分離變量法nR 1(2)TATD12 ,.,nDdiag 12. nTT TT1212. . nnA T TTT TT D,1(3)iiiATTin 第二章第二章 分離變量法分離變量法nbR.Axb (1)iTin n11,nniiiiiixTbTxbAbx11nniiiiiix ATbT11nniiiiiiixTbT第二章第二章 分離變量法分離變量法 iT1iiixb1niiixTx120, ( )

2、( ( ),( ),.,( ),0.nTnntx t x tx tR txx0( ), (0)(4)tdtdxAxfxx( ) tf(,) ,0.12,.,Ttndtdxx xx( ), ,tx x f (1)iTin 第二章第二章 分離變量法分離變量法011100,( )( )nnniiiiiiiiixxf txT xT f tT011( ),(0),1(5)nniiiiiiiiiidxxf txxindtTT 1niiixxT0, .ACl2( )0, |(0)( )0(6)X xClXX l 第二章第二章 分離變量法分離變量法22dAdx (0)( )0XX l( )X x ( )0X

3、x ( )( )AX xX x( )( )0,0(7)(0)( )0XxX xxlXX l2( )( )( )0Xx X xXx第二章第二章 分離變量法分離變量法200( )( )( )0llXx X x dxXx dx22000( )( )|( )( )0lllX x X xX xdxX x dx2020( )(8)( )llX xdxXx dx第二章第二章 分離變量法分離變量法0( )( )0XxX x12( )X xcc x( )0X x 00( )( )0XxX x12( )cossinX xcxcx120,sin0cclsin0l,1lnn2,1nnnl第二章第二章 分離變量法分離變

4、量法sin,1nnXcx nl2,1nnnlsin,1nnXcx nl第二章第二章 分離變量法分離變量法( , )( , )( , )( , )( , )( , )0AuBuCuDuEuFu 11111( , )( , )( , )( , )( , )0(*)xxyyxyA x y uC x y uD x y uE x y uF x y u( , )( ) ( )u x yX x Y y 對于一個給定的偏微分方程實施變量分離應該對于一個給定的偏微分方程實施變量分離應該具備具備什么條件什么條件？對于任何對于任何二階線性（齊次）偏微分方程二階線性（齊次）偏微分方程： ：標準形式標準形式( ) (

5、)X x Y y第二章第二章 分離變量法分離變量法11111( , )( , )( , )( , )( , )0A x y XY C x y XYD x y XY E x y XYF x y XY代入標準形式即有代入標準形式即有1. 1. 常系數(shù)偏微分方程常系數(shù)偏微分方程若（若（* *）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，將方程兩邊同將方程兩邊同除以除以XY, , 則則0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY 第二章第二章 分離變量法分離變量法1. 1. 常系數(shù)偏微分方程常系數(shù)偏微分

6、方程若原方程的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的若原方程的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的 , , , ,a c d e f代表代表 11111,A C D E F，將方程兩邊同將方程兩邊同除以除以XY, , 則則0XYXYacdefXYXYaXdXcYeYfXY 第二章第二章 分離變量法分離變量法要等式恒成立，只能它們等于一個既不依賴于要等式恒成立，只能它們等于一個既不依賴于x, ,也也不依賴于不依賴于y的常數(shù)，記為的常數(shù)，記為 ，從而得到兩個常微分，從而得到兩個常微分方程方程0()0aXdXXcYeYfY對于變系數(shù)函數(shù)對于變系數(shù)函數(shù) 111( , ),( , ),( , ),A x y C x y

7、D x y ，假設存在某一個函數(shù)，假設存在某一個函數(shù) ( , )0P x y ，使得方程除以使得方程除以( , )P x y后變?yōu)榭煞蛛x的形式后變?yōu)榭煞蛛x的形式第二章第二章 分離變量法分離變量法上式要恒成立，只有它們均等于同一個常數(shù)，記為上式要恒成立，只有它們均等于同一個常數(shù)，記為 112233( )( )( )( ) ( )( )0a x XY b y XYa x XY b y XYa xb y XY123123()XXYYaaabbbXXYY ，從而得到兩個，從而得到兩個123123()0;()0a Xa XaXbYb YbY由以上討論知道：對于由以上討論知道：對于常系數(shù)二階偏微分齊次方常

8、系數(shù)二階偏微分齊次方程，總是能實施變量分離程，總是能實施變量分離 需要滿足一定的條件，即必須找到討論需要滿足一定的條件，即必須找到討論2 2中適中適當?shù)漠數(shù)?函數(shù)才能實施變量分離函數(shù)才能實施變量分離 但對于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程但對于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程 ( , )P x y第二章第二章 分離變量法分離變量法第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件( )|,x lu x |, x lux 邊界條件可實施變量分離的條件邊界條件可實施變量分離的條件一維的情形（設在邊界點一維的情形（設在邊界點xl處），常見的處），常見的 三類邊界條件為三類邊界條件為|x luhux第二章第

9、二章 分離變量法分離變量法假設具體定解問題（以弦的橫振動為例）的邊界假設具體定解問題（以弦的橫振動為例）的邊界條件為齊次的：條件為齊次的： (0, )0, ( , )0utu l t( , )( ) ()u xtX xT t(0) ( ) 0, ( ) ( ) 0XT tX l T t可見，只有當邊界條件是齊次的，方可分離出單變可見，只有當邊界條件是齊次的，方可分離出單變量未知函數(shù)的邊界條件此外，進行分離變量時，量未知函數(shù)的邊界條件此外，進行分離變量時，還須根據具體情況確定直角坐標系，球坐標系以及還須根據具體情況確定直角坐標系，球坐標系以及柱坐標系柱坐標系( , )u x t( )0T t 須

10、須(0)0, ( )0XX l第二章第二章 分離變量法分離變量法例例 1 1 泛定方程：泛定方程：2( , )ttxxua uf x t邊界條件：邊界條件：0( )tux 0( )ttux 00( , )xu x t0( , )x lu x t初始條件：初始條件：對于確定的頻率，解是駐波：對于確定的頻率，解是駐波：波腹波腹波節(jié)波節(jié)2.557.51012.515-1-0.50.51每一點繞平衡位置振動每一點繞平衡位置振動( )T t振幅隨位置變化振幅隨位置變化( )X x駐波解：駐波解：( , )( ) ( )u x tX x T t這是解的分離變量這是解的分離變量(0,0)xl t182.2.

11、1 2.2.1 齊次邊界弦振動方程定解問題齊次邊界弦振動方程定解問題第二章第二章 分離變量法分離變量法( ) ( )( , )X x T tu x t2( )( )( )XxT tXa T t2( )( ),( )XxT tXa T t ( )( )0XxX x第二章第二章 分離變量法分離變量法(0, )( , )0,utu l t(0) ( )( ) ( )0XT tX l T t( )T t(0)( )0XX l( )( )0,0(0)( )0XxX xxlXX l2,1;nnnl( )sin,1.nnXxx nl第二章第二章 分離變量法分離變量法1( )nnXx11( )( )sin(2

12、)nnnnnnxXxxl11( )( )sin(3)nnnnnnxXxxl11( , )( )( )( )sin(4)nnnnnnf x tf t X xf txl11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t X xT txl02( )sin()lnnss dsll第二章第二章 分離變量法分離變量法02( )sin()lnnss dsll02( )( , )sin()lnnf tf s ts dsll( )nT t( , )( , )f x tu x t,( )nT t( )nT t11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t X xT

13、txl11( , )( )( )( )sin(4)nnnnnnf x tf t X xf txl第二章第二章 分離變量法分離變量法11( , )( )( )( )sin(4)nnnnnnf x tf t X xf txl11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl2( , )ttxxua uf x t2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnT t XxaT t Xxf t Xx2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnT t XxaT tXxf t Xx211( )( )( )( )( )nnnnnnnnT

14、 taT t Xxf t Xx2( )( )( )nnnnT taT tf t第二章第二章 分離變量法分離變量法11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl11( ,0)( )(0)( )sinnnnnnnu xxTXxxl(0),1nnTn11( ,0)( )(0)( )sintnnnnnnu xxTXxxl第二章第二章 分離變量法分離變量法(0),1nnTn11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl2( )( )( )(1)(0),(0)nnnnnnnnT taT tf tnTT2( )( )0nnn

15、T taT t121122( )cossinnn an aT tctctc yc yll第二章第二章 分離變量法分離變量法2( )( )( )nnnnT taT tf t211122120012121212( )( )( )ttnnny fy fT tc yc yydydyyyyyyyy1200( )cossincos()sin()( )cos()( )sin()nnnttn an an aT tctcttllln an affn alldtdn an alll1 12201( )( )sin ()xnT xc yc yfk xdk的通解的通解)(. 42xfyky 第二章第二章 分離變量法分

16、離變量法1200( )cossincos()sin()( )sin()cos()( )nttnnn an aln aT tctcttlln aln aln an afdtfdln all120( )cossin( cos()sin()sin()cos()( )ntnn an alT tctctlln an an an an attfdllll第二章第二章 分離變量法分離變量法120( )cossinsin()( )ntnn an alT tctctlln an atfdl(0),(0)nnnnTT0( )cossinsin()( )nnntnn aln alT tttln aln an atf

17、dl第二章第二章 分離變量法分離變量法11( , )( )( )( )sin(5)nnnnnnu x tT t XxT txl02( )sin()lnnss dsll01cossinsin()( , )s( )innntnnn aln alttln aln aun atfx tnlxld02( )sin()lnnss dsll第二章第二章 分離變量法分離變量法0101102( , )( )sin()sicos2sinsin(n( )sin()sin)( )sinlnlnntnnnu x tss dsxlllnnss dn atln atn alln atfdn alsxllnxl第二章第二章

18、分離變量法分離變量法 ）3101012( , )( )sin()sin( )sicosn()s nsii2nlnlnnnu x tss dsxlllnnss dsn atln atn alxll第二章第二章 分離變量法分離變量法002( , )( )sin()( )sin()si2sincosnllnnnnux tss dsssn an attn adsxllllll22,arctan,nnnnnnnDn aNCDCl( , )()ssincionsnnnn an attnux tCDllxl( , )sinsin()nnnnnux tNxtl( , )nux tsinnnNxlnn第二章第二

19、章 分離變量法分離變量法第二章第二章 分離變量法分離變量法0 x xl例例 2 2 sin t21sin,0,0(0, )0, ( , )0,( ,0)0,( ,0)0,0ttxxxtua utxl tutu l tu xu xxl22,0.nan( )( )0.0(0)0,( )0XxxxlXX l第二章第二章 分離變量法分離變量法( )( )0,0(0)0,( )0XxxxlXX l2(21)(21),( )cos,122nnnnXxx nll1sin t0( )( )0XxX x12( )cossinX xcxcx1( )nnXx11sin( )( )nnntf t Xx第二章第二章 分

20、離變量法分離變量法021214( )sinsinsinsin2(21)lnnnf ttdtftlln 0( , )( )( )nnnu x tT t Xx2( )( )sinnnnnT taT tft211( )( )sin( )nnnnnnnT taT tftXx2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnT t XxaT t Xxf t Xx2111( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnT t XxaT tXxf t Xx第二章第二章 分離變量法分離變量法( ),0nT t n 2( )( )sin,0(0)0,(0)0nnnnnnT taT tft t

21、TT121122( )cossinnnnT tcatcatc yc y211122120012121212( )( )( )ttnnny fy fT tc yc yydydyyyyyyyy1211222100( )( )sin( )sinttnnnnnf yf yT tc yc yydydaa 第二章第二章 分離變量法分離變量法2222( )sinsin()nnnnnnnffT tattaaa 0n 222.na2220.a( )|1nT tn0n 200000( )( )sin,0(0)0,(0)0T tT tft tTT012( )cossinT tctct0i tf e2000( )(

22、)i tT tT tf e第二章第二章 分離變量法分離變量法( )i tT tAte02i tf eA 00( )sincos22f tf tT ttit00( )cos2f tT tt 0012( )cossincos2f tT tctctt0012( )cossincos2f tT tctctt0( , )( )( )nnnu x tT t Xx第二章第二章 分離變量法分離變量法001( , )( )( )( )( )nnnu x tT t XxT t Xx0021sincoscos( )( )222nnnff tttxT t Xxl12( , )( , )u x tux t21( , )

23、( , )ux tu x t可以證明：是有界的。而在的表達式中，取0a一般來說，就會導致某一些點的振幅隨著時間的增大k當 逐漸變大時將趨于無窮大，最終要導致弦線在某一時刻12t,( , )cos( )2kkku x txtl0則中的基本波函數(shù)的振幅T斷裂。這時就是系統(tǒng)發(fā)生共振。而不斷變大，導致弦線在某一時刻斷裂。第二章第二章 分離變量法分離變量法( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X1

24、00, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu第二章第二章 分離變量法分離變量法 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10/nnn100/22nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX第二章第二章 分離變量法分離變量法, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBx

25、Xnn10sin)(0104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu0 XX0104 TT第二章第二章 分離變量法分離變量法110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)0 ,(1xxxnCx

26、unn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn為奇數(shù)，為偶數(shù)，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu第二章第二章 分離變量法分離變量法弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波。第二章第二章 分離變量法分離變量法)()(),(tTxXtxu2

27、XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：第二章第二章 分離變量法分離變量法0,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(2

28、1)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX第二章第二章 分離變量法分離變量法222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)

29、( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T第二章第二章 分離變量法分離變量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnanDxtll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始條件第二章第二章 分離變量法分離變量

30、法222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 若l=1,a=10時的震動。第二章第二章 分離變量法分離變量法)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttu

31、tutxxutu 解：第二章第二章 分離變量法分離變量法 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin) 1 (, 0)0(BXAX, 3 , 2 , 1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu第二章第二章 分離變量法分離變量法, 3 , 2 , 1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022

32、nnTnTtnDtnCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sincos(sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu第二章第二章 分離變量法分離變量法10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxut

33、uxtusincos第二章第二章 分離變量法分離變量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu 令帶入方程：解：第二章第二章 分離變量法分離變量法 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxB

34、eAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0sincos)()(, 0)0(lBhlBlhXlXAXhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX第二章第二章 分離變量法分離變量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222, 3 , 2 , 1,n2nnxBxXnnnsin)(02 TaT

35、022 nnnTaTatDatCTnnnnnsincosnnnTXu 11sinsincosnnnnnnnnxatDatCuuatDatCxBnnnnnnsincossinxatDatCnnnnnsinsincos0 XX02 TaT第二章第二章 分離變量法分離變量法lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0 ,(1xaDtxunnnn0nD)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1si

36、ncosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin第二章第二章 分離變量法分離變量法nmnmxxxnlm00dsinsin0nmnmnmnmll)sin()sin(21nmnmnmnmnmnmllllllsincoscossinsincoscossin21llllnmnnmmnmnmcossinsincos)(1mmnnnmnmnmnmlllltantancoscos1)(10 xxxlnmnmd)cos()cos(210hl/tan第二章第二章 分離變量法分離變量法( , )( , )( , )v x tu x tx t2.2.2

37、 2.2.2 熱傳導方程定解問題熱傳導方程定解問題20,0,0(0, ),( , )sin,0( ,0)0,0txxxua uxl tutu u l tt tu xxl0( , )sinx tuxt20cos,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0),0txxxva vxtxl tvtv l ttv xuxl 第二章第二章 分離變量法分離變量法( ) ( )( , )X x T tu x t( )( )0,0(0)0,( )0XxX xxlXX l2(21)(21),( )sin,022nnnnXxx nll0( , )cos, ( )f x txtxu 0( )nnXx0cos( )(

38、 )nnnxtf t Xx02(21)( )(cos) sincos2lnnnf ttdftll 第二章第二章 分離變量法分離變量法122( 1)8(12 )nnlfn00nnnuX00042(21)()sin2(12 )lnunudlln 0( , )( )( )nnnv x tT t Xx20cos,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0),0txxxva vxtxl tvtv l ttv xuxl 第二章第二章 分離變量法分離變量法2( )( )cosnnnnT taT tft211( )( )cos( )nnnnnnnT taT tftXx2111( )( )( )( )cos(

39、 )nnnnnnnnnT t XxaT t XxftXx2111( )( )( )( )cos( )nnnnnnnnnnT t XxaT tXxftXx000( )(0)( )(0)( )nnnnnnxuTXxXx 第二章第二章 分離變量法分離變量法2( )( )cos,0(0)nnnnnnT taT tft tT2( )natnT tCe( )cossinnT tAtBt22222( )cossinnnnnnnaffT tttaa222222( )cossinnatnnnnnnaffT tCettaa(0)nnT第二章第二章 分離變量法分離變量法222222222( )()cossinnat

40、nnnnnnnnnnafaffT tettaaa2022222222021( , )( )sin221()cossin)sin2nnnatnnnnnnnnnnnv x tT txlafaffnettxaaal( , )( , )( , )u x tv x tx t第二章第二章 分離變量法分離變量法22222220022()cos( , )21sin)sinsin2natnnnnnnnnnnafafetaau x tfntxuxtal第二章第二章 分離變量法分離變量法： 細桿熱傳導。初始均勻溫度為細桿熱傳導。初始均勻溫度為 ，保持一端溫度不，保持一端溫度不變，另一端有恒定熱流變，另一端有恒定熱流

41、 流入。流入。0u0q0lx0q0u0u2220uuatx00( , )xu x tu第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件0( , )/xx lux tqK非齊次非齊次( (不為零不為零) )邊界條件邊界條件, , 無法直接根據邊界條件確定本征函數(shù)無法直接根據邊界條件確定本征函數(shù)解解齊次邊界條件的齊次邊界條件的通解通解非齊次邊界條件的非齊次邊界條件的特解特解非齊次邊界條件的特解：非齊次邊界條件的特解：00( , )qv x tuxK齊次邊界條件的通解齊次邊界條件的通解: :( , )w x t( , )( , )( , )u x tw x tv x t2200()txxtx

42、xwa wva v20txxva v00( , )vtu000( , )( , )( , )qqw l tu l tv l tKK000000( , )( , )( , )wtutvtuu00tuu0( , )xqvl tK67第二章第二章 分離變量法分離變量法0000000()tttqqwuvuuxxKK 初始條件初始條件: :分離變量分離變量: :( , )( ) ( )w x tX x T t20XTa XT00( ) ( )XT t 0( ) ( )Xl T t 20Ta T 0XX 00( )X和和0( )Xl 212()( )sinkxX xCl 0 1 2 3, , ,k 222

43、2120();kaTTl 222212()( )exp;ka tT tCl 222201122()()( , )expsin;kkka tkxw x tCll200000 0 ,txxxxx ltwa wwwqwxK68第二章第二章 分離變量法分離變量法00120()( , )sin;kkkxqw xCxlK 00122()sinlkkqCdlKl0014221()cos()lkqdKkl 0000442121212212()()coscos()()llqqkkdKklKkl 0220821212()sin()lq lkdKkl 0022821212()sin()lq lkKkl 102281

44、21()()kq lKk 122200022208121212142()()()( , )expsin;()kkqq lka tkxu x tuxKKkll “和和”是迅速衰減的部分。近似：只保留是迅速衰減的部分。近似：只保留 k=0 項。項。2200022842( , )expsin.qq la txu x tuxKKll 69第二章第二章 分離變量法分離變量法泛定方程泛定方程邊界條件邊界條件本征值問題本征值問題本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù)0|00lxxxxxx222lk k=1,2,3k=1,2,3 0|00lxxxxxx21()2kl 0|00lxxxxxx21()2kl k=0,1,2

45、,3 0|00lxxxxxx222lk70k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第二章第二章 分離變量法分離變量法1212( , ),( , )( ), ( , )( ),( , )( ), ( , )( ),xxyyuuf x y axb cydu a yg y u b ygy cydu x cf x u x dfx axb12( )( )0f xfx12( )( )0g ygy2.2.3 2.2.3 平面上位勢方程定解問題平面上位勢方程定解問題0,02,01(0, )0, (2, )0,01( ,0)1, ( ,1)(1),02xxyyuuxyuyuyyu xu xx xx第二章第二章

46、分離變量法分離變量法( , )( ) ( )u x yX x Y y( ) ( )( )( )0Xx Y yX x Yy( )( )( )( )XxYyX xY y ( )( )0,02(0)0,(2)0XxX xxXX( )( )0YyY y第二章第二章 分離變量法分離變量法( )( )( )( )XxYyX xY y 2,sin,122nnnnXx n2,12nnn( )( )0YyY y( )( )0nYyY y22,nnyyee2222,2222nnnnyyyyneeneeshychy第二章第二章 分離變量法分離變量法2222,2222nnnnyyyyneeneeshychy( )22

47、nnnnnYyc shyd chy111( ,0)(0)( )( )nnnnnnu xYXxd Xx11(1)( ,1)(1)( )()( )22nnnnnnnnnx xu xYXxc shd chXx2022(1 ( 1) )1 sin22nnnddn 2022332(1)sin222216( 1)16( 1) 4nnnnnnnc shd chdnn 第二章第二章 分離變量法分離變量法223316( 1)16( 1) 42(1 ( ) )222nnnnnchncnnnnshsh 1( , )()sin222nnnnnnu x yc shyd chyx2022(1 ( 1) )1 sin22n

48、nnddn 223316( 1)16( 1) 42(1 ( ) )222nnnnnchncnnnnshsh 第二章第二章 分離變量法分離變量法22()uab xy ( , , )uf x y z 非齊次方程非齊次方程特解法特解法( , , )( , , )( , , )u x y zv x y zw x y z設定設定待求待求( , , )0w x y z拉普拉斯方程拉普拉斯方程例例1010: :( , , )( , , )v x y zf x y z0uc 0圓域圓域22222211cos2uuuab 76第二章第二章 分離變量法分離變量法2244242412412ababv x yxyxy

49、( , )()()cos0( , )w x y02400cos2412abwc 001( , )ln()(cossin)mmmmmmmwCDCDAmBm 0001(cossin)mmmmwCAmBm 2400cos2412abc2004aCc 01( , )(cossin)mmmmwCAmBm 邊界條件邊界條件22012bA 22()vab xy 令令22200( , )cos2412abwc 77第二章第二章 分離變量法分離變量法2xxyyuu 00 xu：0 x au00yu0y bu( , )()v x yx ax2xxyyvv 0 xxyyww00 xw0 x aw0()ywx xa(

50、)y bwx xa1( , )expexpsinnnnn yn yn xw x yABaaa01sin()ynnnn xwABx xaa 1expexpsin()y bnnnn bn bn xwABx xaaaa1()sinnnn xx xaCa 78第二章第二章 分離變量法分離變量法,nnA B的聯(lián)立代數(shù)方程的聯(lián)立代數(shù)方程1()sinnnn xx xaCa nnnABCexpexpnnnn bn bABCaa2233330248()sin( 1)1(21) annn xaaCx xadxaank 1 exp()exp()exp()nnn baACn bn baa nnnBCA1 exp()e

51、xp() 11exp()exp()exp()exp()nnn bn baaCCn bn bn bn baaaa79第二章第二章 分離變量法分離變量法22220,0,0,4( ,0)0,02(0, )0,02( , ),4xxyyuuxy xyu xxuyyu x yxy xycos ,sinxy2110,0,022( ,0)0,02( ,)0,022(2, )2sin2 ,02uuuuuyu：求下面扇形域上：求下面扇形域上定解問題定解問題 令令，則上式化為，則上式化為令令( , )( )( )uR 代入上面方程，并結合邊界條件，有代入上面方程，并結合邊界條件，有第二章第二章 分離變量法分離變量

52、法2( )( )0,02(1)(0)0,()02( )( )( )0(2)RRR 224,( )sin2,1/2nnnnnn2222240(| )snsnsnnnnnnnRn RRc ed ecd（1 1）便是極坐標方程的特征值問題）便是極坐標方程的特征值問題 求解特征值問題（求解特征值問題（1 1） 可得可得代入（代入（2 2），有），有由于求的是有界解，所以有由于求的是有界解，所以有(0),0.nnRd 即則有2( )nnnRc第二章第二章 分離變量法分離變量法(2, )2sin2 ,02u211( , )( )( )sin2nnnnnnuRcn 2112sin2(2, )(2)( )2s

53、in2nnnnnnuRcn11,0(1)2nccn21( , )sin22u ( , )u x yxy第二章第二章 分離變量法分離變量法0|1,122222222yxuyxxyyuxu120),2()0(,), 0(, 0), 1 (20 , 1,2sin21112222uuuu)()(),(u0112 0112 211 02 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0( 求定解問題解：將原問題變換到極坐標系下：第二章第二章 分離變量法分離變量法120),2()0(,), 0(, 0), 1 (20 , 1,2sin21112222uuuu )2()0(20, 00202 Be

54、Ae000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAnnnsincos第二章第二章 分離變量法分離變量法120),2()0(,), 0(, 0), 1 (20 , 1,2sin21112222uuuu, 3 , 2 , 1 , 0,2nnnnBnAnnnsincos0sin)(cos)(nnnnBnAu 02222sincossin1cos1sincosnnnnnnnnBnnAnnBnAnBnA2sin2111222222uuu 02222sin1cos1nnnnnnnnBnBBnAnAA2sin2120122 nnnAnAA0122 nnnBnBB2n2

55、22222141 BBB第二章第二章 分離變量法分離變量法120),2()0(,), 0(, 0), 1 (20 , 1,2sin21112222uuuu0sin)(cos)(nnnnBnAu0122 nnnAnAA0122 nnnBnBB2n222222141 BBB0sin) 1 (cos) 1 (), 1 (0nnnnBnAu0) 1 () 1 (nnBA)0()0(nnBAln00DC nnnnDC0nA0nB2n4C241C2222214412CCC4241422222241DCB422241 C422412412sin)1 (24122uxyyx)1 (12122第二章第二章 分離

56、變量法分離變量法2. 邊界條件邊界條件 齊次齊次或或周期邊界條件？周期邊界條件？ 若否若否: 令令u = v + w (x,t) ，選，選w, 使使 v 滿足齊次邊界滿足齊次邊界, 轉轉 3 或或 令令u = v + w(x)，使，使v 滿足齊次方程齊次邊界滿足齊次方程齊次邊界,轉轉 4令令u(x,t)=X(x)T(t), 得到得到X(x)、T(t)的常微分方程的常微分方程求求X(x)、T(t)的非零解的非零解求特征值和特征函數(shù)求特征值和特征函數(shù)將將un(x,t)迭加迭加 由初始條件確定系數(shù)由初始條件確定系數(shù)Cn ,Dn4. 齊次方程齊次方程、齊次齊次或或周期邊界條件周期邊界條件3. 非齊次方

57、程非齊次方程、齊次齊次或或周期邊界條件周期邊界條件對相應齊次方程按對相應齊次方程按 4 之之得得特征函數(shù)系特征函數(shù)系將所有函數(shù)按特征函數(shù)系展開將所有函數(shù)按特征函數(shù)系展開, 代入定解問題各式代入定解問題各式解常微分方程初值問題，求出待定函數(shù)解常微分方程初值問題，求出待定函數(shù)1. 適用于各類方程簡單區(qū)域的混合問題與邊值問題適用于各類方程簡單區(qū)域的混合問題與邊值問題 (x,t)坐標系坐標系: 0 x 0 直角坐標系直角坐標系: 矩形矩形 極坐標系極坐標系: 圓、圓環(huán)、扇形圓、圓環(huán)、扇形 分離變量法求解步驟分離變量法求解步驟第二章第二章 分離變量法分離變量法定解問題選擇合適的坐標系邊界條件非齊次，轉換為齊次邊界條件非齊次方程，齊次邊界條件齊次方程，齊次邊界條件直接用駐波法非齊次方程，齊次定解條件固有函數(shù)法應用分離變量法求解定解問題的步驟第二章第二章 分離變量法分離變量法 關于二階常微分方程特征值問題的一些結論1. 存在無窮多個實的特征值，適當調換這些特征值的順序，可使他們構成一個非遞減序列。2. 所有特征值均不為負。3. 任意兩個不同的特征值，對應的兩個特征函數(shù)在定義域上以權函數(shù)互相正交。4. 特征函數(shù)系具有完備正交性，故滿足一定條件的函數(shù)可以按特征函數(shù)系展成絕對且一致收斂的級數(shù)。