數(shù)學四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題 文

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1、第3講數(shù)列的綜合問題專題四數(shù)列、推理與證明熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一利用Sn，an的關(guān)系式求an1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系2.求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式.(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項an.(4)將遞推關(guān)系進行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).例例1(2017運城模擬)正項數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a 3an6Sn4.(1)求an的通項公式；解答即(an

2、1an)(an1an3)0，an0，an1an0，an1an30，即an1an3.an是以4為首項，以3為公差的等差數(shù)列，an43(n1)3n1.解答思維升華(2)設(shè)bn2nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解解bn2nan(3n1)2n，故Tn4217221023(3n1)2n，2Tn4227231024(3n1)2n1，Tn42132232332n(3n1)2n1213(222232n)(3n1)2n1(3n2)2n14，Tn(3n2)2n14.思維升華思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推

3、關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.解答解解當n1時，a1S12，由Sn2n12，得Sn12n2(n2)，anSnSn12n12n2n (n2)，又a1也符合，an2n (nN*).(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn.解答熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題.例例2設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn

4、(2)；解答解解方法一方法一由題設(shè)fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，由得，fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.(n1)2n1.證明思維升華證明證明因為fn(0)10，又fn(x)12xnxn10，思維升華思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視.(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件.(3)不等關(guān)系證明中進行適當?shù)姆趴s.證明跟蹤演練跟蹤演練2(2016屆浙江省寧波市期末)已知數(shù)列an

5、滿足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求證：bn是等比數(shù)列；證明證明a12，a22(22)8，an12(Snn1)(nN*)an2(Sn1n)(n2)，兩式相減，得an13an2(n2).經(jīng)檢驗，當n1時上式也成立，即an13an2(n1).所以an113(an1)，即bn13bn，且b13.故bn是等比數(shù)列.(2)記數(shù)列nbn的前n項和為Tn，求Tn；解答解解由(1)得bn3n.Tn13232333n3n，3Tn132233334n3n1，兩式相減，得2Tn332333nn3n1證明熱點三數(shù)列的實際應(yīng)用用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型，弄清

6、所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時，要明確目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結(jié)果.例例3自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年

7、初M的價值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價值an的表達式；解答解解當n6時，數(shù)列an是首項為120，公差為10的等差數(shù)列，故an12010(n1)13010n，當n7時，數(shù)列an從a6開始的項構(gòu)成一個以a61306070為首項，以 為公比的等比數(shù)列，(2)設(shè)An ，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新.證明思維升華證明證明設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得當1n6時，Sn120n5n(n1)，當n7時，由于S6570，因為an是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對M更新.思維升華思

8、維升華常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr).(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b .跟蹤演練跟蹤演練3一彈性小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回原來高度的 再落下，設(shè)它第n次著地時，共經(jīng)過了Sn，則當n2時，有A.Sn的最小值為100 B.Sn的最大值為400C.Sn0，因為nN*，故n9，從而最小正整數(shù)n的值是10.