高考數(shù)學二輪復習 第一部分 方法、思想解讀 第3講 分類討論思想、轉化與化歸思想課件 文

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1、第3講分類討論思想、轉化與化歸思想-2-思想方法詮釋思想分類應用應用方法歸納從近五年高考試題來看,分類討論思想在高考試題中頻繁出現(xiàn),現(xiàn)已成為高考數(shù)學的一個熱點,也是高考的難點.高考中經(jīng)常會有幾道題,解題思路直接依賴于分類討論,特別在解答題中(尤其導數(shù)與函數(shù))常有一道分類討論求解的把關題,選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論題.-3-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋1.分類討論思想的含義分類討論思想就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,首先需要把研究對象按某個標準分類,然后對每一類分別研究,得出每一類的結論,最后綜合各類結果得到整個問題的解答.2.分類討論的原則(1)不重不漏;(2)標

2、準要統(tǒng)一,層次要分明;(3)能不分類的要盡量避免,決不無原則地討論.3.分類討論的常見類型(1)由數(shù)學概念而引起的分類討論;(2)由數(shù)學運算要求而引起的分類討論;(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論;(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論;(6)由實際意義引起的討論.-4-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋應用一應用一由數(shù)學的概念引起的分類討論由數(shù)學的概念引起的分類討論 例1已知a,b0,且a1,b1.若logab1,則()A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0答案 D 解析 當0a1得ba.a1,ba1,b-a0,b-10,a-1

3、0,(a-1)(a-b)0.排除A,B,C.當a1時,由logab1得ba1.b-a0,b-10.(b-1)(b-a)0.故選D.-5-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋思維升華由數(shù)學概念引起的分類討論有:絕對值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.-6-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋突破訓練突破訓練1若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為. 解析 若函數(shù)f(x)=ln(ax2+x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,即函數(shù)g(x)=ax2+x在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,當a=0時,g(x)=x在(0

4、,1)內(nèi)單調(diào)遞增,符合題意,-7-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋應用二應用二由數(shù)學運算、性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論由數(shù)學運算、性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論 例2設等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S3+S6=2S9,則數(shù)列的公比q是()答案 C 解析 若q=1,則有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a10,即得S3+S62S9,與題設矛盾,故q1.化簡,得q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0,因為q1,所以q3-10,則2q3+1=0,-8-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋思維升華1.在中學數(shù)學中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

5、,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式等在不同的條件下有不同的結論,或者在一定的限制條件下才成立,應根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論.2.有些分類討論的問題是由運算的需要引發(fā)的.比如除以一個數(shù)時,這個數(shù)能否為零的討論;解方程及不等式時,兩邊同乘一個數(shù)是零、是正數(shù)、還是負數(shù)的討論;二次方程運算中對兩根大小的討論;差值比較中的差的正負的討論;有關去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等.-9-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋突破訓練突破訓練2若關于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40對一切xR恒成立,則a的取值范圍是()A.(-,2B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)答案 C 解析

6、當a-2=0,即a=2時,不等式為-40,滿足題意,所以a=2;當a-20,則a滿足解得-2a2,所以a的取值范圍是a|-2a2.-10-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋應用三應用三根據(jù)字母的取值情況分類討論根據(jù)字母的取值情況分類討論 例3已知a,bR,且exa(x-1)+b對xR恒成立,則ab的最大值是()答案 A -11-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋解析 令f(x)=ex-a(x-1)-b,則f(x)=ex-a,若a=0,則f(x)=ex-b-b0,得b0,此時ab=0;若a0,函數(shù)單調(diào)增,x-,此時f(x)-,不可能恒有f(x)0.若a0,由f(x)=ex-a=0,得極小值點

7、x=ln a,由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a),aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a).-12-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋思維升華含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.-13-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋突破訓練突破訓練3若函數(shù)f(x)=aex-x-2a有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()答案 D -14-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋-15-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋1.

8、簡化分類討論的策略:(1)消去參數(shù);(2)整體換元;(3)變更主元;(4)考慮反面;(5)整體變形;(6)數(shù)形結合;(7)縮小范圍等.2.分類討論遵循的原則是:不遺漏、不重復,科學地劃分,分清主次,不越級討論.-16-16-16-16-思想方法詮釋思想分類應用應用方法歸納轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,數(shù)學問題的解決,離不開轉化與化歸,如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數(shù)學問題之間的互相轉化、實際問題向數(shù)學問題的轉化等.-17-17-17-17-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋1.轉化與化歸思想的含義轉化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關

9、數(shù)學問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉化,進而得到解決的一種思想方法.2.轉化與化歸的原則(1)熟悉化原則;(2)簡單化原則;(3)直觀化原則;(4)正難則反原則;(5)等價性原則.3.常見的轉化與化歸的方法(1)直接轉化法;(2)換元法;(3)數(shù)形結合法;(4)構造法;(5)坐標法;(6)類比法;(7)特殊化方法;(8)等價問題法;(9)補集法.-18-18-18-18-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋應用一應用一特殊與一般的轉化特殊與一般的轉化 答案 A -19-19-19-19-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋-20-20-20-20-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋思

10、維升華1.當問題難以入手時,應先對特殊情形進行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關系,再推廣到一般情形,以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡,這就是特殊化的化歸策略.2.數(shù)學題目有的具有一般性,有的具有特殊性,解題時,有時需要把一般問題化歸為特殊問題,有時需要把特殊問題化歸為一般問題.-21-21-21-21-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋突破訓練突破訓練1在定圓C:x2+y2=4內(nèi)過點P(-1,1)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A,B和M,N,則 的取值范圍是. -22-22-22-22-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋應用二應用二命題的等價轉化命題的等價轉化 例2若函數(shù)

11、f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為. 答案 16 -23-23-23-23-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋(法二)據(jù)已知可設f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,據(jù)f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,則f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-(x+2)2-52+16,故最大值為16.-24-24-24-24-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋轉化一 若只根據(jù)f(x)圖象關于直線x=-2對稱,得零點對稱,條件轉化為f(-1)=f(-3),f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求導完成,恐有因

12、式分解的障礙.轉化二 由于函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱,當x取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移2個單位,得函數(shù)y=f(x+2)的圖象關于直線x=-2對稱,當(x+2)取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,于是,函數(shù)的解析式只能含(x+2)的偶次方.思維升華將已知條件進行轉換,有幾種轉換方法就有可能得出幾種解題方法.-25-25-25-25-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋答案 D -26-26-26-26-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋-27-27-27-27-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋應用三應用三常量與變量的轉化常量與變量的轉化 例3已知函數(shù)f(x)

13、=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的導函數(shù).對滿足-1a1的一切a的值,都有g(x)0對x(0,+)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為. 答案 (-1,3) -31-31-31-31-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋思維升華函數(shù)、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式之間的轉化可以將問題化繁為簡,常常將不等式的恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題;將證明不等式問題轉化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等.-3

14、2-32-32-32-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋突破訓練突破訓練4已知函數(shù)f(x)=3e|x|.若存在實數(shù)t-1,+),使得對任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.解 因為當t-1,+),且x1,m時,x+t0,所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x.所以原命題等價轉化為:存在實數(shù)t-1,+),使得不等式t1+ln x-x對任意x1,m恒成立.令h(x)=1+ln x-x(x1).因為h(x)= -10,所以函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù).又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得對任意x1,m,t值恒存在,只

15、需1+ln m-m-1.-33-33-33-33-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋且函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù),所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.-34-34-34-34-思想分類應用應用方法歸納思想方法詮釋1.在應用化歸與轉化的思想方法去解決數(shù)學問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式,它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉換.2.轉化與化歸思想在解題中的應用(1)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉化、函數(shù)的轉化、通過正弦、余弦定理實現(xiàn)邊角關系的相互轉化.(2)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的綜合題目時,常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進行轉化.(3)在解決數(shù)列問題時,常將一般數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.(4)在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時,常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題,轉化為其導函數(shù)f(x)構成的方程、不等式問題求解.