《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量 10.2 排列與組合課件 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量 10.2 排列與組合課件 理（72頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié)排列與組合【知識(shí)梳理【知識(shí)梳理】1.1.排列排列不同不同一定一定順序順序不同不同所有不同排列所有不同排列n(n-1)(n-2)n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m+1)n!n!1 1n!n m !2.2.組合組合組合的定義組合的定義從從n n個(gè)個(gè)_元素中元素中, ,任意取出任意取出m(mnm(mn) )個(gè)元素個(gè)元素_,_,叫做一個(gè)組合叫做一個(gè)組合組合數(shù)的定義組合數(shù)的定義從從n n個(gè)個(gè)_元素中取出元素中取出m(mnm(mn) )個(gè)元素后個(gè)元素后, ,_個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)組合數(shù)公式組合數(shù)公式 _=_ _=_組合數(shù)的性質(zhì)組合數(shù)的性質(zhì) 不同不同并成一組并成一組不同不同所有組合的所有組合的 n n
2、1 n 2n m 1m!mmnnmmACAmnC_n mnCmm 1nnCC_mn 1Cn!m! n m!【特別提醒【特別提醒】1.1.區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵與方區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵與方法法(1)(1)關(guān)鍵關(guān)鍵: :看所選的元素與順序是否有關(guān)看所選的元素與順序是否有關(guān). .(2)(2)方法方法: :交換某兩個(gè)元素的位置交換某兩個(gè)元素的位置, ,判斷對(duì)結(jié)果是否產(chǎn)生判斷對(duì)結(jié)果是否產(chǎn)生影響影響, ,產(chǎn)生影響的是排列問題產(chǎn)生影響的是排列問題, ,否則是組合問題否則是組合問題. .2.2.與組合數(shù)相關(guān)的幾個(gè)公式與組合數(shù)相關(guān)的幾個(gè)公式(1)(1) ( (全組合公式全組
3、合公式).).(2)(2) (3) (3) 01nnnnnCCC2mmmmm 1nn 1m 1mn 1CCCCC.kk 1nn 1kCnC .【小題快練【小題快練】鏈接教材練一練鏈接教材練一練1.(1.(選修選修2-3P252-3P25練習(xí)練習(xí)T4T4改編改編) )從從3,5,7,113,5,7,11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中這四個(gè)質(zhì)數(shù)中, ,每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a,ba,b, ,共可得到共可得到lga-ga-lgbgb的的不同值的個(gè)數(shù)是不同值的個(gè)數(shù)是( () )A.6A.6 B.8 C.12 D.16 B.8 C.12 D.16【解析【解析】選選C.C.由于由于lga-ga
4、-lgbgb= =lg g, ,從從3,5,7,113,5,7,11中取出兩中取出兩個(gè)不同的數(shù)分別賦值給個(gè)不同的數(shù)分別賦值給a a和和b b共有共有 =12=12種種, ,所以得到所以得到不同的值有不同的值有1212個(gè)個(gè). .ab24A2.(2.(選修選修2-3P282-3P28習(xí)題習(xí)題1.2A1.2A組組T15T15改編改編)2015)2015年北京國際田年北京國際田聯(lián)世界田徑錦標(biāo)賽聯(lián)世界田徑錦標(biāo)賽, ,要從要從6 6名男生和名男生和2 2名女生中選出名女生中選出3 3名名志愿者志愿者, ,其中至少有其中至少有1 1名女生的選法共有名女生的選法共有( () )A.30A.30種種B.36B.
5、36種種C.42C.42種種D.60D.60種種【解析【解析】選選B.B.分兩類分兩類: :第第1 1類類: :有有1 1名女生的名女生的有有 =2=215=3015=30種種, ,第第2 2類有類有2 2名女生的有名女生的有 =6=6種種, ,由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有30+6=36(30+6=36(種種).).1226C C2126C C感悟考題試一試感悟考題試一試3.(20163.(2016鄭州模擬鄭州模擬) )有有6 6名男醫(yī)生、名男醫(yī)生、5 5名女醫(yī)生名女醫(yī)生, ,從中選從中選出出2 2名男醫(yī)生、名男醫(yī)生、1 1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,
6、 ,則不同的則不同的選法共有選法共有( () )A.60A.60種種B.70B.70種種C.75C.75種種D.150D.150種種【解析【解析】選選C.C.由題意由題意, ,從從6 6名男醫(yī)生中選名男醫(yī)生中選2 2人人,5,5名女醫(yī)生名女醫(yī)生中選中選1 1名組成一個(gè)醫(yī)療小組名組成一個(gè)醫(yī)療小組, ,不同的選法共有不同的選法共有=75=75種種. .2165CC4.(20154.(2015廣東高考廣東高考) )某高三畢業(yè)班有某高三畢業(yè)班有4040人人, ,同學(xué)之間同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言, ,那么全班共寫了那么全班共寫了條畢業(yè)留言條畢業(yè)留言.(.(用數(shù)
7、字作答用數(shù)字作答) )【解析【解析】依題意兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相依題意兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從當(dāng)于從4040人中任選兩人的排列數(shù)人中任選兩人的排列數(shù), ,所以全班共寫了所以全班共寫了=40=4039=156039=1560條畢業(yè)留言條畢業(yè)留言. .答案答案: :15601560240A5.(20145.(2014北京高考北京高考) )把把5 5件不同產(chǎn)品擺成一排件不同產(chǎn)品擺成一排, ,若產(chǎn)品若產(chǎn)品A A與產(chǎn)品與產(chǎn)品B B相鄰相鄰, ,且產(chǎn)品且產(chǎn)品A A與產(chǎn)品與產(chǎn)品C C不相鄰不相鄰, ,則不同的擺法有則不同的擺法有種種. .【解析【解析】將產(chǎn)品將產(chǎn)品A A與產(chǎn)品與產(chǎn)品B B
8、捆綁在一起捆綁在一起, ,然后與其他三件然后與其他三件產(chǎn)品進(jìn)行全排列產(chǎn)品進(jìn)行全排列, ,共有共有 種方法種方法, ,將產(chǎn)品將產(chǎn)品A,A,產(chǎn)品產(chǎn)品B,B,產(chǎn)產(chǎn)品品C C捆綁在一起捆綁在一起, ,且產(chǎn)品且產(chǎn)品A A在中間在中間, ,然后與其他兩件產(chǎn)品然后與其他兩件產(chǎn)品2424A A進(jìn)行全排列進(jìn)行全排列, ,共有共有 種方法種方法. .于是符合題意的排法共于是符合題意的排法共有有 =36(=36(種種).).答案答案: :36362323A A24232423A AA A考向一考向一排列的應(yīng)用排列的應(yīng)用【典例【典例1 1】(1)(1)有有4 4名男生名男生,5,5名女生名女生, ,全體排成一行全體排
9、成一行, ,則則甲不在中間也不在兩端的排法有甲不在中間也不在兩端的排法有種種. .(2)(2)在數(shù)字在數(shù)字1,2,31,2,3與符號(hào)與符號(hào)“+”“-”+”“-”這五個(gè)元素的所有這五個(gè)元素的所有全排列中全排列中, ,任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列方法共有任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列方法共有種種. .【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】(1)(1)分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行: :排甲排甲; ;排其余排其余8 8人人. .(2)(2)由于題設(shè)中任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰由于題設(shè)中任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰, ,因此可用插空因此可用插空法解決問題法解決問題. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行: :第一步第一步:
10、 :先排甲有先排甲有 種種, ,第二步第二步, ,排其余排其余8 8人有人有 種種, ,由分步乘法計(jì)數(shù)原理由分步乘法計(jì)數(shù)原理, ,共共有有 =241920(=241920(種種) )排法排法. .答案答案: :24192024192016A88A1868A A【一題多解】【一題多解】解答本題解答本題, ,還有以下三種解法還有以下三種解法: :方法一方法一: :中間和兩端有中間和兩端有 種排法種排法, ,包括甲在內(nèi)的其余包括甲在內(nèi)的其余6 6人有人有 種排法種排法, ,故共有故共有 =241920(=241920(種種) )排法排法. .方法二方法二:9:9人全排列有人全排列有 種種, ,甲排在
11、每一個(gè)位置的機(jī)會(huì)甲排在每一個(gè)位置的機(jī)會(huì)都是均等的都是均等的, ,依題意得依題意得, ,甲不在中間及兩端的排法總數(shù)甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是是: : =241920(=241920(種種).).方法三方法三:(:(間接法間接法) -3) -3 =241920( =241920(種種).).38A66A3686A A99A996A999A88A(2)(2)本題主要考查某些元素不相鄰的問題本題主要考查某些元素不相鄰的問題, ,先排符號(hào)先排符號(hào)“+”“-”,+”“-”,有有 種排列方法種排列方法, ,此時(shí)兩個(gè)符號(hào)中間與此時(shí)兩個(gè)符號(hào)中間與兩端共有兩端共有3 3個(gè)空位個(gè)空位, ,把數(shù)字把數(shù)字1,2,3“
12、1,2,3“插空插空”, ,有有 種排種排列方法列方法, ,因此滿足題目要求的排列方法共有因此滿足題目要求的排列方法共有 =12(=12(種種).).答案答案: :121222A33A22A33A【母題變式【母題變式】1.1.若本例題若本例題(2)(2)中條件中條件“任意兩個(gè)數(shù)字都任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰不相鄰”改為改為“1,2,31,2,3這三個(gè)數(shù)字必須相鄰這三個(gè)數(shù)字必須相鄰”, ,則這樣則這樣的全排列方法有多少種的全排列方法有多少種? ?【解析【解析】用捆綁法用捆綁法, ,有有 =36(=36(種種).).3333AA2.2.若本例若本例(2)(2)中條件變?yōu)橹袟l件變?yōu)? :符號(hào)符號(hào)“+”+”
13、與與“-”-”都不相鄰都不相鄰, ,則這樣的全排列有多少種則這樣的全排列有多少種? ?【解析【解析】=72(=72(種種).).3234AA【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.求解有限制條件排列問題的主要方法求解有限制條件排列問題的主要方法直直接接法法分分類類法法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn), ,將要完成的事件分成幾個(gè)類將要完成的事件分成幾個(gè)類型型, ,分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù)分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù), ,再由分類加法計(jì)數(shù)原再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)理得出總數(shù)分分步步法法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn), ,將事件分成幾個(gè)步驟來完成將事件分成幾個(gè)步驟來完成, ,分別分別計(jì)算
14、出各步驟的排列數(shù)計(jì)算出各步驟的排列數(shù), ,再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)數(shù)捆綁法捆綁法相鄰問題捆綁處理相鄰問題捆綁處理, ,即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列其他元素進(jìn)行排列, ,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法插空法不相鄰問題插空處理不相鄰問題插空處理, ,即先考慮不受限制的元素的排列即先考慮不受限制的元素的排列, ,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中除法除法對(duì)于定序問題對(duì)于定序問題, ,可先不考慮順序限制可先不考慮順序限制, ,排列后排列后, ,再除以已再除
15、以已定元素的全排列定元素的全排列間接法間接法 對(duì)于分類過多的問題對(duì)于分類過多的問題, ,按正難則反按正難則反, ,等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2.2.解決有限制條件排列問題的策略解決有限制條件排列問題的策略(1)(1)根據(jù)特殊元素根據(jù)特殊元素( (位置位置) )優(yōu)先安排進(jìn)行分步優(yōu)先安排進(jìn)行分步, ,即先安排即先安排特殊元素或特殊位置特殊元素或特殊位置. .(2)(2)根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰來占進(jìn)行分根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰來占進(jìn)行分類類. .易錯(cuò)提醒易錯(cuò)提醒:(1):(1)分類要全分類要全, ,以免遺漏以免遺漏. .(2)(2)插空時(shí)要數(shù)清插空的個(gè)數(shù)插空時(shí)要數(shù)清插空的個(gè)數(shù)
16、, ,捆綁時(shí)要注意捆綁后捆綁時(shí)要注意捆綁后元素的個(gè)數(shù)及要注意相鄰元素的排列數(shù)元素的個(gè)數(shù)及要注意相鄰元素的排列數(shù). .(3)(3)用間接法求解時(shí)用間接法求解時(shí), ,事件的反面數(shù)情況要準(zhǔn)確事件的反面數(shù)情況要準(zhǔn)確. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2016(2016蘭州模擬蘭州模擬) )數(shù)字?jǐn)?shù)字“2015”2015”中中, ,各位各位數(shù)字相加和為數(shù)字相加和為8,8,稱該數(shù)為稱該數(shù)為“如意四位數(shù)如意四位數(shù)”, ,則用數(shù)字則用數(shù)字0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字且大于組成的無重復(fù)數(shù)字且大于20152015的的“如意如意四位數(shù)四位數(shù)”有有個(gè)個(gè)( () )A.21A.21 B.22 B
17、.22 C.23 C.23 D.24 D.24【解析【解析】選選C.C.滿足四位數(shù)字之和等于滿足四位數(shù)字之和等于8 8的四個(gè)數(shù)字為的四個(gè)數(shù)字為0,1,2,50,1,2,5或或0,1,3,4.0,1,3,4.0,1,2,50,1,2,5組成的無重復(fù)數(shù)字且大于組成的無重復(fù)數(shù)字且大于20152015的的“如意四位如意四位數(shù)數(shù)”共有共有1+2+2+ =11(1+2+2+ =11(個(gè)個(gè)););0,1,3,40,1,3,4組成的無重復(fù)數(shù)字且大于組成的無重復(fù)數(shù)字且大于20152015的的“如意四位如意四位數(shù)數(shù)”共有共有2 =12(2 =12(個(gè)個(gè)););故共有故共有2323個(gè)個(gè). .33A33A【加固訓(xùn)練【
18、加固訓(xùn)練】1.(20141.(2014四川高考四川高考) )六個(gè)人從左至右排成一行六個(gè)人從左至右排成一行, ,最左最左端只能排甲或乙端只能排甲或乙, ,最右端不能排甲最右端不能排甲, ,則不同的排法共則不同的排法共有有( () )A.192A.192種種 B.216B.216種種C.240C.240種種 D.288D.288種種【解析【解析】選選B.B.若最左端排甲若最左端排甲, ,排法有排法有 =120=120種種; ;若最若最左端排乙左端排乙, ,排法有排法有 =96=96種種, ,故不同的排法共有故不同的排法共有120+96=216120+96=216種種. .55A1444CA2.(2
19、0162.(2016蘭州模擬蘭州模擬)A,B,C,D,E)A,B,C,D,E五人并排站成一排五人并排站成一排, ,如如果果B B必須站在必須站在A A的右邊的右邊(A,B(A,B可以不相鄰可以不相鄰),),那么不同的排那么不同的排法共有法共有( () )A.24A.24種種 B.60B.60種種C.90C.90種種 D.120D.120種種【解析【解析】選選B.B.由題意知有由題意知有=60(=60(種種).).5522AA3.3.用數(shù)字用數(shù)字0,1,2,3,40,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù), ,則其則其中數(shù)字中數(shù)字1,21,2相鄰的偶數(shù)有相鄰的偶數(shù)有個(gè)個(gè)(
20、 (用數(shù)字作答用數(shù)字作答).).【解析【解析】可以分情況討論可以分情況討論: :若末位數(shù)字為若末位數(shù)字為0,0,則則1,21,2為為一組一組, ,且可以交換位置且可以交換位置,3,4,3,4各為各為1 1個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字, ,共可以組成共可以組成2 2=12=12個(gè)五位數(shù)個(gè)五位數(shù); ;若末位數(shù)字為若末位數(shù)字為2,2,則則1 1與它相鄰與它相鄰, ,其余其余3 3個(gè)數(shù)字排列個(gè)數(shù)字排列, ,且且0 0不是首位數(shù)字不是首位數(shù)字, ,則有則有2 2=4=4個(gè)個(gè)五位數(shù)五位數(shù); ;若末位數(shù)字為若末位數(shù)字為4,4,則則1,21,2為一組為一組, ,且可以交換且可以交換33A22A位置位置,3,0,3,0各為各為
21、1 1個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字, ,且且0 0不是首位數(shù)字不是首位數(shù)字, ,則有則有2 2(2(2 )=8)=8個(gè)五位數(shù)個(gè)五位數(shù), ,所以全部合理的五位數(shù)共有所以全部合理的五位數(shù)共有2424個(gè)個(gè). .答案答案: :242422A考向二考向二組合的應(yīng)用組合的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016太原模擬太原模擬) )將將5 5名學(xué)生分到名學(xué)生分到A,B,CA,B,C三個(gè)宿舍三個(gè)宿舍, ,每個(gè)宿舍至少每個(gè)宿舍至少1 1人人, ,至多至多2 2人人, ,其中學(xué)生甲不到其中學(xué)生甲不到A A宿舍的不同分法有宿舍的不同分法有( () )A.18A.18種種B.36B.36種種C.48C.48種種D.
22、60D.60種種(2)(2016(2)(2016重慶模擬重慶模擬)2015)2015年某地春季高考有年某地春季高考有1010所高校所高校招生招生, ,如果某如果某3 3位同學(xué)恰好被其中位同學(xué)恰好被其中2 2所高校錄取所高校錄取, ,那么錄那么錄取方式有取方式有種種. .【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】(1)(1)三個(gè)宿舍的人數(shù)只能是三個(gè)宿舍的人數(shù)只能是2,2,1,2,2,1,分情況分情況討論即可討論即可. .(2)(2)分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行: :從從1010所高校選所高校選2 2所所; ;從從3 3位同學(xué)中選位同學(xué)中選2 2位選擇位選擇2 2所學(xué)校所學(xué)校. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D
23、.由題意知由題意知A,B,CA,B,C三個(gè)宿舍中有兩三個(gè)宿舍中有兩個(gè)宿舍分到個(gè)宿舍分到2 2人人, ,另一個(gè)宿舍分到另一個(gè)宿舍分到1 1人人. .若甲被分到若甲被分到B B宿舍宿舍: :A A中中2 2人人,B,B中中1 1人人,C,C中中2 2人人, ,有有 =6=6種分法種分法; ;A A中中1 1人人,B,B中中2 2人人,C,C中中2 2人人, ,有有 =12=12種分法種分法; ;A A中中2 2人人,B,B中中2 2人人,C,C中中1 1人人, ,有有 =12=12種分法種分法, ,即甲被分到即甲被分到B B宿舍的分法有宿舍的分法有3030種種, ,同樣甲被分到同樣甲被分到C C宿
24、舍宿舍的分法也有的分法也有3030種種, ,所以甲不到所以甲不到A A宿舍一共有宿舍一共有6060種分法種分法. .24C2142CC2142CC(2)(2)分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行: :第第1 1步從步從1010所高校選所高校選2 2所有所有 種種, ,第第2 2步步: :從從3 3位同學(xué)中選位同學(xué)中選2 2位選擇位選擇2 2所高校所高校, ,有有 種種, ,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得由分步乘法計(jì)數(shù)原理得, ,錄取方式共有錄取方式共有 =270(=270(種種).).答案答案: :270270210C211321CCC221110321C C C C【易錯(cuò)警示【易錯(cuò)警示】解答本例題解答本例題(1)(1
25、)有兩點(diǎn)容易出錯(cuò)有兩點(diǎn)容易出錯(cuò): :(1)(1)分類討論時(shí)分類討論時(shí), ,極易少討論一種或兩種情況極易少討論一種或兩種情況. .(2)(2)在每一種情況中在每一種情況中, ,也可能少討論一種或兩種情況也可能少討論一種或兩種情況. .【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.組合問題的常見題型及解題思路組合問題的常見題型及解題思路(1)(1)常見題型常見題型: :一般有選派問題、抽樣問題、圖形問一般有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題等題、集合問題、分組問題等. .(2)(2)解題思路解題思路: :分清問題是否為組合問題分清問題是否為組合問題; ;對(duì)較復(fù)雜對(duì)較復(fù)雜的組合問題的組合問題, ,要搞
26、清是要搞清是“分類分類”還是還是“分步分步”, ,一般是一般是先整體分類先整體分類, ,然后局部分步然后局部分步, ,將復(fù)雜問題通過兩個(gè)原理將復(fù)雜問題通過兩個(gè)原理化歸為簡(jiǎn)單問題化歸為簡(jiǎn)單問題. .2.2.兩類含有附加條件的組合問題的解法兩類含有附加條件的組合問題的解法(1)“(1)“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的組合題型某些元素的組合題型: :若若“含含”, ,則先將這些元素取出則先將這些元素取出, ,再由另外元素補(bǔ)足再由另外元素補(bǔ)足; ;若若“不含不含”, ,則先將這些元素剔除則先將這些元素剔除, ,再從剩下的元素中去再從剩下的元素中去選取選取. .(2)“(2)“至少至少”或或“
27、最多最多”含有幾個(gè)元素的組合題型含有幾個(gè)元素的組合題型: :解解這類題目必須十分重視這類題目必須十分重視“至少至少”與與“最多最多”這兩個(gè)關(guān)這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義鍵詞的含義, ,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解謹(jǐn)防重復(fù)與漏解. .用直接法或間接法都可用直接法或間接法都可以求解以求解, ,通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)通常用直接法分類復(fù)雜時(shí), ,用間接法求解用間接法求解. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2016(2016長(zhǎng)春模擬長(zhǎng)春模擬) )如果小明在某一周的如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了第一天和第七天分別吃了2 2個(gè)水果個(gè)水果, ,且從這周的第二天且從這周的第二天開始開始, ,每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比每天所吃水
28、果的個(gè)數(shù)與前一天相比, ,僅存在三種僅存在三種可能可能: :或或“多一個(gè)多一個(gè)”或或“持平持平”或或“少一個(gè)少一個(gè)”, ,那么那么, ,小小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有 ( () )A.50A.50種種B.51B.51種種C.140C.140種種 D.141D.141種種【解析【解析】選選B.B.因?yàn)榈谝驗(yàn)榈? 1天和第天和第7 7天吃的水果數(shù)相同天吃的水果數(shù)相同, ,所以所以從這周的第二天開始后五天中從這周的第二天開始后五天中“多一個(gè)多一個(gè)”或或“少一少一個(gè)個(gè)”的天數(shù)必須相同的天數(shù)必須相同, ,所以后面五天中吃的水果個(gè)數(shù)所以后面
29、五天中吃的水果個(gè)數(shù)“多一個(gè)多一個(gè)”或或“少一個(gè)少一個(gè)”的天數(shù)可能是的天數(shù)可能是0,1,20,1,2天天, ,共三共三種情況種情況, ,所以共有所以共有 =51(=51(種種).).112245531 CCCC【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20161.(2016武漢模擬武漢模擬)6)6名同學(xué)安排到名同學(xué)安排到3 3個(gè)社區(qū)個(gè)社區(qū)A,B,CA,B,C參加參加志愿者服務(wù)志愿者服務(wù), ,每個(gè)社區(qū)安排每個(gè)社區(qū)安排2 2名同學(xué)名同學(xué), ,其中甲同學(xué)必須到其中甲同學(xué)必須到A A社區(qū)社區(qū), ,乙和丙同學(xué)均不能到乙和丙同學(xué)均不能到C C社區(qū)社區(qū), ,則不同的安排方法則不同的安排方法種數(shù)為種數(shù)為( () )A.12A
30、.12 B.9 B.9 C.6 C.6 D.5 D.5【解析【解析】選選B.B.當(dāng)乙、丙中有一人在當(dāng)乙、丙中有一人在A A社區(qū)時(shí)有社區(qū)時(shí)有=6(=6(種種) )安排方法安排方法; ;當(dāng)乙、丙兩人都在當(dāng)乙、丙兩人都在B B社區(qū)時(shí)有社區(qū)時(shí)有=3(=3(種種) )安排方法安排方法, ,所以共有所以共有9 9種不同的安排方法種不同的安排方法. .112232CCC1232CC2.(20142.(2014廣東高考廣東高考) )設(shè)集合設(shè)集合A=(xA=(x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4,x,x5 5)|x)|xi i-1,0,1,i=1,2,3,4,5,-1,0,1,i=1,2,3,4,
31、5,那么集合那么集合A A中滿足條件中滿足條件“11|x|x1 1|+|x|+|x2 2|+|x|+|x3 3|+|x|+|x4 4|+|x|+|x5 5|3”|3”的元素個(gè)數(shù)為的元素個(gè)數(shù)為( () )A.60A.60 B.90 B.90C.120 C.120 D.130 D.130【解析【解析】選選D.D.集合集合A A中元素為有序數(shù)組中元素為有序數(shù)組(x(x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4, ,x x5 5),),題中要求有序數(shù)組的題中要求有序數(shù)組的5 5個(gè)數(shù)中僅個(gè)數(shù)中僅1 1個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為1 1、僅、僅2 2個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為1 1或僅或僅3 3個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為1,1,所以共有所以共
32、有 =130=130個(gè)不同數(shù)組個(gè)不同數(shù)組. .1255C2 C 352 2 C2 2 2 3.(20163.(2016石家莊模擬石家莊模擬) )如圖如圖,MON,MON的邊的邊OMOM上有四點(diǎn)上有四點(diǎn)A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4,ON,ON上有三點(diǎn)上有三點(diǎn)B B1 1,B,B2 2,B,B3 3, ,則以則以O(shè),AO,A1 1,A,A2 2,A,A3 3, ,A A4 4,B,B1 1,B,B2 2,B,B3 3為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為( () )A.30A.30 B.42 B.42 C.54 C.54 D.56D.56【解析【解析】選選B.B.用間接
33、法用間接法. .先從這先從這8 8個(gè)點(diǎn)中任取個(gè)點(diǎn)中任取3 3個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn), ,最最多構(gòu)成三角形多構(gòu)成三角形 個(gè)個(gè), ,再減去三點(diǎn)共線的情形即可再減去三點(diǎn)共線的情形即可. . =42. =42.38C333854CCC4.(20154.(2015商丘模擬商丘模擬) )某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2 2本本, ,同樣的同樣的集郵冊(cè)集郵冊(cè)3 3本本, ,從中取出從中取出4 4本贈(zèng)送給本贈(zèng)送給4 4位朋友位朋友, ,每位朋友每位朋友1 1本本, ,則不同的贈(zèng)送方法共有則不同的贈(zèng)送方法共有種種. .【解析【解析】從從5 5本書中選出本書中選出4 4本本, ,可分為兩種情況可分為兩種情況: :第一種情
34、況為第一種情況為1 1本畫冊(cè)和本畫冊(cè)和3 3本集郵冊(cè)本集郵冊(cè), ,第二種情況為第二種情況為2 2本畫冊(cè)和本畫冊(cè)和2 2本集郵冊(cè)本集郵冊(cè), ,將它們分給將它們分給4 4位朋友分別有位朋友分別有 =4=4種種, , =6 =6種方法種方法, ,故不同的贈(zèng)送方法共有故不同的贈(zèng)送方法共有1010種種. .答案答案: :10101343CC2242CC考向三考向三排列、組合的綜合應(yīng)用排列、組合的綜合應(yīng)用【考情快遞【考情快遞】命題方向命題方向命題視角命題視角簡(jiǎn)單的排列與簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問組合的綜合問題題主要考查利用兩個(gè)原理及排列與組主要考查利用兩個(gè)原理及排列與組合的知識(shí)合的知識(shí), ,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際計(jì)
35、數(shù)問解決簡(jiǎn)單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題題, ,多以客觀題形式出現(xiàn)多以客觀題形式出現(xiàn)分組、分配問分組、分配問題題主要考查不同元素的分組、分配問主要考查不同元素的分組、分配問題題, ,通常有三種命題視角通常有三種命題視角不均勻不均勻分組分組; ;均勻分組均勻分組; ;部分均勻分組部分均勻分組【考題例析【考題例析】命題方向命題方向1:1:簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問題簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問題【典例【典例3 3】(2016(2016衡水模擬衡水模擬) )從從1,2,3,4,51,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字這五個(gè)數(shù)字中任取中任取3 3個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù), ,當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有2
36、2和和3 3時(shí)時(shí),2,2需排在需排在3 3的前面的前面( (不一定相鄰不一定相鄰),),這樣的三位數(shù)這樣的三位數(shù)有有( () )A.51A.51個(gè)個(gè)B.54B.54個(gè)個(gè)C.12C.12個(gè)個(gè)D.45D.45個(gè)個(gè)【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】分三種情況進(jìn)行討論分三種情況進(jìn)行討論: :沒有沒有2,3;2,3;只有只有2 2或或3 3中的一個(gè)中的一個(gè); ;2,32,3均有均有. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選A.A.分三類分三類: :第第1 1類類, ,沒有沒有2,3,2,3,由其他三個(gè)由其他三個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)數(shù)字組成三位數(shù), ,有有 ( (個(gè)個(gè)););第第2 2類類, ,只有只有2 2或或3 3中的一個(gè)中的一
37、個(gè), ,需從需從1,4,51,4,5中選兩個(gè)數(shù)字中選兩個(gè)數(shù)字, ,可可組成組成 ( (個(gè)個(gè)););33A23332CA第第3 3類類,2,3,2,3均有均有, ,再從再從1,4,51,4,5中選一個(gè)中選一個(gè), ,因?yàn)橐驗(yàn)? 2需排在需排在3 3的前面的前面. .所以可組成所以可組成 ( (個(gè)個(gè)),),由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有 =51(=51(個(gè)個(gè)).).133322CAA133233333322CAA2CAA命題方向命題方向2:2:分組、分配問題分組、分配問題【典例【典例4 4】(2016(2016忻州模擬忻州模擬) )有有5 5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的的
38、3 3個(gè)班去作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流個(gè)班去作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流, ,則每個(gè)班至少去一名的不則每個(gè)班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為同分派方法種數(shù)為( () )A.150A.150 B.180 B.180 C.200C.200 D.280 D.280【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行, ,將將5 5名學(xué)生分成名學(xué)生分成3 3組組, ,再分配再分配到到3 3個(gè)班去個(gè)班去. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選A.A.第第1 1步步: :將將5 5名學(xué)生分成名學(xué)生分成3 3組組, ,有兩種情有兩種情況況, ,第一類第一類: :按按3,1,13,1,1分組分組, ,有有 種分法種分法; ;第第2 2類類: :按按2,2
39、,12,2,1分組分組, ,有有 種分法種分法, ,由分類加法計(jì)數(shù)原由分類加法計(jì)數(shù)原理得理得, ,共有共有 =25=25種不同的分組方式種不同的分組方式; ;第第2 2步步: :分配到分配到3 3個(gè)班去個(gè)班去, ,有有 種分法種分法, ,由分步乘法計(jì)數(shù)由分步乘法計(jì)數(shù)原理得原理得, ,共有共有 =25=256=150(6=150(種種) )不同的分配方法不同的分配方法. .35C225322CCA22353522C CCA33A2233535322C C(C)AA【技法感悟【技法感悟】1.1.解決簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問題的思路解決簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問題的思路(1)(1)根據(jù)附加條件將要完成
40、事件先分類根據(jù)附加條件將要完成事件先分類. .(2)(2)對(duì)每一類型取出符合要求的元素組合對(duì)每一類型取出符合要求的元素組合, ,再對(duì)取出的再對(duì)取出的元素排列元素排列. .(3)(3)由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總數(shù)由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總數(shù). .2.2.分組、分配問題的求解策略分組、分配問題的求解策略(1)(1)對(duì)不同元素的分配問題對(duì)不同元素的分配問題. .對(duì)于整體均分對(duì)于整體均分, ,解題時(shí)要注意分組后解題時(shí)要注意分組后, ,不管它們的不管它們的順序如何順序如何, ,都是一種情況都是一種情況, ,所以分組后一定要除以所以分組后一定要除以(n(n為均分的組數(shù)為均分的組數(shù)),),避免重復(fù)計(jì)數(shù)避免重復(fù)計(jì)
41、數(shù). .nnA對(duì)于部分均分對(duì)于部分均分, ,解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)階乘數(shù), ,即若有即若有m m組元素個(gè)數(shù)相等組元素個(gè)數(shù)相等, ,則分組時(shí)應(yīng)除以則分組時(shí)應(yīng)除以m!,m!,分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組, ,就要除以幾個(gè)這樣就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)的全排列數(shù). .對(duì)于不等分組對(duì)于不等分組, ,只需先分組只需先分組, ,后排列后排列, ,注意分組時(shí)任何注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等組中元素的個(gè)數(shù)都不相等, ,所以不需要除以全排列數(shù)所以不需要除以全排列數(shù). .(2)(2)對(duì)于相同元素的對(duì)于相同元素的“分配分配”問題
42、，常用方法是采用問題，常用方法是采用“隔板法隔板法”. .【題組通關(guān)【題組通關(guān)】1.(20161.(2016珠海模擬珠海模擬) )將紅、黑、藍(lán)、黃將紅、黑、藍(lán)、黃4 4個(gè)不同的小個(gè)不同的小球放入球放入3 3個(gè)不同的盒子個(gè)不同的盒子, ,每個(gè)盒子至少放一個(gè)球每個(gè)盒子至少放一個(gè)球, ,且紅且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子, ,則不同的放法的種數(shù)則不同的放法的種數(shù)為為( () )A.18 A.18 B.24 B.24 C.30C.30 D.36 D.36【解析【解析】選選C.C.將將4 4個(gè)小球放入個(gè)小球放入3 3個(gè)不同的盒子個(gè)不同的盒子, ,先在先在4 4個(gè)個(gè)小球中任取小球
43、中任取2 2個(gè)作為個(gè)作為1 1組組, ,再將其與其他再將其與其他2 2個(gè)小球?qū)?yīng)個(gè)小球?qū)?yīng)3 3個(gè)個(gè)盒子盒子, ,共有共有 =36=36種情況種情況, ,若紅球和藍(lán)球放到同一個(gè)若紅球和藍(lán)球放到同一個(gè)盒子盒子, ,則黑、黃球放進(jìn)其余的盒子里則黑、黃球放進(jìn)其余的盒子里, ,有有 =6=6種情況種情況, ,則紅球和藍(lán)球不放到同一個(gè)盒子的放法種數(shù)為則紅球和藍(lán)球不放到同一個(gè)盒子的放法種數(shù)為36-6=3036-6=30種種. .2343CA33A2.(20162.(2016泉州模擬泉州模擬) )將甲、乙等將甲、乙等5 5名交警分配到三個(gè)不名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通同路口疏導(dǎo)交通, ,每個(gè)路口至少一人
44、每個(gè)路口至少一人, ,且甲、乙在同一且甲、乙在同一路口的分配方案共有路口的分配方案共有( () )A.18A.18種種B.24B.24種種C.36C.36種種D.72D.72種種【解析【解析】選選C.C.不同的分配方案可分為以下兩種情況不同的分配方案可分為以下兩種情況: :甲、乙兩人在一個(gè)路口甲、乙兩人在一個(gè)路口, ,其余三人分配在另外的兩個(gè)其余三人分配在另外的兩個(gè)路口路口, ,其不同的分配方案有其不同的分配方案有 =18(=18(種種););甲、乙所在路口分配三人甲、乙所在路口分配三人, ,另外兩個(gè)路口各分配一個(gè)另外兩個(gè)路口各分配一個(gè)人人, ,其不同的分配方案有其不同的分配方案有 =18(=
45、18(種種).).由分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的分配方案共有由分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的分配方案共有18+18=36(18+18=36(種種).).2333CA1333CA3.(20163.(2016邢臺(tái)模擬邢臺(tái)模擬) )將將2 2名教師名教師,4,4名學(xué)生分成名學(xué)生分成2 2個(gè)小組個(gè)小組, ,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng), ,每個(gè)小組由每個(gè)小組由1 1名教師和名教師和2 2名學(xué)生組成名學(xué)生組成, ,不同的安排方案共有不同的安排方案共有( () )A.12A.12種種B.10B.10種種C.9C.9種種 D.8D.8種種【解析【解析】選選A.A.將將4
46、 4名學(xué)生均分為名學(xué)生均分為2 2個(gè)小組共有個(gè)小組共有 =3=3種種分法分法; ;將將2 2個(gè)小組的同學(xué)分給個(gè)小組的同學(xué)分給2 2名教師共有名教師共有 =2=2種分法種分法, ,最后將最后將2 2個(gè)小組的人員分配到甲、乙兩地有個(gè)小組的人員分配到甲、乙兩地有 =2=2種種分法分法. .故不同的安排方案共有故不同的安排方案共有3 32 22=122=12種種. .224222CCA22A22A4.(20164.(2016蘭州模擬蘭州模擬) )將將5 5位志愿者分成位志愿者分成3 3組組, ,其中兩組各其中兩組各2 2人人, ,另一組另一組1 1人人, ,分赴某運(yùn)動(dòng)會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)分赴某運(yùn)動(dòng)會(huì)的
47、三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù), ,不不同的分配方案有同的分配方案有種種( (用數(shù)字作答用數(shù)字作答).).【解析【解析】先將先將5 5位志愿者分成位志愿者分成3 3組共有種方法組共有種方法, ,再再分到三個(gè)不同場(chǎng)館共有分到三個(gè)不同場(chǎng)館共有 種方法種方法, ,所以不同的分配方所以不同的分配方案有案有: : =90=90種種. .答案答案: :9090225322CCA33A22353322CCAA【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20151.(2015上饒模擬上饒模擬) )將甲、乙等將甲、乙等5 5位同學(xué)分別保送到北位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就
48、讀, ,則每則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為種種 ( () )A.240 A.240 B.180B.180 C.150 C.150 D.540 D.540【解析【解析】選選C.C.將將5 5名學(xué)生分成名學(xué)生分成2,2,12,2,1或或3,1,13,1,1兩種形式兩種形式, ,當(dāng)當(dāng)5 5名學(xué)生分成名學(xué)生分成2,2,12,2,1時(shí)時(shí), ,共有共有=90=90種結(jié)果種結(jié)果, ,當(dāng)當(dāng)5 5名學(xué)生分成名學(xué)生分成3,1,13,1,1時(shí)時(shí), ,共有共有=60=60種結(jié)果種結(jié)果, ,所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有90+60=150(90+60=150(種種).).2235331CCA23353CA2.(20142.(2014遼寧高考遼寧高考)6)6把椅子擺成一排把椅子擺成一排,3,3人隨機(jī)就座人隨機(jī)就座, ,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( () )A.144A.144 B.120 B.120 C.72 C.72 D.24D.24【解析【解析】選選D.(1)D.(1)把三把空椅子排好留出四個(gè)空位把三把空椅子排好留出四個(gè)空位. .(2)(2)在四個(gè)空位上排上三把椅子安排在四個(gè)空位上排上三把椅子安排3 3人就座人就座, ,因此因此共有共有 種坐法種坐法. .34A24
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量 10.2 排列與組合課件 理
