高中數(shù)學(xué) 3章歸納總結(jié)課件 新人教B版選修21

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1、本章歸納總結(jié)本章歸納總結(jié) 1空間向量的概念及其運算與平面向量類似，向量加、減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關(guān)的運算律仍然成立空間向量的數(shù)量積運算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣 2ab0ab是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，這是運用空間向量研究線線、線面、面面垂直的關(guān)鍵，通常可以與向量的運算法則、有關(guān)運算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題 4直線的方向向量與平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對位置的重要概念，通過研究方向向量與法向量之間的關(guān)系，可以來確定直線與直線、直線與平面、平面與平面等的位置關(guān)系以及有關(guān)的計算問題 5用空間向量判斷

2、空間中的位置關(guān)系的常用方法 (1)線線平行 證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量 (2)線線垂直 證明兩條直線平行，只需證明兩直線的方向向量垂直，即abab0. (3)線面平行 用向量證明線面平行的方法主要有： 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直； 證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線方向向量是共線向量， 利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性表示直線的方向向量 (4)線面垂直 用向量證明線面垂直的方法主要有： 證明直線方向向量與平面法向量平行； 利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題 (5)面面平行 證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)； 轉(zhuǎn)化為線面平

3、行、線線平行問題 (6)面面垂直 證明兩個平面的法向量互相垂直； 轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題 6運用空間向量求空間角 (1)求兩異面直線所成角 (2)求線面角 求直線與平面所成角時，一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量，通過數(shù)量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線方向向量與平面法向量的夾角.即可求出直線與平面所成的角其關(guān)系是sin| cos|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義，在兩個面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對應(yīng)的方向向量，然后求出這兩個方向向量的夾角，由此可求出二面角的大小；另一種方法是轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個面的法向

4、量的夾角，它與二面角的大小相等或互補 7運用空間向量求空間距離 空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為求點與點、點與線、點與面的距離 (1)點與點的距離 點與點之間的距離就是這兩點間線段的長度，因此也就是這兩點對應(yīng)向量的模 (2)點與面的距離 點面距離的求解步驟是： 求出該平面的一個法向量； 求出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量； 求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可得到要求的點面距離 1.空間向量有關(guān)概念的辨析題、空間向量中的所有概念都是嚴密、精練、準確的，在出辨析題時往往改變、缺失概念中的某些條件或者忽略概念規(guī)定的特殊情況所以對基本概念的理解要做到全面、準確、深入

5、 若ab0，則a，b是鈍角； 若a是直線l的方向向量，則a(R)也是l的方向向量； 非零向量a，b，c滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，則a，b，c必共面 其中錯誤命題的個數(shù)是() A1B2 C3D4 答案D 說明正確理解，掌握空間向量的基本概念和公式，才能迅速解決此類問題 以下四個命題中，正確的命題個數(shù)為() 若a，b共線，則a與b所在直線平行 若a，b所在直線是異面直線，則a與b一定不共面 若a，b，c三向量兩兩共面，則由a，b，c三向量一定也共面 若a，b，c三向量共面，則a，b所在直線所確定的平面與由b，c所在直線所確定的平面一定平行 A0個B1個C2個D3個 答案A 解析a，b

6、共線時，a與b所在的直線平行或重合，不正確；空間任意兩向量共面，不正確；由知a，b，c一定兩兩共面，但無法保證a，b，c共面，不正確；a，b，c共面時，a，b所在的直線可能異面，不正確 2空間向量的運算及其坐標表示法 空間向量的運算是其應(yīng)用的主要途徑，尤其是兩個向量的數(shù)量積是應(yīng)用的重點，空間向量運算的坐標表示是立體幾何中的證明、計算轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題的唯一通道，尤其是立體幾何中的開放性問題可轉(zhuǎn)化成代數(shù)中的解方程問題，從而得到簡單的解答 解析根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點，可建立空間直角坐標系，通過點和向量的坐標將問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程是否有解的問題如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(

7、1,1,0)，D(0,2,0)，設(shè)直線AP上有一點M(0,0，z0)，設(shè)平面PCD的一個法向量為n(x，y，z)，則由 說明利用空間向量的運算，可以完成空間中的有關(guān)計算、證明等題型 如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是BC的中點在DD1上是否存在一點N，使MNDC1？并說明理由 1.利用空間向量解決平行垂直問題，直線與直線的平行轉(zhuǎn)化為共線向量；直線與直線的垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；直線與平面的平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量用平面內(nèi)兩不共線向量表示出來或直線的方向向量與平面法向量表示，而面面平行與垂直，也是從兩平面的法向量的平行與垂直體現(xiàn)的 例3(2

8、010安徽理，18)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H為BC的中點 (1)求證：FH平面EDB； (2)求證：AC平面EDB； (3)求二面角BDEC的大小 解析四邊形ABCD為正方形，ABBC. 又EFAB，EFBC. 又EFFB，EF平面BFC. EFFH，ABFH. 又BFFC，H為BC的中點，F(xiàn)HBC. FH平面ABC. 點評綜合法更注重推理，方法巧妙，計算量不大，對空間想象能力以及邏輯推理能力要求較高，而向量法更多的是計算而且方法統(tǒng)一，具有格式化，易于掌握從近幾年高考尤其新課標地區(qū)的高考題來看主要以向量法的考

9、察為主，較少使用綜合法 如圖，四棱錐PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.點E在棱PA上，且PE2EA. (1)求證：PC平面EBD； (2)求平面PCD與平面PAB所成的角的大小(用反三角函數(shù)表示) 2利用空間向量求異面直線所成角、線面角及二面角大小，簡化了這類題型的思維量 例4如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中點 (1)求直線A1C與DE所成的角； (2)求直線AD與平面B1ED所成的角 解析以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系 說明向量所成角與異面直線所成角、線面角及二面角的大小之間有著密切聯(lián)系，注意范圍，這也是這三類角的最主要求法 3利用空間向量求距離 立體幾何求距離是高考的一個熱點問題，求解的常見方法有作出所求的線段構(gòu)造三角形、解這個三角形或利用等面積、等體積轉(zhuǎn)化或運用向量來解決 例5四棱錐EABCD中，底面ABCD是矩形，AB2BC2，側(cè)面ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F(xiàn)是AB中點，AD中點為O，求O到平面EFC的距離