數(shù)學(xué)物理方程(谷超豪)第二章熱傳導(dǎo)方程習(xí)題解

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1、第二章熱傳導(dǎo)方程 § 1熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的提 1. 一均勻細(xì)桿直徑為/,假設(shè)它在同一截面上的溫度是相同的，桿的表面和周朗介質(zhì)發(fā) 生熱交換，服從丁?規(guī)律 dQ = k^u -u^dsdt 又假設(shè)桿的密度為p，比熱為C,熱傳導(dǎo)系數(shù)為試導(dǎo)出此時溫度"滿足的方程。 解：引坐標(biāo)系：以桿的対稱軸為兀軸，此時桿為溫度w=//(x,r)o記桿的截面面枳迢 4 為S。由假設(shè),在任意時刻/到t + M內(nèi)流入截面坐標(biāo)為x到x +山一小段細(xì)桿的熱量為 桿表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換,可看作一個“被動”的熱源。由假設(shè),在時刻f到/ + AZ在 截面為x到x十4「一小段中產(chǎn)生的熱最為

2、5A1AZ 又在時刻/到/ + AZ在截而為x到x + Av這一小段內(nèi)由丁溫度變化所需的熱斎為 d03 = cp\p (-V J + A/) - w (x, t )Jy Av = 由熱駅守恒原理得: cp^i|r sAtA/ = sAxAf -?yL(u - Uj )sA.rA/ 消￡ 5 A\ Ar,再令A(yù)x to, A/TO得料i確的關(guān)系: cp 2.試直接推導(dǎo)擴散過程所滿足的微分方程。 解：在擴散介質(zhì)中任取一閉曲而It包用的區(qū)域為Q,則從時刻厶到/三流入此閉曲 面的溶質(zhì)，由dM=-D鑒/M,其中D為擴散系數(shù)，得 on 濃度由"變到山所石Z溶質(zhì)為 ■ dvdt

3、 M1 =ffj c["(x，y，z,/J - "(X, y, z J J0xdM = jjjjci/rJv n si h S h si S 兩者應(yīng)該相等，由奧.高公式得： dvdt = M. rx Q / 其中C叫做孔積系數(shù)=?L隙體積。一般情形C=lo由丁?G山昇2的任意性即得方程: 3殮(混凝土)內(nèi)部儲藏著熱駅，稱為水化熱，在它澆筑后逐漸放出.放熱速度和它所儲 藏的水化熱成正比。以Q(/)表示它在單位體枳屮所儲的熱磺，Q為初始時刻所儲的熱屆， 則Vg二-忽，苴中”為常數(shù).又假設(shè)碗的比熱為c,密度為°,熱傳導(dǎo)系數(shù)為R,求它 at 在澆后溫度"滿足的方程。

4、 解：可將水化熱視為-?熱源。由字=-忽及得0(/)=?＜仁由假設(shè), 放熱速度為 Q” 它就是單位時間所產(chǎn)生的熱量,因此,由原書71頁,(1.7)式得 4設(shè)一均勻的導(dǎo)線處在周H；l為常數(shù)溫度心的介質(zhì)中，試證:在常電流作用卜?導(dǎo)線的溫 度滿足微分方程 其中i及F分別表示導(dǎo)體的電流強度及電阻系數(shù),表示橫截面的周長,伉表示橫截面面積, 而R表示導(dǎo)線對丁?介質(zhì)的熱交換系數(shù)。 解：問題可視為仃熱源的桿的熱傳導(dǎo)問題。內(nèi)此由原71頁(1.7)及(18)式知方程取形式 為 du o d2U \ 亍 p+g) 其中d?二二尸(x,/)/cpF(x,/)為單位體枳單位時間所產(chǎn)生

5、的熱氐 cp 由常電流i所產(chǎn)生的F](x,f)為0.24/?/莎。因為單位長度的電阻為■,因此電流i作 (O 功為 co 乘上功熱當(dāng)彊得單位長度產(chǎn)生的熱駅為0.24A/QJ[中0 24為功熱為吊“ 因此單位體積時間所產(chǎn)生的熱最為0.24宀// 由常溫度的熱交換所產(chǎn)生的(視為“被動”的熱源)，從木節(jié)第-題看出為 其中/為細(xì)桿直徑，故硝"弓斗，代入得 F2(x,t)=^hL(u-uQ) CO 因熱源可迭加，故仃尸(x,f)二尸1(X,/)十凡(X,/)。將所得代入字二d?」+/(x,/)即得 0/ 所求: 0.24/2 r cpco" 5?設(shè)物體表面的

6、絕對溫度為“,此時它向外界輻射出去的熱量依斯戎一波耳 (Stefan-B oltzinan)定律 1E 比 J ：" 4 ,即 dQ = 6(dsdf 今假設(shè)物體和周陽介質(zhì)Z間只仃輻射而沒仃熱傳導(dǎo)，又假設(shè)物體周陽介質(zhì)的絕對溫度為已 知函數(shù)/(x,y,z,r).|nj此 時該物體熱傳§導(dǎo)問題的邊界條件應(yīng)如何敘述？ 解：山假阪 邊界只仃輻射的熱鼠交換，輻射出去的熱駁為dQx =ai^\sdsdtM射 進(jìn)來的熱錄為dQ =qfA\sdsd「因此由熱駅的傳&定律得邊界條件為: 「1$】 §2混合問題的分離變量法 1.用分離變尿法求卜?列泄解問題的解： du d2u z \ a (

7、t > 0,0 < x < 7t) 羽 a「 < w(oj)=—(^r) = o (/>o) ox u(xfi) = f (x) (0

8、 o2(2n+l)\ 「匕、? 2〃 + l ” 7 1 . 2"十 1 f (g) sin g? e 4 sin 2 2 (/ > 0,0 < x < 1) (/>0) 解：設(shè)u = X(x)T (r)代入方程及邊值得 X"^AX =0 X(0) = XQ) = 0 Tf+AT = 0 求卄零解 X⑴得久〃 =n27T2 ,Xn = sin htd: n=lt2f 對應(yīng)T為 T? = CneM oo u(x,t) =

9、 血 nJIX 宙始值得 oo ￡C〃 Sill H7D：=? n=l 1-X 0

10、 始溫儀分仆為"(工0) = /(Q,問以看時刻的溫度分傷如何？兒證明兒/⑴鴿］：常數(shù)心時, 恒有 M(X,/) = M0o 解：即解定解問題 w|/=o=/W 設(shè)"=x(.v)r(o代入方程及邊值得 Xn+AX =0 X,(0) = X\l)=Q T9+a2aAT = 0 求非冬解X(x)： (1) 當(dāng);I V0時，通解為 X(x) = AfC 十％廿^ X\x) = - 山邊值得= 0 [ A — B = 0 因fT工o故相當(dāng)于仃*財戶=。 視久B為未知數(shù).此為一齊次線性代數(shù)方程紐?要X(x)卄?零，必需不同為零.即 此齊次線性代數(shù)方程組要令非冬解，

11、由代數(shù)知必盂令 =0 [右_詞 W/ > O,qFT> 0, e'為單調(diào)増函數(shù)Z故。因此沒有非冬解X(x) o 當(dāng)久=0時，通解為 X (x) = ax + b X\x) = a /|=1 /|=1 由邊值得 X9(O) = X9(l)=a=O /|=1 /|=1 即b nj任意.故X(x)三1為一非零解. (2) 當(dāng)久＞0時，通解為 X (x) = A cos^Ax 十 B sin /|=1 /|=1 由邊值得 要X(x)非零,必需A#0,因此必需sin羽 =0,即 X,(O) = %

12、?(/) = -^[A sin楨 + cos^AI = 0 an/T 2 -nn (zi整數(shù)) 這時對應(yīng) X (x) = cojU?a(1(Z-4 = 1) (〃整數(shù)) 因葉取正整數(shù)與負(fù)整數(shù)對應(yīng)X (x) —樣，故町取 2 = (?)2 n =1,2,L L Xn (x) = cos——x n =1,2,L L 對應(yīng)J - A = O,X0(a)=1,解T 得 T0(t) = C0 對應(yīng)?。?二竽2, x“(x)二 co年x,解 T 得7；(t) = Cne~~ 由迭加性質(zhì),解為 /|=1 /|=1 8 W(XJ) = Co 十

13、 /|=1 由始值得 /(X) = ￡cn co年x n=0 < 因此 cos^Lxdx n = 1,2,L L ./ Co =j\f(x)dx / o 所以 w(x,0 = yJ f(x)dx + f*|7? CO “0 n=l 0 ?<翠兒 H7T 1 - COSv^.V 當(dāng) f(X)= Wo = 時, C° =?j u^dx = / 0 cos^^xdx = 0 n = 1,2,L 所以 u(u,t) = uQ 4.在/> 0, 0 < X < /區(qū)域

14、中求解如卜的定解問題 dw 0 d2U 、 方w片-0(一呦) w(o,r) = u(/,r) = w0 心 o)= /W 其中a,0,知均為常數(shù)，/(Q均為已知函數(shù)。 [提示：作變量代換//=?0+v(x,O^.] 解：按提示，引U - Mq + v(x,t)e~^ ,則v(A*,r)滿足 由分離變吊法滿足方程及邊值條件的解為 再由始值得 故 因此 ￡打［/?-々］血學(xué)舛嚴(yán)〒)'詢sin牛 w0十 H=1 ? 0 5.長度為/的均勻細(xì)桿的初始溫度為0°,端點x = Q保持常溫

15、而在x =/和側(cè)面上. 熱吊町以發(fā)散到到周田的介質(zhì)屮氏介質(zhì)的溫度取為0J此時桿上的溫度分布函數(shù)u(xj)滿 足卜述定解問題: 解：引“(E/) = y(x) + w(兀/)使w滿足齊次方程及齊次邊值，代入方程及邊值，計算 后v(x)要滿足: a2l^-b2v = O v(O) = w0,(v+//i0.r=i =0 8 _(竺 v(^0 = XA^e 1 血午大 n=l 1 oo /⑴-呦=￡△“ sin竽X n=l 1 A" /(x) —g] sin 竽vd」 z o z 由邊值 v(x) Ach^Lx + Bshlx v(0) = A = uq v'

16、(x) = shlx + Bchlx) a a w(xj) =M0 +心/)廠介 得 厶"0$/?2/ 十 Bchh)十 H (igch^Ll + Bsh^l) = 0 a a a a a 解之.得 B = - ?()(hsh — 1 十 Hach—l)l(bch—l + Hash — /) a a / a a ■ 因此 v(x) = w0 ch 厶 x -z/0 (bsh — 1 + Hach — /) sh — x !(bch—1 + Hash — /) a a a a / a a =-u^[hch—(/ - ,v) + Hash—(/ -x)]/( hch — /

17、+ Hash—I) a a f a a 這時w(x.t)滿足: 設(shè)= X(x)7\/)代入方程及邊值條件得 Wax =o x(o),x'(/)+ //x(/)= o T +(a2A + h2)T = 0 求非零解X(x)cA>0時，才有非零解。這時通解為 X (x) = A + B sin^Tx 由邊值得 X (0) = 4 = 0 得 A = 0 X (x) = B sin^fTx X (,v) =^AB cos^Ax + H siii^^ = 0 要3工0,即有非零解，必須 + H sin^fAl = 0 H P 它仃無窮可數(shù)

18、多個正根，設(shè)其為“】,L ,〃2丄得 2 X“(x) = sin^kx,九 =學(xué) 對應(yīng)T為 因此 - Y犁+/?》 a = y Ane 1 Sin牛 其中兒滿足方程 p = Hl 再由始值得 t加?！? n=l —“o [bch — (/ - .V)十 Hcish — (l - .v)] bch—I + Hash—I ci a 所以 j- vsiii 罕xdx 阿牛皿 0 應(yīng)用他滿足的方程，計算可得 嚴(yán)牛心*

19、 -x)c osmmb.v 一2$力2(1 一 x) sin?y*.v^ 二卄心出) (T u二 +b 十 a I 廠 f sh^LfJ - x) sui?LaJ.v (/ 0 a I +b十 l 一 ~ -x） sin 牛Y 一牛/i級一 x） co 牛寸 丄sin ““ 十牛必2/) cr p;十 b 十 d I a 所以 -V sill Ah xdx = - // 0 h^n COS ““ + CT m十b十 bjunch —1-lHhsin //” 十 Ha/Jnsh a y /(bch — I + Jasj —

20、I f a a a?"」 a'lb (-血 cos”〃-/H sin “J -wo^^^*W7F- D +b 十 H * 十 (bch-l Hash-I) a a M fl； +b 十 Q = A _「2"0空”(￡+“：) 最厲得 "(d~“,；+/r「) (p_ 十p十〃,;) 氐礙(j) +加創(chuàng)7) 2 “CD 二 “° r r 卜 bch-l 十 HashS 1 )'sin 如x a a = "；(P 十坨) Y n=\ SM+b十)("十"+“,；) 其中““滿足 lgp =」L P (P = Hl) 另一解法：設(shè)z/ = v + IV

21、使?jié)M足vv（o,r） = "o ,（」十Hw）L = 0-為此取 w = ax + b.代入邊值得 h = UQ, a十H(al + uQ) =0 解之得 —H% a 1 + HI b = uQ 因而 滿足 dv -> d^v . v(Oj) = O v(x,O) = -vt(x,O) = -?o (1 按非齊次方程分離變最法，有 8 咻,o二E幾⑴心⑴ n=l 其中心（X）為對應(yīng)齊次方程的特征阪數(shù)，由詢一解知為 加）=血3 罠吟尿=書,p = HD 8 v(x,/) = 5^7；,

22、 (r) sill knx n=l 代入方程得 8 LJ^ g 0 J ajIJw L(幾十曠RRn+b~TJsill knx 二-/r“o (1 -］十川 n=l 由J ｛sillier｝是完備正交函數(shù)系，因此可將—b認(rèn)Q一占舖展成｛sin燈x｝的級數(shù), 即 sin knxdx! N 一b 2w° a -f：/)=E ￡ 血忍兀 丄十E n=l N八=fsiii2 knxdx 二■十a(chǎn) = “ J 2 2(益+/) -b" coskj UQ + H) 所以 7吩十。曲（1-為-島寺］ =-b^T A ,

23、0 ] An 0 k N Kn1N n 由始值得 將此級數(shù)代入等式右端得幾滿足的方程為 恥）""0僉 解7；的方程，其通解為 T _二廣(必+心■ 一慶"0 1 knNn "k； +/T j-/?2w0 (1 sill knxdx = -/?2m0(-??cosAhx - xcos/:/；x+?2^siii A.v]}|^ 得 即有解 因此 H 「 "(XJ) = w0 (1 - 一 2J “0 knNn(a2k^ +滬) (a'k 詁 Skhb" +b')sin knx 6半徑為a的半圓形平板，荻表而絕熱，在板的圓周邊界上保持常溫心，而在11

24、徑邊 界上保持常溫"「闘板穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布。 解：引入極坐標(biāo)，求穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布化為解泄解問題 d2W 1 du 1 d2U 門 ■^十二 o 。廠 r dr 廠 d&- “ = U|如產(chǎn)"1 u\l=a = uQ u\t =0 為有限 (拉普斯方程在極坐標(biāo)系卜形式的推導(dǎo)見第二章§1習(xí)題"其屮引入的也界條件M|r=0為 仃限時，叫做自然邊界條件?它是從實際情況而引入的。再引= +v(r^),則 滿足 d2v 1 dv 1 d2v Vlr=? = W0-Ml vlr=0 有限 設(shè)v(r^) = ①(&),代入方程得 ? 1 、 1 R cD=i/?(D+—/

25、?^M=O ? II ? ① r-R十rR R 右邊為「丙數(shù)，左邊為&丙數(shù)，耍恒等必須為一常數(shù)記為久，分開寫出即得 J ①“+久①=0 ［r2/?,,+/7?,-^/? = O 再由齊次邊值得 ①(0) = <1)(龍)=0 由以前的討論知 Afl = 2 = ??2 ①“(&) = sin〃0 n =1,2L L 7V 對應(yīng)R滿足方程 r2Ru+rR9-n2R = O 7?=1,2L L 這是尤拉方程，設(shè)R = ra代入得 a(a-l)ra ^oo a -n2ra =0 -ir =0 a = ±n 即 R = rn R = rn

26、為兩個線性無關(guān)的特解，因此通解為 心(Of 0嚴(yán) 由口然邊界條件v\r=oii限知Rn (r)在廣=0處裳右限.因此必? Dlt = 0由迭加性質(zhì)知 滿足方程及齊次邊值和門然邊界條件，再宙 說嚴(yán)“0一"1 得 因此 所以 8 ?0 - "1 = y\Cna，J sill" & n=l -旳）血〃更0= 2（"o 弓1）［1_（_1門 7UI Q H7ta 2（i/n — Wi） r .. ” 心）F十占一3 ］皿 H7T  §3柯西問題 1.求卜述函數(shù)的富甲?埃變換： (1) （〃>0） C) (3>0) (3) X 1 （a>

27、0, k為門然數(shù)） —2 OO r — 2 * -瓜宀里X） （柯兩定理） 己 工8 認(rèn)"切f 00 一〃 十 —co 解：(1) F{e~^ ] = J e~^e~ipxdx= \e 刁 dx 8 8 或者 F[e_*'‘ ] = | e~^ (cospx一 isiii px)d.x = 2卜一""cospxdx = 2/(p) —OO 0 p /(P) 枳分得 乂 故 所以 I(P) = Ce 仞 OO /(0)=J e^dx =  (2) ]=j廠札T —oo 0 oo ?~ipxdx = j eaxe~,pxdx

28、 + j e~ —oo 0 oo a 一 + p- 一49]= Je~l^e~ipxdx = Je~4i(cos px- isill px)dx 0 oo | =^e^a~ip^xdx + '-("+巾)仏 oo =2 f e~ax cos pxdx - Q d ■十 /T G) F[ A 1 A (d- +X-) 7 e_Px e^ipz = 17ti Re 丄(曠+廠)人 (?/ d? 十 ai) [ A：—1 m …ST (z + ai)-k-m(-ip)k-m-[e-ipz 二方丄nfc：i

29、(T)嘆伙十1兒伙+加-1)(2帀)亠氣—初u嚴(yán) (K — l)：m=0 _ 1 亍伙 + 加-1)! (_l)f 一伙一 1)!召加伙一加一1)! i(2d)5 所以 J+m k_m-\ ap ] (a2 +x2)A 2加亠 pH嚴(yán) 2龍 &伙十加一 1)! (一1)-心嚴(yán) (k-iy.^m(k-m-iy. (2a)k+m ? ■ X 1 d匚 —― h ■ 1 (6/2 +/)人 i dp (a2 +x3)A _ . 2龍悩伙+加一1)! (_1)H (k-1)!角伙 _ 加一1)! (2a)k+m [伙-m-l)pk-nt-2e

30、aP + apj-" ] + 嚴(yán)—2妝嚴(yán)+2 嚴(yán) [伙一 1)丁 E如s能加背 兀(2—2)! (20)4 (_l)f T 嚴(yán)-2 嚴(yán)(ap + k— m -1) 2.證明當(dāng)f(x)在(-8,00)內(nèi)絕對可積時.F(f)為連續(xù)函數(shù)。 證：因F⑴二jf(x)e~ipxdx = g(p)對任何實數(shù)pff OO OO 1尸(/)冃 g(P)l< Jl/(x)|dx —OO 即關(guān)于P絕對一致收斂，因而可以在積分下取極限.故旳)關(guān)于P為連續(xù)函數(shù)。 3.用富里埃變換求解三維熱傳導(dǎo)方程的柯兩問題 du d2u d2u d2u \ 付訂十滬十訂) 8

31、 解：令尸[m(x,y,z)] = JJJw(x,y,z,t)e~'{xSx+ys^:^dxdydz = i7(51,52,53,/) —8 對問題作富里埃變換得 OO 牛+s「+532)w 帀 b=0 = JK 0(忑 ” Z)「g+''Z)dxdydz = 0(? ,52,53) 解之得 iZ = 0Gi，$2，S3“WW" OO F_1 [e_fl，+5,J +S,Jj J|￡-/(彳+彳+彳)/. 再由卷積定理得 ( \ \3 oo _(xY)‘ +(〉」")'Xz-C u(x.y.z.t) = (7^] ”[(

32、仙,》 d勿噸 4證明(320)所表示的函數(shù)滿足非齊次方程(3 15)以及初始條件(3 16). 證：要證 —8 —8 oo J(p(^)e 4 乩 dg +■ —8 —8 滿足定解問題 du o d2U r(八 u(xfi) =(p(x) 原15 85頁上已證解的表達(dá)式中第一項滿足 du r d-W u{xfl) =(p(x) 因此只需證第二項滿足 du d^u r/ \ kh心) u(xfl) = Q 如第一項，第二項關(guān)丁?丁的被積兩數(shù)滿足 dco ° d^co W= (X ■ ?孑

33、 av2 /y(x,r) = /(x,r) 若記第二項為“被枳函數(shù)為a,即 故仃 普=血/) +  It -> d2V dx2 It o d^V rz 、 d(O 曠話十g)*苛 z(x,o ar 顯然v(xfi) = 0得證。 5.求解熱傳導(dǎo)方程(3.22)的柯西問題，已知 (1) u |/=0 = sill x O* w|/=0 = x3 +1 (3)用延拓法求解半有界直線上熱傳導(dǎo)方程(3 22)，假設(shè) u(xfi) = 0(x) (0 < X < oo) ° w(0J) = 0 解： (1) sinx令界，故 oo "(x,/) j sill

34、 4^ 曲 dg 1 OC - 4?7 sill x (2) 1+x?無界，但表達(dá)式 —8 —8 oo _(?*_￡)' M(V,/) = J(1 十嚴(yán)“曲站 仍收斂，」1滿足方程。因此 —8 1 8 w(x,0 = 易驗它也滿初始條件。 （3）由解的公式 JV?” s dg —oo 2 -a?. Jq+F*皿妬辰 L + Cr-A)1 2^^6/A + x2)J e'^dA-lx^ 加 —oo

35、 0 8 知，只需開拓0（x）,使Z對任何X值有意義即町。為此，將枳分分為兩個J與J，再在 —oo 0 第一個中用（_◎來替換歹就得 oo _aY)2 _(X+§)2 由邊界條件得 |心,/)= 6.證明函數(shù) v(x,y,4

36、2 1 . (x_g)一 十(y _")一龍一-4

37、a\t-ty dv 仿此 所以 7.證明如果他CM）上2（如）分別是卜列兩個問題的解。 d Wo o hr+話 吋匸 o =^2(y) i dMi o d-Mi a廠 ?l|/=o = 01 (x)； 則 w(x, y,r) = Ui (x,r) - m2 (y,r)是定解問題 dll C=D=0(X)02(y) 所以a 又 d2u + dwi du^ du du T 的解。 證：驗證即可。因 3m du i

38、 Bid at dt 「 dt ?吋 r=o=0(x)0(y) 8.導(dǎo)出卜列熱傳導(dǎo)方程柯西問題解的農(nóng)達(dá)式 n 4=o =鴨a,〉’)= (刃 解：由上題，只石分別求出 及 dnj /0|/=o 二舛⑴ 的解.然后再相乘迭加即得。但 ° d2u. dt dy- ?F 刈“二恥) 3w-> (5 ^2(>\0= 1 8 _(wr 、2(祈 J0i (處 4巧 d〃 [ n +?o +8 所以 w(.r,y,r)=^—￡ f f 匕?A ge ~_dgdq 9.驗證二維熱傳導(dǎo)方程柯西問題 解的表達(dá)式為

39、 +oo +8 _(—疔+(〉?一")‘ / >0滿足方程，故只需證明可在積 證：由第6題知曲數(shù) 、c —— 47ncrt 分巧卜求導(dǎo)二次即町。為此只需證明在積分號卜求導(dǎo)后所得的枳分是一致收斂的。 對x求導(dǎo)一次得 +oo +oo 盧、 (―勿+；>〃)' 卜-列積分 對有限的X,y 即r0 f 0 是絕對n—致收斂的。因為對充分人的a>o,每個枳分 8 (f je 4內(nèi) d〃 A -A _()」〃)' J e 4“" d〃 都是絕對且一致收斂的。絕對性町從A F 0

40、充分人后被積函數(shù)不變號看出，-?致性可從充分 性判別法找出優(yōu)函數(shù)來。如第三個積分的優(yōu)兩數(shù)為 oo 3"）' 且 收斂。 W \e dr] A 8 8 j _（大7）'乂$-〃）' 十 4（1 加 o 右端為-?致收斂積分的乘枳，仍為一致收斂積分。因而人為絕對-致收斂的積分。從而仃 從而證明表達(dá)式滿足方程。 ―oo —oo 戸"叫如M —oo N E7T 再證滿足始值。任取一點（x0,y0）,將^（x0,y0） 8 8 寫成 *0*0）=—f（0（打,為”"+%0& —oo —oo 因而 F（U）-處"0）| ]]8

41、 8 =tf J"（x + 2（4^,y + 2（?）-廠 I ?oo —oo 對任給￡>0,取N> 0如此Z人，使 f卜（宀叫妙<二 J J 12M —oo —oo 再由妙的連續(xù)性，可找到5>0使當(dāng)卜一q], |y-jop都小丁?/時，有 ”（x十 2@乙y 十2（^3） 一 ,v0）|<^ 所以X J卜r + 2（祝,y + 2（枷）-0（叼,兒*-（W）d00《 因此 卜（x,y,/） 一 0（“，旳）|< 亍2M 十號二專= 8 即右 =0(x,y) §4極值原理，定解問題的解的唯一性和穩(wěn)定性 1.若方程茅「= t/2——+cw(c>0)的解"在矩形

42、R的側(cè)邊x-a及x = p上不超 過B. 乂在底邊f(xié)=0上不超過M.證明此時M在矩形R內(nèi)滿足不等式: I/(a\Z)| < max(A/err, Bect) 由此推出上述混介問題的唯一性與穩(wěn)定性。 dv ■ v 證：令w(x,r) = ertv(x,r),則v(x,r)滿足才二伉”才亍,在R的邊界上

43、右 =0(x,y) 即右 =0(x,y) 由上佔計得 L(x,/1< max(0ecZ,0ecZ) = 0 推出 w(x,/) =0 即 1({ = ?2 解是唯一的。 穩(wěn)定性：若混介問題的兩個解“】宀在尺滿足pi-心卜&即max(M,B)vc 則 U = Mi - II2滿足估計 ￡maxe

44、成立，則M >加.。因而，在人內(nèi)冇一點(x*,y*)使“(x*,y*)二M >加。 作函數(shù) v(x,y) = u(x,y) + 其中/為/?的直徑。在「上 z 、 M _m M -m m M ― v(x, y) < m m 4 4 2 2 而 v(.v*,y*) = z/(x*,y*) = M 故v(x, y)也在R內(nèi)一點上取到Jlil人值，因ifij在該點處仃: d2v Av = △“ 十 即Av < 0 ?另一方而, 所以 矛盾。故假設(shè)不成立。證畢 1 00 孑 要此式成立，只石 0(-歹)=一 (P? 即P?作奇開拓，山此得解公式為