高中數(shù)學(xué)： 圓的參數(shù)方程課件 湘教版選修44

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1、第二講第二講 參參 數(shù)數(shù) 方方 程程1、參數(shù)方程的概念、參數(shù)方程的概念（1）在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐）在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)x 、y都是某個(gè)變數(shù)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即的函數(shù)，即并且對(duì)于并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由上述方程組所確定的的每一個(gè)允許值，由上述方程組所確定的點(diǎn)點(diǎn)M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的做這條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程 ，聯(lián)系，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)之間關(guān)系的變數(shù)叫做叫做參變數(shù)參變數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱參數(shù)參數(shù)。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)

2、有明顯意義的物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯意義的變數(shù)。變數(shù)。)()(tgytfx（2） 相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程普通方程。（3）參數(shù)方程與普通方程的互化）參數(shù)方程與普通方程的互化sincosryrxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒(méi)有直接體現(xiàn)曲線上點(diǎn)的橫、縱、參數(shù)方程的特點(diǎn)是沒(méi)有直接體現(xiàn)曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是

3、分別體現(xiàn)了點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系。間的關(guān)系。 2、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在x與與y直接關(guān)系很難或不可直接關(guān)系很難或不可能體現(xiàn)時(shí)，通過(guò)參數(shù)建立間接的聯(lián)系。能體現(xiàn)時(shí)，通過(guò)參數(shù)建立間接的聯(lián)系。sincosrbyrax1. 1.圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程（1 1）軌跡問(wèn)題軌跡問(wèn)題（2 2）求最值）求最值4. 4.應(yīng)用應(yīng)用5. 5. 小結(jié)小結(jié)2. 2.參數(shù)方程與普通方程的概念參數(shù)方程與普通方程的概念3.3.參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化（1 1）圓心在原點(diǎn)的圓參數(shù)方程）圓心在原點(diǎn)的圓參數(shù)方程（2 2）圓心不在原點(diǎn)的圓的參數(shù)方程）圓心不在原點(diǎn)的圓的參數(shù)方程即的

4、函數(shù)都是縱坐標(biāo)、的橫坐標(biāo)點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)定義圓半徑為的坐標(biāo)為如果點(diǎn),),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且對(duì)于并且對(duì)于 的每一個(gè)允許值的每一個(gè)允許值,由方程組由方程組所所確定的點(diǎn)確定的點(diǎn)P(x,y),都在圓都在圓O上上. o思考思考1：圓心為原點(diǎn)，半徑為圓心為原點(diǎn)，半徑為r 的圓的參數(shù)方程是什么呢的圓的參數(shù)方程是什么呢？-555-5rp0P(x,y) 我們把方程組我們把方程組叫做圓心在原點(diǎn)、半徑為叫做圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程，的圓的參數(shù)方程，是參數(shù)是參數(shù).sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么參數(shù)方程是什么呢為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、半徑為圓心為思考rbyax

5、rbaO5-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(a,b)r11111( , ),( , )( ,),O a brOrOP x yOP x y圓心為、半徑為 的圓可以看作由圓心為原點(diǎn) 、半徑為 的圓平移得到 設(shè)圓上任意一點(diǎn)是圓 上的點(diǎn)平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11例例1 1、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它，將它化為參數(shù)方程。化為參數(shù)方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程， （x+1x+1）2 2

6、+ +（y-3y-3）2 2=1=1，參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))練習(xí)：練習(xí)： 1.填空：已知圓填空：已知圓O的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是sin5cos5yx(0 2 )如果圓上點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù) ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 35 5 5 32,22QQ如果圓上點(diǎn) 所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是則點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的參數(shù) 等于235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 選擇題：參數(shù)方程為參數(shù) 表示的曲線是圓心在原點(diǎn) 半徑為 的圓圓心不在原點(diǎn) 但半徑為 的圓不是圓以上都有可能A半徑為表示圓心為參數(shù)方程、填空題sin2cos2) 1 (:3yx的圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為化為參數(shù)方程為把圓方程0

7、142)2(22yxyx（2，-2）112222yxsin22cos21yx例例2. 如圖如圖,已知點(diǎn)已知點(diǎn)P是圓是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)點(diǎn)A是是x軸上的定點(diǎn)軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在圓在圓 上運(yùn)動(dòng)時(shí)上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段線段PA中點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡是什么的軌跡是什么?xMPAyO解法一解法一:設(shè)設(shè)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y),可設(shè)點(diǎn)可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(4cos,4sin)點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡是以的軌跡是以(6,0)為圓心、為圓心、2為半徑的圓。為半徑的圓。由中點(diǎn)公式得由中點(diǎn)公式得:點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程為的軌跡方程為x =6+2cosy =2sinx =4cosy

8、=4sin 圓圓x2+y2=16的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為解法二解法二:設(shè)設(shè)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡是以的軌跡是以(6,0)為圓心、為圓心、2為半徑的圓。為半徑的圓。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得: 點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=16即即 M的軌跡方程為的軌跡方程為(x- -6)2+y2=4點(diǎn)點(diǎn)P在圓在圓x2+y2=16上上x(chóng)MPAyO例例3、已知點(diǎn)已知點(diǎn)P（x，y）是圓）是圓x2+y2- 6x- 4y+12=0上動(dòng)上動(dòng)點(diǎn)，求（點(diǎn)，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直線到直線x+y

9、- 1=0的距離的距離d的最值。的最值。 解：圓解：圓x2+y2- 6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用參數(shù)方程表示為用參數(shù)方程表示為sin2cos3yx由于點(diǎn)由于點(diǎn)P在圓上，所以可設(shè)在圓上，所以可設(shè)P（3+cos，2+sin），），（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值為的最大值為14+2 ，最小值為，最小值為14- 2 。1313(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）24 x+y的最大值為的最大值為5

10、+ ，最小值為，最小值為5 - 。 22(3)2)4sin(2421sin2cos3d顯然當(dāng)顯然當(dāng)sin（ + ）= 1時(shí)，時(shí)，d取最大值，最取最大值，最小值，分別為小值，分別為 ， 。4122221例例4、將下列參數(shù)方程化為普通方程：將下列參數(shù)方程化為普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步驟：步驟：（1）消參；）消參； （2）求定義域。）求定義域。小小 結(jié)結(jié): :1、圓的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程2、參數(shù)方程與普通方程的概念、參數(shù)方程與普通方程的概念3、圓的參數(shù)方程與普通方程的互化、圓的參數(shù)方程與普通方程的互化4、求軌跡方程的三種方法：、求軌跡方程的三種方法：相關(guān)點(diǎn)點(diǎn)問(wèn)相關(guān)點(diǎn)點(diǎn)問(wèn)題（代入法）；題（代入法）； 參數(shù)法；參數(shù)法；定義法定義法5、求最值、求最值