高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件 文

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1、第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)總綱目錄教材研讀1.直線與平面垂直考點(diǎn)突破2.直線與平面所成的角3.二面角的有關(guān)概念考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)三空間中的垂直關(guān)系與翻折問(wèn)題考點(diǎn)三空間中的垂直關(guān)系與翻折問(wèn)題4.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面內(nèi)的任意一條任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線l與平面互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直 l性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面

2、的兩條直線平行平行 abababOlalb 、ab教材研讀教材研讀與與“直線與平面垂直直線與平面垂直”有關(guān)的結(jié)論有關(guān)的結(jié)論(1)直線與平面垂直的定義常常逆用,即a,bab.(2)若兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于該平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說(shuō)它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),就說(shuō)它們所成的角是0的

3、角.如圖所示, PAO 就是斜線AP與平面所成的角.(2)線面角的范圍: .0,23.二面角的有關(guān)概念二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.4.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直 性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線交線的直線與另一個(gè)平面垂直 lllalla1.給出下列四個(gè)命

4、題:垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行;垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行;若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行;若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4B答案答案 B正確.2.下列命題中錯(cuò)誤的是()A.如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B.如果平面不垂直平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面D答案答案 D對(duì)于選項(xiàng)A,在平面內(nèi)凡是平行于交線的直線,就一定平行于平面,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)

5、B,假設(shè)平面內(nèi)存在直線垂直于平面,根據(jù)面面垂直的判定定理可得兩平面垂直,與已知相矛盾,故假設(shè)不成立,B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,在l上任取一點(diǎn)A,在與內(nèi)分別向與和與的交線作垂線,利用面面垂直的性質(zhì)可知兩直線均垂直于平面,又兩直線都過(guò)A點(diǎn),這兩條直線垂直,該直線為與的交線,選項(xiàng)C正確.故選D.3.設(shè)m、n表示直線,、表示平面,下列命題為真命題的是()A.若m,則mB.m,m,則C.若mn,m,則nD.m,n,則mnB答案答案 B對(duì)于A,m可以在內(nèi),故A錯(cuò);對(duì)于C,n可以在內(nèi),故C錯(cuò);對(duì)于D,m與n可以異面,故D錯(cuò).4.已知m和n是兩條不同的直線,和是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m的是()

6、A.且m B.且mC.mn且n D.mn且nC答案答案 C對(duì)于選項(xiàng)A,且m,可得m或m與相交或m,故A不成立;對(duì)于選項(xiàng)B,且m,可得m或m或m與相交,故B不成立;對(duì)于選項(xiàng)C,mn且n,則m,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,由mn且n,可得m或m與相交或m,故D不成立.故選C.5.已知P為ABC所在平面外一點(diǎn),且PA,PB,PC兩兩垂直,有下列結(jié)論:PABC;PBAC;PCAB;ABBC.其中正確的是()A. B.C. D.A答案答案 A如圖,因?yàn)镻APB,PAPC,PBPC=P,且PB平面PBC,PC平面PBC,所以PA平面PBC,又BC平面PBC,所以PABC.同理可得PBAC,PCAB.故正確.無(wú)法

7、得到,故選A. 6.如圖,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,將ABC沿斜邊BC上的高AD折疊,使平面ABD平面ACD,則折疊后BC= . 1答案答案1解析解析因?yàn)锳DBC,所以ADBD,ADCD,所以BDC是二面角B-AD-C的平面角.因?yàn)槠矫鍭BD平面ACD,所以BDC=90.在BCD中,BDC=90,BD=CD=,所以BC=1.22222222典例典例1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn)且DF=AB,PH為PAD中AD邊上的高.(1)求證:PH平面ABCD;(2)求證:EF平面PAB.12考點(diǎn)一線面垂直

8、的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)命題方向一證明直線與平面垂直命題方向一證明直線與平面垂直考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破(2)取PA中點(diǎn)M,連接MD,ME.E是PB的中點(diǎn),ME=AB.12證明證明(1)AB平面PAD,AB平面ABCD,平面PAD平面ABCD.平面PAD平面ABCD=AD,PHAD,PH平面ABCD.又DF=AB,ME平行DF,四邊形MEFD是平行四邊形,EFMD.PD=AD,MDPA.AB平面PAD,MDAB.PAAB=A,MD平面PAB,EF平面PAB.12典例典例2如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1,設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1CBC1=E.求證:(1)

9、DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.命題方向二證明線線垂直命題方向二證明線線垂直證明證明(1)由題意知,E為B1C的中點(diǎn),又D為AB1的中點(diǎn),因此DEAC.又因?yàn)镈E 平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC,所以ACCC1.又因?yàn)锳CBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1,所以BC1AC.因?yàn)锽C=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因?yàn)锳C,B1C平面B1AC,ACB1C

10、=C,所以BC1平面B1AC.又因?yàn)锳B1平面B1AC,所以BC1AB1.規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的傳遞性(ab,ab);面面平行的性質(zhì)(a,a);面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.1-1如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD.求證:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.證明證明(1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳BAD

11、,EFAD,所以EFAB.又因?yàn)镋F 平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC,所以ADAC.1-2如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).(1)證明:CDAE;(2)證明:PD平面ABE.證明證明(1)在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.

12、ACCD,PAAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中點(diǎn),AEPC.由(1)知,AECD,且PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,又ABAD,ABPD.又ABAE=A,PD平面ABE.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)典例典例3如圖,四棱錐P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn).(1)求證:CE平面PAD;(2)求證:平面EFG平面EMN.證明證

13、明(1)取PA的中點(diǎn)H,連接EH,DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),所以EHAB,EH=AB.又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四邊形DCEH是平行四邊形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE 平面PAD,因此,CE平面PAD.1212(2)因?yàn)镋,F分別為PB,AB的中點(diǎn),所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點(diǎn),所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EMN.探究探究(1)在本例條件下,證明:平面EMN平面P

14、AC;(2)在本例條件,證明:平面EFG平面PAC.證明證明(1)因?yàn)锳BPA,ABAC,且PAAC=A,所以AB平面PAC.又MNCD,CDAB,所以MNAB,所以MN平面PAC.又MN平面EMN,所以平面EMN平面PAC.(2)因?yàn)镋,F,G分別為PB,AB,BC的中點(diǎn),所以EFPA,FGAC,又EF 平面PAC,PA平面PAC,所以EF平面PAC.同理,FG平面PAC.又EFEG=F,所以平面EFG平面PAC.1.證明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定義(不常用);(2)可以考慮證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線,再證這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行.一

15、般方法:先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中存在這樣的直線,則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直;若圖中不存在這樣的直線,則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決(常用方法).方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直線面垂直面面垂直2-1如圖,三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).(1)求證:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求證:平面BCD平面EGH.證明證明(1)連接DG,CD,設(shè)CDGF=M,連接MH.在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的中點(diǎn),可得DFGC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形,則M為CD的中點(diǎn),又H為BC的中點(diǎn),所以HMBD,

16、又HM平面FGH,BD 平面FGH,所以BD平面FGH.(2)連接HE,EG.因?yàn)镚,H分別為AC,BC的中點(diǎn),所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H為BC的中點(diǎn),所以EFHC,EF=HC,因此四邊形EFCH是平行四邊形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.2-2 (2017山東,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD.(1)證明:A1O平面B1C

17、D1;(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM平面B1CD1.證明證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1,連接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O 平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD,E,M分別為AD和OD的中點(diǎn),所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因?yàn)锽1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面

18、A1EM平面B1CD1.典例典例4 (2016課標(biāo)全國(guó),19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱錐D-ABCFE的體積. 542考點(diǎn)三空間中的垂直關(guān)系與翻折問(wèn)題考點(diǎn)三空間中的垂直關(guān)系與翻折問(wèn)題解析解析(1)證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)由EFAC得=.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以O(shè)H=1,DH=DH=3.于是OD2+

19、OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,AEADCFCDOHDOAEAD1422ABAO2所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以O(shè)D平面ABC.又由=得EF=.五邊形ABCFE的面積S=68-3=.所以五棱錐D-ABCFE的體積V=2=.EFACDHDO9212129269413694223 22規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)對(duì)于翻折問(wèn)題,應(yīng)明確:在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化.解決這類問(wèn)題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值,這是解決翻折問(wèn)題的主要方法.3-1如圖

20、1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明:CD平面A1OC;(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為36,求a的值. 2122解析解析(1)證明:在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),BAD=,所以BEAC.即在題圖2中,BEA1O,BEOC,從而B(niǎo)E平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知,A1OBE,所以A1O平面BCDE,122即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖1知,A1O=AB=a,平行四邊形BCDE的面積S=BCAB=a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=SA1O=a2a=a3,由a3=36,得a=6.222213132226262