《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 數(shù)列系列之?dāng)?shù)列的周期性含解析 新人教A》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 數(shù)列系列之?dāng)?shù)列的周期性含解析 新人教A(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、五、周期(循環(huán))數(shù)列(擴展)的運用
對于數(shù)列{An},如果存在一個常數(shù)T,對于任意整數(shù)n>N,使得對任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立,則稱數(shù)列{An}是從第n項起的周期為T的周期數(shù)列。
典型例題:
例1.數(shù)列滿足,則的前60項和為【 】
(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830
【答案】D。
【考點】分類歸納(數(shù)字的變化類),數(shù)列。
【解析】求出的通項:由得,
當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;
當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;
當(dāng)時,;當(dāng)時,;······
當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;
2、
當(dāng)時,()。
∵,
∴的四項之和為()。
設(shè)()。
則的前項和等于的前15項和,而是首項為10,公差為16的等差數(shù)列,
∴的前項和=的前15項和=。故選D。
例2.對于,將n表示為,當(dāng)時,當(dāng)時為0或1,定義如下:在的上述表示中,當(dāng),a2,…,ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時,bn=1;否則bn=0.
(1)b2+b4+b6+b8=▲ .;
(2)記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù),則cm的最大值是▲ ..
【答案】(1)3;(2)2。
【考點】數(shù)列問題。
【解析】(1)觀察知;;
依次類推;;
;,;;
∴b2+b4+b6+b8=3。
3、
(2)由(1)知cm的最大值為2。
例3.對于項數(shù)為的有窮數(shù)列,記(),即為中的最大值,并稱數(shù)列是的控制數(shù)列,如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5
(1)若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5,寫出所有的(4分)
(2)設(shè)是的控制數(shù)列,滿足(為常數(shù),),求證:()(6分)
(3)設(shè),常數(shù),若,是的控制數(shù)列,求(8分)
【答案】解:(1)數(shù)列為:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5。
(2)證明:∵,,∴。
∵,,∴,即。
4、 ∴。
(3)對,;;
;。
比較大小,可得。
∵,
∴,即;
,即。
又∵,∴,,,。
∴
=
=
===。
【考點】數(shù)列的應(yīng)用。
【解析】(1)根據(jù)題意,可得數(shù)列。
(2)依題意可得,又,,從而可得,整理即證得結(jié)論。
(3)根據(jù),可發(fā)現(xiàn),;
5、;
;。通過比較大小,可得,,而,從而可求得的值。
六、數(shù)列特征方程的應(yīng)用:所謂數(shù)列的特征方程,實際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)列而引入的一些等式,常用的有以下幾種形式:
1. 形如的數(shù)列,一般是令,解出,則是公比為的等比數(shù)列 。
2. 形如的數(shù)列,一般是令,解出,則
①當(dāng)時, ,其中為待定系數(shù),可根據(jù)初始值求出;
②當(dāng)時,,其中為待定系數(shù),可根據(jù)初始值求出。
3. 形如的數(shù)列,一般是令,解出,則
①當(dāng)時,為等比數(shù)列;②當(dāng)時,為等差數(shù)列。
典型例題:
例1.函數(shù)。定義數(shù)列如下:是過兩點的直線與軸交點的橫坐標(biāo)。
(1)證明:;
(2)求數(shù)列的通項公式。
【答案】解:(1)∵
6、,∴點在函數(shù)的圖像上。
∴由所給出的兩點,可知,直線斜率一定存在。
∴直線的直線方程為。
令,可求得,解得。
∴。
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)時,,滿足,
假設(shè)時,成立,則當(dāng)時,,
由得,,即,∴。
∴也成立。
綜上可知對任意正整數(shù)恒成立。
下面證明:
∵,
∴由得,。∴。
∴即。
綜上可知恒成立。
(2)由得到該數(shù)列的一個特征方程即,
解得或。
∴① ,②。
兩式相除可得。
而
∴數(shù)列是以為首項以為公比的等比數(shù)列。
∴。
【考點】數(shù)列的通項公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運用,不等式的證明,數(shù)學(xué)歸納法。
【解析】(1)先從函數(shù)入手,表示直線方程,從而得到交點坐標(biāo),再運用數(shù)學(xué)歸納法證明,運用差值法證明,從而得證。
(2)根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得數(shù)列的通項。
內(nèi)容總結(jié)
(1)五、周期(循環(huán))數(shù)列(擴展)的運用
對于數(shù)列{An},如果存在一個常數(shù)T,對于任意整數(shù)n>N,使得對任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立,則稱數(shù)列{An}是從第n項起的周期為T的周期數(shù)列
(2)五、周期(循環(huán))數(shù)列(擴展)的運用
對于數(shù)列{An},如果存在一個常數(shù)T,對于任意整數(shù)n>N,使得對任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立,則稱數(shù)列{An}是從第n項起的周期為T的周期數(shù)列