《數(shù)學(xué)第十章 圓錐曲線(xiàn)與方程 10.3 拋物線(xiàn)及其性質(zhì)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第十章 圓錐曲線(xiàn)與方程 10.3 拋物線(xiàn)及其性質(zhì)（19頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、10.3 拋物線(xiàn)及其性質(zhì)高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一拋物線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一拋物線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線(xiàn)的定義到一定點(diǎn)F和定直線(xiàn)l(F l)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn).定點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).2.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上,標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0).焦點(diǎn)在y軸上,標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p0).要根據(jù)一次項(xiàng)來(lái)判斷焦點(diǎn)的位置,若x為一次項(xiàng),則焦點(diǎn)在x軸上,若y為一次項(xiàng),則焦點(diǎn)在y軸上.一次項(xiàng)系數(shù)大于0時(shí),焦點(diǎn)在正半軸上,系數(shù)小于0時(shí),焦點(diǎn)在負(fù)半軸上.知識(shí)清單考點(diǎn)二拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)1.雙基表2.點(diǎn)P(x0,y0)和拋物線(xiàn)y2=2px(p0)的
2、關(guān)系(1)P在拋物線(xiàn)內(nèi)(含焦點(diǎn))2px0.3.焦點(diǎn)弦:F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),AB為拋物線(xiàn)y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)x1x2=;(2)y1y2=-p2;(3)弦長(zhǎng)l=x1+x2+p,x1+x22=p,即當(dāng)x1=x2時(shí),弦長(zhǎng)最短,為2p;20y20y20y24p12x x(4)弦長(zhǎng)l=(為AB的傾斜角);(5)+=;(6)以AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切;(7)焦點(diǎn)F對(duì)A,B在準(zhǔn)線(xiàn)上射影的張角為90.4.AB為拋物線(xiàn)y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點(diǎn)M(x0,y0),設(shè)弦所在直線(xiàn)斜率存在,為k(k0).(1)弦長(zhǎng)l=|x
3、1-x2|=|y1-y2|;(2)k=;22sinp1|FA1|FB2p21k211k0py(3)直線(xiàn)AB的方程:y-y0=(x-x0);(4)線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程:y-y0=-(x-x0).0py0yp 拋物線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的解題策略?huà)佄锞€(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的解題策略1.拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用拋物線(xiàn)是到定點(diǎn)和定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)(點(diǎn)不在定直線(xiàn)上)的軌跡,利用該定義,可有效地實(shí)現(xiàn)拋物線(xiàn)上到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的轉(zhuǎn)化,有利于問(wèn)題的解決.2.拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法:根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法:由焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,確定p的值.注意
4、拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,從簡(jiǎn)單化角度出發(fā),焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)為y2=ax(a0),焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)為x2=ay(a0).方法技巧方法1例1(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,14)若OAB的垂心H(1,0)恰好為拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B在該拋物線(xiàn)上,則此拋物線(xiàn)的方程是,OAB的面積是.解析由H(1,0)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),得=1,所以p=2,所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程是y2=4x.由已知條件可知A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),可設(shè)A,B,y00且y02.由AHOB,得=-1,解得y0=2,故OAB的面積S=45=10.2p200,4yy200,4yy02014yy0204yy51255答案y2=4x
5、;105評(píng)析本題考查拋物線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,三角形垂心的性質(zhì),面積的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理運(yùn)算能力. 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)的解題策略?huà)佄锞€(xiàn)的幾何性質(zhì)的解題策略1.焦半徑:拋物線(xiàn)y2=2px(p0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|=x0+.2.通徑:過(guò)焦點(diǎn)F且與x軸垂直的弦PQ叫通徑,|PQ|=2p,是所有焦點(diǎn)弦中最短的.3.焦點(diǎn)弦的性質(zhì):斜率存在時(shí),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)方程為y=k;斜率不存在時(shí)為通徑,一般焦點(diǎn)弦長(zhǎng)通過(guò)焦半徑公式來(lái)計(jì)算.例2(2017浙江金華十校調(diào)研,15)已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),則直線(xiàn)的斜率為時(shí),|AF|+4|BF
6、|取得最小值.,02p2p,02p,02p2px方法2解題導(dǎo)引設(shè)直線(xiàn)AB方程:x=ty+1,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程消去x由韋達(dá)定理和焦點(diǎn)弦公式用A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示|AF|+4|BF|利用基本不等式得最小值由等號(hào)成立的條件得A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)計(jì)算直線(xiàn)斜率得結(jié)論解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB:x=ty+1,代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4.|AF|+4|BF|=x1+1+4(x2+1)=x1+4x2+5=10+t(y1+4y2)=10+(y1+y2)(y1+4y2)=10+(+4+5y1y2)10+(2y12y2+5y1y2)=10
7、+y1y2=1,當(dāng)且僅當(dāng)=4,即y1=-2y2,即或時(shí),取等號(hào),此時(shí)4t=,所以=2,故直線(xiàn)AB的斜率為2.141421y22y149421y22y122 2,2yy 122 2,2yy 21t22答案22評(píng)析本題考查拋物線(xiàn)的焦半徑,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,直線(xiàn)斜率,利用基本不等式求最值等知識(shí),考查推理運(yùn)算能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想. 與拋物線(xiàn)有關(guān)的綜合問(wèn)題的解題策略與拋物線(xiàn)有關(guān)的綜合問(wèn)題的解題策略與拋物線(xiàn)有關(guān)的綜合問(wèn)題主要有以下幾個(gè)方面:1.求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相交弦長(zhǎng),一般是聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(k為直線(xiàn)的斜率,且k0)進(jìn)行求
8、解.若求焦點(diǎn)弦長(zhǎng),則利用焦半徑公式和韋達(dá)定理.如果是求弦長(zhǎng)的取值范圍或最值,則要利用判別式大于零,得到相關(guān)參變量的取值范圍.2.求弦所在的直線(xiàn)方程(如中點(diǎn)弦、相交弦等)、弦的中點(diǎn)軌跡等,往往利用韋達(dá)定理和“點(diǎn)差法”,但要注意判別式必須大于零.3.與直線(xiàn)斜率綜合,一般由斜率公式和韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.4.求拋物線(xiàn)內(nèi)接三角形、四邊形的面積(或面積的取值范圍、最值),一21k211k方法3般求出一條弦的長(zhǎng)和另一點(diǎn)到這條弦的距離,得三角形面積(四邊形一般分為兩個(gè)三角形).若是求面積的取值范圍或最值,往往把面積表示為某個(gè)參量(斜率、截距等)的函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值.例3(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺
9、卷四,21)設(shè)斜率不為零的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)x2=4y相交于A,B兩點(diǎn),與圓C:x2+(y-3)2=r2(r0)相切于點(diǎn)M,且M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn).(1)求r的取值范圍;(2)求ACB的面積S的最大值.解題導(dǎo)引(1)由kABkCM=-1和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)由點(diǎn)M在拋物線(xiàn)內(nèi)得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的平方的取值范圍由兩點(diǎn)間的距離公式得結(jié)論(2)聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程消去y由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式把|AB|表示成關(guān)于m的函數(shù)用r表示m,把S表示成關(guān)于r的函數(shù)換元,把S轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得S的最大值解析(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).因?yàn)橹本€(xiàn)l的斜率不為零,所以m0.kAB=,k
10、CM=,由kCMkAB=-1,得=-1,得n=1.又點(diǎn)M在拋物線(xiàn)內(nèi)部,則有m24n=4,所以0m24,所以r2=m2+(1-3)2=m2+4(4,8),故r的取值范圍是(2,2).(2)由(1)知,直線(xiàn)l的方程為y=(x-m)+1,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得x2-2mx+2m2-4=0,2121yyxx22212144xxxx214xx24m2m3nm3nm2m22m所以所以|AB|=|x1-x2|=,故S=|AB|r=r.又m2=r2-4,所以S=r2,其中4r28.令x=,則0 x2,故S=f(x)=x(8-x2)=-x3+4x,0 x2.由f(x)=-x2+4=-,知函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),122122 ,24,xxmx xm214m214m21212()4xxx x24m24m121224m24m1228r28r12123232283x2 60,32 6,23故當(dāng)x=,即r=時(shí),ACB的面積S取最大值,最大值為.2 634 3316 69評(píng)析本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì),直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,直線(xiàn)斜率,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,弦長(zhǎng)公式,利用導(dǎo)數(shù)求最值等知識(shí),考查推理運(yùn)算能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想.
數(shù)學(xué)第十章 圓錐曲線(xiàn)與方程 10.3 拋物線(xiàn)及其性質(zhì)
