數(shù)學第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

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1、7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題第七章不等式基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0某一側所有點組成的 .我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域 邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應 邊界直線，則把邊界直線畫成 .(2)對于直線AxByC0同一側的所有點，把它的坐標(x，y)代入AxByC，所得的符號都 ，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0By0C的 即可

2、斷定AxByC0表示的是直線AxByC0哪一側的平面區(qū)域.知識梳理平面區(qū)域不包括包括實線相同符號名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的 不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求 或 的函數(shù)線性目標函數(shù)關于x，y的 解析式可行解滿足 的解可行域所有 組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得 或 的可行解線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的 或 問題2.線性規(guī)劃相關概念線性規(guī)劃相關概念一次最大值最小值一次線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要結論重要結論畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等

3、號時直線畫成實線.(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證.1.利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域對于AxByC0或AxByC0時，區(qū)域為直線AxByC0的上方；(2)當B(AxByC)0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方.( )(3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線AxByC0同側的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，異側的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.( )題組一思考題組一思考辨析辨析基礎自測124563(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy0表示

4、.( )(5)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的.( )(6)最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.( )(7)目標函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距.( )124563題組二教材改編題組二教材改編12456解析3答案解析解析x3y60表示直線x3y60及其右下方部分，xy20表示直線xy20的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B中的陰影部分.12456答案解析3.P91T2投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米.現(xiàn)某單位可使用資金1 400

5、萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為_.(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)3124563解析解析用表格列出各數(shù)據(jù)所以不難看出，x0，y0,200 x300y1 400,200 x100y900.AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy 資金200 x300y1 400場地200 x100y900題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.下列各點中，不在xy10表示的平面區(qū)域內的是 A.(0,0) B.(1,1)C.(1,3) D.(2，3)解析12456答案3解析解析把各點的坐標代入可得(1,3)不適合，故選C.12456答案3解析解析作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，

6、解析由圖知直線m2xy經(jīng)過點A(1,2)時，m取得最大值，解析12456答案31解析解析先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，當直線zaxy和直線AB重合時，z取得最大值的點(x，y)有無數(shù)個，akAB1，a1.題型分類深度剖析命題點命題點1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題不含參數(shù)的平面區(qū)域問題典例典例 (2017黃岡模擬)在平面直角坐標系中，已知平面區(qū)域A(x，y)|xy1，且x0，y0，則平面區(qū)域B(xy，xy)|(x，y)A的面積為 題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域多維探究多維探究解析答案解析解析對于集合B，令mxy，nxy，解析答案由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角

7、形，只需動直線l：xya在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3).故選D.(1)求平面區(qū)域的面積對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形，分別求解再求和即可.(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應作出平面圖形，利用數(shù)形結合的方法求解.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐標平面內表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應是下列圖形中的 解析解析解析由(x2y1)(xy3)0，答案解析解析由于x1與xy40不可能垂直，所以只有可能xy40與k

8、xy0垂直或x1與kxy0垂直.當xy40與kxy0垂直時，k1，檢驗知三角形區(qū)域面積為1，即符合要求.當x1與kxy0垂直時，k0，檢驗不符合要求.解析答案解析題型二求目標函數(shù)的最值問題多維探究多維探究答案解析解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.將目標函數(shù)z2xy化為y2xz，作出直線y2x，并平移該直線知，當直線y2xz經(jīng)過點A(6，3)時，z有最小值，且zmin2(6)315.故選A. 解析答案x2y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x3，y1時，x2y2取得最大值，最大值為10.故選C.解析答案解析解析對于選項A，當m2時，可行域如圖(1)，直線y2

9、xz的截距可以無限小，z不存在最大值，不符合題意，故A不正確；對于選項B，當m1時，mxy0等同于xy0，可行域如圖(2)，直線y2xz的截距可以無限小，z不存在最大值，不符合題意，故B不正確；對于選項C，當m1時，可行域如圖(3)，當直線y2xz過點A(2,2)時截距最小，z最大為2，滿足題意，故C正確；對于選項D，當m2時，可行域如圖(4)，直線y2xz與直線OB平行，截距最小值為0，z最大為0，不符合題意，故D不正確.故選C.(1)先準確作出可行域，再借助目標函數(shù)的幾何意義求目標函數(shù)的最值.(2)當目標函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有思維升華思

10、維升華(3)當目標函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件.解析答案解析答案解析解析根據(jù)已知條件，畫出可行域，如圖陰影部分所示.由zaxy，得yaxz，直線的斜率ka.當0k1，即1a1，即a1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點(0,0)，此時z0，不合題意；當1k0，即0a1時，無選項滿足此范圍；當k1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點(2,0)，此時z2a04，得a2.解答題型三線性規(guī)劃的實際應用問題師生共研師生共研典例典例 某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時.若生產(chǎn)

11、一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元.(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤(元)；解解依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100 xy，所以利潤5x6y3(100 xy)2x3y300.解答(2)怎樣分配生產(chǎn)任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？目標函數(shù)為2x3y300，作出可行域，如圖陰影部分所示，作初始直線l0：2x3y0，平移l0，當l0經(jīng)過點A時，有最大值，最優(yōu)解為A(50,50)，此時max550元.故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元.解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關

12、鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關系.(2)設元：設問題中起關鍵作用(或關聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應的不等式組和目標函數(shù).(3)作圖：準確作出可行域，平移找點(最優(yōu)解).(4)求解：代入目標函數(shù)求解(最大值或最小值).(5)檢驗：根據(jù)結果，檢驗反饋.思維升華思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練 (2016全國)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900

13、元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元.答案216 000解析解析解析設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為目標函數(shù)z2 100 x900y.作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元).線性規(guī)劃是高考重點考查的一個知識點.這類問題一般有三類：目標函數(shù)是線性的；目標函數(shù)是非線性的；已知最優(yōu)解求參數(shù)，處理時要注意搞

14、清是哪種類型，利用數(shù)形結合解決問題.線性規(guī)劃問題高頻小考點高頻小考點答案解析考點分析解析解析由約束條件作出可行域如圖(陰影部分)所示，平移該直線，易知經(jīng)過點A時z最小.又知點A的坐標為(3,0)，zmin23506.故選B.課時作業(yè)1.下列二元一次不等式組可表示圖中陰影部分平面區(qū)域的是 基礎保分練12345678910111213141516解析解析將原點坐標(0,0)代入2xy2，得20，于是2xy20所表示的平面區(qū)域在直線2xy20的右下方，結合所給圖形可知C正確.解析答案答案12345678910111213141516解析解析畫出可行域，如圖中陰影所示.解析由目標函數(shù)zxy，結合圖象易

15、知yxz過(0,3)點時z取得最大值，即zmax033.故選D.答案12345678910111213141516解析12345678910111213141516解析解析由不等式組畫出可行域的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.直線2xy100恰過點A(5,0)，且其斜率k2kAB ，即直線2xy100與平面區(qū)域僅有一個公共點A(5,0).解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，則圖中A點縱坐標yA1m，m1或m3，又當m3時，不滿足題意，應舍去，m1.5.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)

16、品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是 A.1 800元 B.2 400元C.2 800元 D.3 100元解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析設每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，設獲利z元，則z300 x400y.畫出可行域如圖陰影部分.畫出直線l：300 x400y0，即3

17、x4y0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過點M時，目標函數(shù)取得最大值.zmax300440042 800(元).故選C.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，解析12345678910111213141516解析解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，答案即4a2時，僅在點(1,0)處取得最小值，故選B.12345678910111213141516解析解析解析根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，設點P到圓心的距離為d，則求最短弦長，等價于求到圓心的距離d最大的

18、點，即為圖中的P點，其坐標為(1,3)， 答案412345678910111213141516答案1解析12345678910111213141516表示的可行域如圖陰影部分所示.由z3x4y，A(1,1).zmin341.解析12345678910111213141516答案312345678910111213141516解析解析依題意，得不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當目標函數(shù)z2xy過點C(1，1)時，z2xy取得最大值3.12345678910111213141516解析答案112345678910111213141516當直線xm從如圖所示的實線位置運動到過A點的虛線位置

19、時，m取最大值.m的最大值為1.12345678910111213141516解析答案1,412345678910111213141516則m2n2表示區(qū)域上的點到原點的距離的平方，所以1m2n24.技能提升練12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由圖可知，當點(x，y)與點P的連線與圓x2y2r2相切時斜率最小.設切線方程為y2k(x3)，解析12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析解析首先根據(jù)已知約束條件畫出其所在的

20、平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.所以令z2(x2y)2(xy)x3y，最后根據(jù)圖形可得在點B處取得最大值，即zmax(2)max1325.拓展沖刺練12345678910111213141516解析答案如圖中陰影部分所示，其中B(1，1)，C(0,1).12345678910111213141516由圖可知AOCAOB，12345678910111213141516如圖中陰影部分所示，其中B(1，1)，C(0,1)，設POx，1234567891011121314151612345678910111213141516答案解析12345678910111213141516設此時切點為P(x0，y0)，12345678910111213141516