數(shù)學(xué)第十章 圓錐曲線與方程 10.1 橢圓及其性質(zhì)

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1、第十章 圓錐曲線與方程10.1 橢圓及其性質(zhì)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距,符號(hào)表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|).注意:(1)當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),軌跡是線段F1F2;(2)當(dāng)2ab0),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(ab0).給定橢圓+=1,m0,n0(mn),22xa22yb22xb22ya2xm2yn知識(shí)清單要根據(jù)m、n的大小來判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)

2、坐標(biāo)軸上.(2)若焦點(diǎn)位置不定,則可設(shè)橢圓方程為Ax2+By2=1(A0,B0,且AB).考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)1.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(ab0)+=1(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0), F2(c,0)F1(0,-c), F2(0,c)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)范圍|x|a,|y|b|x|b,|y|a長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)軸A1A2長(zhǎng)為2a ,短軸B1B2長(zhǎng)為2b 離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比

3、e=22xa22yb22xb22yaca2.利用橢圓的參數(shù)方程通過參數(shù)能間接表示橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo),從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解.3.點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓+=1(ab0)的關(guān)系:(1)P(x0,y0)在橢圓內(nèi) +1 .cos ,sin ,xayb22xa22yb202xa202yb202xa202yb202xa202yb4.焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2稱作焦點(diǎn)三角形.如圖,|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=.(1)cos =-1.(2)=r1r2sin =b2=b2tan=c|y0|.當(dāng)|y0|=b,即P為短軸端點(diǎn)時(shí),最大,且最大值為bc.21 2

4、2brr1 2PF FS12sin1cos21 2PF FS5.AB為橢圓+=1(ab0)的弦.設(shè)直線AB的斜率存在且為k(k0),且A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點(diǎn)M(x0,y0).則(1)弦長(zhǎng)l=|x1-x2| =|y1-y2| .(2)k=-.(3)直線AB的方程:y-y0=-(x-x0).(4)線段AB的垂直平分線方程:y-y0=(x-x0).22xa22yb21k211k2020b xa y2020b xa y2020a yb x 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的解題策略橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的解題策略1.涉及橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題(可能到一個(gè)焦點(diǎn)的距離)常常用到定義.2.求橢圓標(biāo)

5、準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定型,再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定,那么要考慮是否有兩解.有時(shí)為了解題方便,也可把橢圓方程設(shè)成mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.例1 (2017浙江名校協(xié)作體期初,19)已知橢圓C:+=1(ab0),過橢圓C上一點(diǎn)P與橢圓相切的直線l為y=-x+,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;22xa22yb243 22方法技巧方法1(2)若AB是橢圓的一條動(dòng)弦,且|AB|=,求AOB面積的最大值. 52解析(1)由已知得P(2,),故+=1,聯(lián)立得b2x2+a2=a2b2,化簡(jiǎn)得

6、x2-a2x+a2-a2b2=0,(4分)由=0,得a2+8b2-36=0,聯(lián)立可得a2=12,b2=3,故橢圓C:+=1.(6分)(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,聯(lián)立得(4k2+1)x2+8kbx+4(b2-3)=0,224a22b222222,23 242b xa ya byx 223 242x2218ba3292212x23y22412,xyykxb故x1+x2=-,x1x2=,(8分)由|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)(x2+x1)2-4x1x2=,得b2=3(1+4k2)-.(10分)又原點(diǎn)O到

7、直線AB的距離d=,所以AOB的面積S=,所以S2=,令u=,則S2=-=-+9,又u=4-1,4),所以當(dāng)u=時(shí),S2取最大值,=9,故Smax=3.2814kbk224(3)14bk2542 2225(1 4)64(1)kk2|1bk542|1bk25162222223(14)25(14)164(1)kkkk22141kk6251 024219225uu6251 02429625u22141kk231k96252maxS(13分)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),AOB的面積為.(14分)綜上可得AOB面積的最大值為3.(15分)5 238評(píng)析 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)計(jì)

8、算,韋達(dá)定理,點(diǎn)到直線的距離,三角形面積的最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)與方程思想. 橢圓的幾何性質(zhì)的解題策略橢圓的幾何性質(zhì)的解題策略橢圓的幾何性質(zhì)包括:范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等,?？純?nèi)容是離心率,解決離心率問題的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造關(guān)于a與c的等式或不等式,同時(shí)還要關(guān)注其他幾個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用.例2 (2017浙江嘉興基礎(chǔ)測(cè)試,20)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,經(jīng)過點(diǎn)F2且傾斜角為45的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).(1)若ABF1的周長(zhǎng)為16,求直線l的方程;(2)若|AB|=,求橢圓C的方程.22xa22yb12247方法2解題導(dǎo)引 (1)由橢圓

9、的性質(zhì)求a由離心率的定義得c代入得直線方程 (2)由離心率的定義,把橢圓和直線方程化為只含參數(shù)c的形式聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)由|AB|=得c的值由橢圓的性質(zhì)得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 247解析(1)由題設(shè)得4a=16a=4,又=,c=2,F2(2,0),直線l的方程為y=x-2.(2)由=,得a=2c,b=c,橢圓C:3x2+4y2=12c2,又l:y=x-c,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立消去y得7x2-8cx-8c2=0,x1+x2=c,x1x2=-c2,且0,|AB|=c=,解得c=1,a2=ca12ca123222,3412,yxcxyc8787221212()4x

10、xx x2226432497cc2472474,b2=3. 故所求橢圓C的方程為+=1.24x23y評(píng)析 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)計(jì)算,韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算推理能力. 與橢圓有關(guān)的綜合問題的解題策略與橢圓有關(guān)的綜合問題的解題策略與橢圓有關(guān)的綜合問題主要有以下幾個(gè)方面:1.求直線與橢圓的相交弦長(zhǎng),一般是聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(k為直線的斜率,且不為0)進(jìn)行求解.求弦長(zhǎng)的取值范圍或最值,利用判別式大于零,得到相關(guān)參變量的取值范圍.2.求弦所在的直線方程(如中點(diǎn)弦、相交弦等)、弦的中點(diǎn)軌跡等,往往利用

11、韋達(dá)定理和“點(diǎn)差法”,但要注意判別式必須大于零.3.與直線斜率綜合,一般由斜率公式和韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.4.求橢圓內(nèi)接三角形、四邊形的面積(或面積的取值范圍、最值),一般求出一條弦的長(zhǎng)和另一點(diǎn)到這條弦的距離,得三角形面積(四邊形一般21k211k方法3分為兩個(gè)三角形).若是求面積的取值范圍或最值,往往把面積表示為某個(gè)參量(斜率、截距等)的函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值.例3 (2015浙江,19,15分)已知橢圓+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=mx+對(duì)稱.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).22x12解析 (1)由題意知m0,可設(shè)直線AB的方程為y=- x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因?yàn)橹本€y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以=-2b2+2+0,將AB中點(diǎn)M代入直線方程y=mx+,解得b=-.由得m.1m221,21xyyxbm 2112m2bm1m22x24m2222,22mbm bmm122222mm6363(2)令t=,則|AB|=,且O到直線AB的距離為d=.設(shè)AOB的面積為S(t),所以S(t)=|AB|d=.當(dāng)且僅當(dāng)t2=時(shí),等號(hào)成立.故AOB面積的最大值為.1m6,0260,221t 422322212ttt22121tt1212221222t221222