數(shù)學(xué)第七章 不等式、推理與證明 7.1 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題 文 新人教B版

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1、第七章第七章不等式、推理與證明不等式、推理與證明-2-7 7. .1 1二元一次不等式二元一次不等式( (組組) ) 與簡單的線性規(guī)劃問題與簡單的線性規(guī)劃問題-4-知識梳理雙基自測21自測點評1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應(yīng)邊界直線,則把邊界直線畫成.(2)由于對直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x,y),把它們的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得的符號都,所以只需在此直線的

2、同一側(cè)取一個特殊點(x0,y0)作為測試點,由Ax0+By0+C的即可判斷Ax+By+C0表示的直線是Ax+By+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域.平面區(qū)域 不包括 包括 實線 相同 符號 3-5-知識梳理雙基自測21自測點評(3)利用“同號上,異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域:對于Ax+By+C0或Ax+By+C0時,區(qū)域為直線Ax+By+C=0的;當(dāng)B(Ax+By+C)0表示的平面區(qū)域一定在直線x-y-1=0的上方.()(2)兩點(x1,y1),(x2,y2)在直線Ax+By+C=0異側(cè)的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0所表示的平面區(qū)域內(nèi),則m的取值范圍是()A.m1

3、B.m1C.m1 答案解析解析關(guān)閉點(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面區(qū)域內(nèi),2m+3-50,即m1. 答案解析關(guān)閉D-11-知識梳理雙基自測自測點評234154.(2017北京,文4)若x,y滿足 則x+2y的最大值為()A.1B.3C.5D.9 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-12-知識梳理雙基自測自測點評234155.(2017廣西南寧一模)如果實數(shù)x,y滿足約束條件那么z=3x+2y的最大值為. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-13-知識梳理雙基自測自測點評1.當(dāng)二元一次不等式組中的不等式所表示的區(qū)域沒有公共部分時,就無法表示平面上的一個區(qū)域.2.線性目標(biāo)函數(shù)都是通過平移直

4、線,在與可行域有公共點的情況下,分析其在y軸上的截距的取值范圍,所以取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上.3.求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(ab0)的最值,當(dāng)b0時,若直線過可行域且在y軸上的截距最大,則z值最大;若在y軸上截距最小,則z值最小;當(dāng)b0時,則相反.-14-考點1考點2考點3思考如何確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域? -15-考點1考點2考點3 答案:(1)C(2)D -16-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3解題心得確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法:(1)“直線定界,特殊點定域”,即先作直線,再取特殊點并代入不等式組.若滿足不等式組,則不等式(組)

5、表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域;否則就表示直線與特殊點異側(cè)的那部分區(qū)域.(2)若不等式帶等號,則邊界畫為實線;若不等式不帶等號,則邊界為虛線.-18-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3-20-考點1考點2考點3(2)兩條直線方程分別為x-2y+2=0與x+y-1=0.把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直線x-2y+2=0右下方所表示的二元一次不等式為x-2y+20,把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直線x+y-1=0右上方所表示的二元一次不等式為x+y-10,-21-考點1考點2考點3考向一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2(2017全國,文7)設(shè)x,y滿足約束條

6、件則z=2x+y的最小值是()A.-15 B.-9C.1D.9思考怎樣利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最值? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-22-考點1考點2考點3考向二已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的值A(chǔ).-1,2B.-2,1C.-3,-2D.-3,1思考如何利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其取值范圍? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-23-考點1考點2考點3考向三求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值A(chǔ).4B.9C.10 D.12思考如何利用可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)最值? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-24-考點1考點2考點3解題心得1.利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法:首先利用約束條件作出可行域,然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)找到

7、最優(yōu)解時的點,最后把解得點的坐標(biāo)代入求解即可.2.利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其取值范圍的方法:(1)若限制條件中含參數(shù),依據(jù)參數(shù)的不同取值范圍將各種情況下的可行域畫出來,尋求最優(yōu)解,確定參數(shù)的值;(2)若線性目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù),可對線性目標(biāo)函數(shù)的斜率分類討論,以此來確定線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過哪個頂點取得最值,從而求出參數(shù)的值;也可以直接求出線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過各頂點時對應(yīng)的參數(shù)的值,然后進行檢驗,找出符合題意的參數(shù)值.3.利用可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法:畫出可行域,分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是斜率問題還是距離問題,依據(jù)幾何意義可求得最值.-25-考點1考點2考點3-26-考點1考點2考點3答案: (1

8、)D(2)A(3)D (4)B -27-考點1考點2考點3解析: (1)將z=x+y化為y=-x+z,作出可行域和目標(biāo)函數(shù)基準(zhǔn)直線y=-x(如圖所示).當(dāng)直線y=-x+z向右上方平移時,直線y=-x+z在y軸上的截距z增大,由數(shù)形結(jié)合,知當(dāng)直線過點A時,z取到最大值.由-28-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3-30-考點1考點2考點3(4)如圖所示,不等式組表示的平面區(qū)域是ABC的內(nèi)部(含邊界),x2+y2表示的是此區(qū)域內(nèi)的點(x,y)到原點距離的平方.從圖中可知最短距離為原點到直線BC的距離,其值為1;最遠的距離為AO,其值為2,故x2+y2的取值范圍是1,4.-31-考點1考點

9、2考點3例5某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.思考求解線性規(guī)劃的實際問題要注意什么?答案: 216 000 -32-考點1考點2考點3-33-考點1考點2考點3-34-考點1考點2考點3解題心得求解線性規(guī)劃的實際問題要注意兩點:(1)設(shè)出未知數(shù)x,y,并

10、寫出問題中的約束條件和目標(biāo)函數(shù),注意約束條件中的不等式是否含有等號;(2)判斷所設(shè)未知數(shù)x,y的取值范圍,分析x,y是否為整數(shù)、非負(fù)數(shù)等.-35-考點1考點2考點3對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(2017天津,文16)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).-36-考點1考點2考點3(1)用x,y列出滿足題目條

11、件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?解: (1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分.圖1 (2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標(biāo)函數(shù)為z=60 x+25y.考慮z=60 x+25y,將它變形為 隨z變化的一族平行直線.z的值最大.又因為x,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當(dāng)直線z=60 x+25y經(jīng)過可行域上的點M時,截距最大,即z最大.所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次,乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.-37-考點1考點2考點3圖2 -38-考點1考點2考點3線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及解題策略:(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,因此對于一般的線性規(guī)劃問題,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值.(2)由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù).求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問題的基本方法有兩種:一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)求出最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)確定最值,從而構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍;二是先分離含有參數(shù)的式子,通過觀察的方法確定含參數(shù)的式子所滿足的條件,確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù)的值或取值范圍.