高考數(shù)學二輪復習 專題八 數(shù)學思想方法與高考數(shù)學文化 第2講 分類討論思想、轉化與化歸思想課件 文

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1、第第2講分類討論思想、轉化與化歸思想講分類討論思想、轉化與化歸思想數(shù)學思想解讀1.分類討論的思想是當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結論，最終綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數(shù)學思想.2.轉化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題時，思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化到另一種情形，也就是轉化到另一種情境使問題得到解決，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式.探究提高1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性取決于底數(shù)a，因此，當?shù)讛?shù)a的大小不確定時，應分0a1兩種

2、情況討論.2.利用等比數(shù)列的前n項和公式時，若公比q的大小不確定，應分q1和q1兩種情況進行討論，這是由等比數(shù)列的前n項和公式決定的. 解析(1)當n1時，a1S12a12，解得a12.因為Sn2an2，當n2時，Sn12an12，兩式相減得，an2an2an1，即an2an1，則數(shù)列an為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則S5S4a52532.探究提高1.圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點的位置不同來分類討論.2.相關計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論. 應用3由變量或參數(shù)引起的分類討論【例3】已知f(x)xaex(a

3、R，e為自然對數(shù)的底).(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)若f(x)e2x對xR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)1aex，當a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)是(，)上的單調遞增函數(shù)；當a0時，由f(x)0得xln a，所以函數(shù)f(x)在(，ln a)上的單調遞增，在(ln a，)上的單調遞減. 探究提高1.(1)參數(shù)的變化取值導致不同的結果，需對參數(shù)進行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.本題中參數(shù)a與自變量x的取值影響導數(shù)的符號應進行討論.(2)解析幾何中直線點斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線位置關系要進行討論.2.分類討論要標準明確、統(tǒng)一，層次

4、分明，分類要做到“不重不漏”.【訓練3】(2015全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x).(1)討論f(x)的單調性；(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍.探究提高1.一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果.2.對于某些選擇題、填空題，如果結論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案.應用2函數(shù)、方程、不等式之間的轉化【例5】已知函數(shù)f(x)3e|x|，若存在實數(shù)t1，)，使得對任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt)3ex，

5、試求m的最大值.解當t1，)且x1，m時，xt0，f(xt)3exextext1ln xx.原命題等價轉化為：存在實數(shù)t1，)，使得不等式t1ln xx對任意x1，m恒成立.令h(x)1ln xx(1xm). 探究提高1.函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助.2.解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關系轉化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍.探究提高1.第(1)題是正與反的轉化，由于不為單調函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則.題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對

6、很少，從后面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中.2.第(2)題是把關于x的函數(shù)轉化為在0，4內關于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其它變元看作是參數(shù).【訓練6】已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導函數(shù).對滿足1a1的一切a的值，都有g(x)0，則實數(shù)x的取值范圍為_.1.分類討論思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略.對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件

7、，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思想，降低問題難度.常見的分類討論問題： (1)集合：注意集合中空集 討論.(2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應分a1和0a1的討論，函數(shù)yax2bxc有時候分a0和a0的討論，對稱軸位置的討論，判別式的討論.(3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論.(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何：點線面及圖形位置關系的不確定性引起的討論.(7)平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論.(8)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等.2.轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.