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1、24拋物線拋物線 1知識與技能 通過本節(jié)學習，了解拋物線的定義、標準方程，能根據(jù)條件確定拋物線的標準方程，并注意標準方程的形式，掌握四種形式的特點，會利用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程 2過程與方法 掌握開口向右的拋物線標準方程的推導過程，進一步理解求曲線方程的方法坐標法，從而培養(yǎng)學生觀察、類比、分析、計算的能力 3情感態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)的學習，讓學生體驗研究解析幾何的基本思想，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，提高學生分析問題和解決問題的能力 重點：拋物線的定義及標準方程 難點：建立標準方程時坐標系的選取 1拋物線的定義要從以下幾點考慮 (1)定義
2、的實質(zhì)可歸納為“一動三定”：一個動點，設為M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1) (2)定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線，如到點F(1,0)和到直線l：xy10的距離相等的點的軌跡方程為xy10，其軌跡是一條直線 2拋物線的標準方程 一條拋物線，由于它在平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程有四種不同的形式 對以上四種位置不同的拋物線和它們的標準方程進行對比、分析 共同點：(1)原點在拋物線上；(2)對稱軸為坐標軸；(3)準線與對稱軸垂直，垂足與焦點關
3、于原點對稱，它們與原點的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的；(4)焦點到準線的距離均為p. 不同點：(1)對稱軸為x軸時，方程的右端為2px，左端為y2，對稱軸為y軸時，方程的右端為2py，左端為x2；(2)開口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同，焦點在x軸(或y軸)的正半軸上，方程的右端取正號，開口方向與x軸(或y軸)的負半軸相同，焦點在x軸(或y軸)的負半軸上，方程的右端取負號 如果已知拋物線的標準方程，求它的焦點坐標和準線方程時，首先要判斷拋物線的對稱軸和開口方向一次項的變量若為x(或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對稱軸，一次項系數(shù)的符號決定開口方向 可用如下口訣幫助記憶： 對稱軸要看一次項
4、，符號確定開口方向 如果y是一次項，負時向下，正向上 如果x是一次項，負時向左，正向右 3學習時要注意區(qū)分拋物線和雙曲線的一支，初學者很容易將拋物線與雙曲線的一支混淆二者區(qū)別在于：當拋物線上的點趨向于無窮遠時，拋物線在這一點的斜率(曲線在某一點的斜率是指曲線在這一點的切線的斜率)接近于坐標軸所在直線的斜率，也就是拋物線接近于和坐標軸所在直線平行；而雙曲線上的點趨向于無窮遠時，它的斜率接近于它的漸近線的斜率 1平面內(nèi)_叫做拋物線，定點F叫做拋物線的_，定直線l叫做拋物線的_ 2現(xiàn)將這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標及準線方程列表如下： 3.拋物線上的點到焦點的距離，叫做_，當y22px(p0
5、)時，拋物線上的點的坐標P(x0，y0)，焦點F( ，0)，則焦半徑|PF|_. 例1判斷適合下列條件的動點的軌跡是何種曲線： (1)過點P(0,3)且與直線y30相切的動圓的圓心M的軌跡； (2)到點A(0,2)的距離比到直線ly4的距離小2的動點P的軌跡 解析(1)依題意，圓心M到點P的距離等于M到直線y3的距離，動圓的圓心M的軌跡是以點P為焦點，以直線y3為準線的拋物線 (2)依題意，動點P到點A(0,2)的距離與到直線ly2的距離相等，P的軌跡是以點A為焦點，以直線y2為準線的拋物線 已知點B(4,0)，過y軸上的一點A作直線ly軸，l與線段AB的中垂線的交點P的軌跡 解析依題意，|P
6、A|PB|，且|PA|為點P到y(tǒng)軸的距離，點P到點B的距離與到y(tǒng)軸的距離相等，其軌跡是以點B為焦點，以y軸為準線的拋物線. 例2已知拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離是5. (1)求拋物線方程和m值 (2)求拋物線的焦點和準線方程 (2)p4，拋物線的焦點坐標為(2,0)， 準線方程是x2. 說明1.求拋物線方程的方法 (1)定義值，直接利用定義求解 (2)待定系數(shù)法，若已知拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可，若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論，另外，焦點在x軸上的拋物線方程統(tǒng)一設成y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成x2ay
7、(a0) 2求拋物線焦點、準線的方程的方法 首先要將拋物線方程化成標準形式，求出p后根據(jù)拋物線的圖象寫出焦點和準線的方程，注意垂線與x軸垂直，垂足與焦點關于原點對稱，它們與原點的距離等于一次項系數(shù)的絕對值的 根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程： (1)經(jīng)過點P(4，2)； (2)焦點在直線3x4y120上 解析(1)點P在第四象限，拋物線開口向右或向下，標準方程可設為y22px(p0)或x22py(p0) 將點P(4，2)代入y22px，得2p1；將P(4，2)代入x22py，得2p8. 所求拋物線的標準方程為y2x或x28y. (2)由于有標準方程的拋物線的焦點在坐標軸上，故由直線3x4y120
8、與坐標軸的交點可得拋物線的焦點 令x0，得y3，令y0，得x4.拋物線的焦點為(0，3)或(4,0) 例3已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是其焦點，點A(2,4)在拋物線的內(nèi)部，在此拋物線上求一點P，使|PF|PA|的值最小 分析如圖所示，根據(jù)拋物線的定義把PF轉(zhuǎn)化為PQ，使折線段PA，PQ的兩端點A，Q分別落在拋物線的兩側(cè)，再通過“數(shù)形結(jié)合”可知當A，P，Q三點共線時距離達到最小 說明確定圓錐曲線上的點到兩定點的距離之和最短時的位置，通常有兩種情況：(1)當兩定點在曲線兩側(cè)時，連結(jié)兩定點的線段與曲線的交點即為所求點；(2)當兩定點在曲線同側(cè)時，由圓錐曲線定義作線段的等量長度轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)變?yōu)?1)的
9、情形即可 已知拋物線y22x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值時P點的坐標 例4某河上有座拋物線形拱橋，當水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一木船寬4m，高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為 m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？ 分析要解決本題，首先要建立適當?shù)淖鴺讼?，求出拱橋的方程，然后求出船與橋恰有兩個觸點時的坐標，進而轉(zhuǎn)化為水面與拱頂?shù)木嚯x 說明本題是與拋物線有關的應用題，解題時，可畫出示意圖幫助解題，找相關點的坐標時， 要細心，如A、B相等 一輛卡車高3 米，寬1.6米，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰
10、好是拱高的4倍，若拱口寬為a米，求使卡車通過的a的最小整數(shù)值 例5定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2x上移動，求AB中點到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時AB中點M的坐標 分析如圖所示，線段AB 中點到y(tǒng)軸距離的最小值，就是其橫坐標的最小值，因此，只要研究A、B兩點的橫坐標之和最小即可 解析如圖，設F是拋物線y2x的焦點，A、B兩點到準線的垂線分別是AC、BD，M點到準線的垂線為MN，N為垂足，則 說明本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)將三角形的性質(zhì)應用到解析幾何問題中，再結(jié)合拋物線的定義和方程，這使解答簡捷準確 如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(
11、x2，y2)均在拋物線上 (1)寫出該拋物線的方程及其準線方程； (2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1y2的值及直線AB的斜率 解析(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y22px. 點P(1,2)在拋物線上，222p1，得p2. 故所求拋物線的方程是y24x，準線方程是x1. (2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB. 例6求拋物線xay2(a0)的焦點坐標、準線方程辨析轉(zhuǎn)化成標準方程，注意a的討論 一、選擇題 1拋物線y220 x的焦點坐標是 () A(10,0)B(5,0) C(0,10) D(0,5) 答案B 解析y220 xy2210 x焦點在x軸正半軸其坐
12、標為(5,0) 2在直角坐標平面內(nèi)，到點(1,1)和直線x2y3距離相等的點的軌跡是 () A直線 B拋物線 C圓 D雙曲線 答案A 解析點(1,1)在直線x2y3上，軌跡為過點(1,1)且與x2y3垂直的直線 3若動點M(x，y)到點F(4,0)的距離比它到直線x50的距離小1，則點M的軌跡方程是 () Ax40 Bx40 Cy28x Dy216x 答案D 解析依題意可知M點到F的距離等于M點到直線x4的距離，因此其軌跡是拋物線，且p8，頂點在原點，焦點在x軸正半軸，其方程為y216x，故答案為D. 答案8 解析橢圓焦點為(2,0)和(2,0)，因為拋物線與橢圓有一個共同焦點，故m8. 5AB為拋物線y22px的一條過焦點F的弦，A、B在準線上的射影分別為A1和B1，則A1FB1_. 答案90 三、解答題 6求適合下列條件的拋物線的標準方程： (1)過拋物線y22mx的焦點F作x軸的垂線交拋物線于A、B兩點，且|AB|6. (2)拋物線頂點在原點，對稱軸是x軸，點P(5，2)到焦點的距離是6.
高中數(shù)學 241拋物線及其標準方程課件 新人教B版選修21
