數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.4 空間圖形的基本關系與公理 1.4.2 空間圖形的公理（二） 北師大版必修2

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1、42空間圖形的公理空間圖形的公理(二二)第一章立體幾何初步第一章立體幾何初步1問題導航問題導航(1)兩條異面直線所成角的范圍是什么？兩條異面直線所成角的范圍是什么？(2)空間四邊形的對角線一定不相交嗎？空間四邊形的對角線一定不相交嗎？(3)在平面中，我們知道在平面中，我們知道“一個角的兩邊與另一個角的兩邊分一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補別垂直，則這兩個角相等或互補”，在空間中這個結(jié)論還成，在空間中這個結(jié)論還成立嗎？立嗎？2例題導讀例題導讀P25例例2.通過本例學習，學會判斷正方體中線與線位置關系的通過本例學習，學會判斷正方體中線與線位置關系的方法解答本例過程中需注意

2、，將展開圖還原成正方體時，方法解答本例過程中需注意，將展開圖還原成正方體時，各頂點的位置關系要弄清楚各頂點的位置關系要弄清楚文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言平行于同一條平行于同一條直線的兩條直直線的兩條直線線_若若ab，bc，則則_1.公理公理4平行平行ac2.等角定理等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別空間中，如果兩個角的兩條邊分別_，那么這兩，那么這兩個角個角_3異面直線所成的角異面直線所成的角對應平行對應平行相等或互補相等或互補定義定義過空間任意一點過空間任意一點P分別引兩條異面直線分別引兩條異面直線a,b的平行線的平行線l1,l2(al1，bl2),這這兩條相交直線所

3、成的兩條相交直線所成的_就就是異面直線是異面直線a，b所成的角所成的角取值取值范范圍圍異面直線所成的角異面直線所成的角的取值范圍：的取值范圍：_特例特例當當_時時，a與與b互相垂直，記作互相垂直，記作ab銳角銳角(或直角或直角)090902空間兩個角空間兩個角，的兩邊分別對應平行且方向相同，若的兩邊分別對應平行且方向相同，若50，則，則等于等于()A50B130C40 D50或或130解析：由等角定理知解析：由等角定理知與與相等相等，故選故選A.3垂直于同一條直線的兩條直線垂直于同一條直線的兩條直線()A平行平行 B相交相交C異面異面 D以上都有可能以上都有可能解析：可借助正方體來分析解析：可

4、借助正方體來分析，可知平行、相交及異面都有可可知平行、相交及異面都有可能能，故選故選D.AD90所以所以DGD1(或其補角或其補角)是異面直線是異面直線CD1與與EF所成的角所成的角又因為又因為A1AAB，所以四邊形所以四邊形ABB1A1，四邊形四邊形CDD1C1都是都是正方形正方形，且且G為為CD1的中點的中點，所以所以DGCD1，所以所以D1GD90，所以異面直線所以異面直線CD1，EF所成的角為所成的角為90.公理公理4的應用的應用 若本例中的條件不變，求證改為若本例中的條件不變，求證改為“四邊形四邊形MBND1為菱形為菱形”又該如何證？又該如何證？D等角定理的應用等角定理的應用B70或

5、或110異面直線所成的角異面直線所成的角方法歸納方法歸納1求異面直線所成角的步驟求異面直線所成角的步驟一作：選擇適當?shù)狞c一作：選擇適當?shù)狞c，用平移法作出異面直線所成的角；，用平移法作出異面直線所成的角；二證：證明作出的角就是要求的角；二證：證明作出的角就是要求的角；三計算：將異面直線所成的角放入某個三角形中，利用特殊三計算：將異面直線所成的角放入某個三角形中，利用特殊三角形求解三角形求解2注意注意(1)作異面直線所成的角時作異面直線所成的角時，要選擇適當?shù)狞c要選擇適當?shù)狞c，平移異面直線平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置這里的點通常選擇特殊

6、位置上的點上的點，如線段的中點或端點如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條也可以是異面直線中某一條直線上的一個特殊點直線上的一個特殊點(2)平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角的補角平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角的補角，要注意識別這種情況要注意識別這種情況B規(guī)范解答規(guī)范解答求異面直線上兩點間的距離求異面直線上兩點間的距離D2.分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是()A一定平行一定平行 B一定相交一定相交C一定異面一定異面 D相交或異面相交或異面解析：分別和兩條異面直線平行的兩條直線相交或異面解析：分別和兩條異面直線平行

7、的兩條直線相交或異面，如如圖圖(1)(2)D3如圖，在長方體如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，中，A1C1D1B1O，E,F分別是分別是B1O和和C1O的中點，則在長方體各棱中與的中點，則在長方體各棱中與EF平行的平行的有有_條條解析：與解析：與EF平行的棱為平行的棱為B1C1，BC，AD，A1D1，共共4條條44已知正方體已知正方體ABCDABCD，求：，求：(1)BC與與CD所成的角；所成的角；(2)AD與與BC所成的角所成的角解：解：(1)連接連接BA，則則BACD，則則ABC就是就是BC與與CD所成的角所成的角連接連接AC，由由ABC為正三角形為正三角形， 知知ABC60. (2)由由ADBC，知知AD與與BC所成所成的角就是的角就是CBC，易知易知CBC45.