《高等數(shù)學：第三章 第三節(jié) 泰勒公式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學：第三章 第三節(jié) 泰勒公式（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三節(jié) 泰勒公式 一、問題的提出 二、泰勒公式 三、簡單應用xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例例如如, , 當當x很很小小時時, , xex 1 , , xx )1ln(一、問題的提出)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf 若記若記)()()(0001xxxfxfxP 則則),()(1xPxf 較較小小時時當當0 xxx ),()(010 xPxf ),()(010 xPxf 不足不足:1、精確度不高；、精確度不高；2、誤差不能估計、誤差不能估計.問題問題1：試找一個關于試找一個關于)(0 xx nnnxxaxxaxxaaxP)
2、()()()(0202010 來近似表達來近似表達 f (x) ，要求：，要求：（1）誤差）誤差| )()(| )(|xPxfxRnn nxx)(0 （2）具體給出誤差）具體給出誤差| )()(| )(|xPxfxRnn （3）)(xPn0 x0 xx的的 n 次多項式次多項式當當是比是比高階的無窮小高階的無窮小的表達式的表達式與與 f (x) 在在處的函數(shù)值以及直到處的函數(shù)值以及直到 n 階的導數(shù)值依次相等，即階的導數(shù)值依次相等，即, )()(00 xPxfn ,)( )( 00 xPxfn )( )( 00 xPxfn )()(0)(0)(xPxfnnn nnnxxaxxaxxaaxP)(
3、)()()(0202010 1)( axPn )( xPn)(202xxa 10)( nnxxan22a20)()1( nnxxannnnnanxP!)()( 00)(axPn ,)(0 xf 10)( axPn ,)( 0 xf 202)( axPn , )( 0 xf )(0)(xfn nnnanxP!)(0)( ,)(00 xfa ,)( 01xfa 所所以以可可求求得得,2)( 02xfa ,!)(0)(nxfann 200000)(!2)( )( )( )(xxxfxxxfxf nnxxnxf)(!)(00)( 因此所求因此所求 n 次多項式次多項式)(xPnnnnxxaxxaxxa
4、axP)()()()(0202010 問題問題2: 上述上述)(xPn可表示為可表示為能否滿足問題能否滿足問題1 中的要求？中的要求？,)(00 xfa ,)( 01xfa ,2)( 02xfa ,!)(0)(nxfann nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 二、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理定理（泰勒中值定理）定理（泰勒中值定理）如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在含有點在含有點)(0 xx 0 x)(xPn)(xRn),()()(xRxPxfnn )( )( )(000 xxxfxf 200)(!2)( xxxf nnxxnxf)(!)(
5、00)( 10)1()(! )1()()( nnnxxnfxR 之之間間與與介介于于0 xx 的區(qū)間的區(qū)間 ( a , b ) 內有直到內有直到 n + 1 階的連續(xù)導數(shù)，階的連續(xù)導數(shù)，的一個的一個 n 次多項式次多項式與一個余項與一個余項之和，即之和，即則當則當 x 在在 ( a , b ) 內取任何值時，內取任何值時，f (x) 可以表示為可以表示為其中其中)(xPn由泰勒中值定理可知，若以由泰勒中值定理可知，若以 n 次多項式次多項式200000)(!2)( )( )( )()(xxxfxxxfxfxPn nnxxnxf)(!)(00)( 近似表達近似表達 f (x) ，產生的誤差恰好是
6、，產生的誤差恰好是| )(|xRn| )(|xRn|)(! )1()(|10)1( nnxxnf 10|! )1( nxxnM|)()(|00nnxxxR ! )1(|0 nxxM0)()(lim00 nnxxxxxR高高階階的的無無窮窮小小是是比比時時即即當當nnxxxRxx)()(00 我們稱公式我們稱公式)(xf)( )( )(000 xxxfxf 200)(!2)( xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xRn 為泰勒公式，為泰勒公式， 而稱余項而稱余項10)1()(! )1()()( nnnxxnfxR （1）（2）為拉格朗日型余項。為拉格朗日型余項。 而稱而稱)()(0n
7、nxxoxR 為佩亞諾（為佩亞諾（Peano)余項余項泰泰勒勒公公式式成成為為時時當當,00 x)(xfxff)0( )0( 2!2) 0( xf nnxnf!)0()( )(xRn 其中其中1)1(! )1()()( nnnxnfxR 稱之為馬克勞林公式。稱之為馬克勞林公式。之之間間與與介介于于x0 再令再令10, x10! )1()()(1)1( nnnxnxfxR則余項又可以寫成則余項又可以寫成)(xf)( )( )(000 xxxfxf 200)(!2)( xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xRn （1）三、簡單的應用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0
8、()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計誤差估計誤差)0( x設設!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR解解( )( )sin(),2nnfxx (0)0,f 2,nm 取取352112sin( 1)( )3!5!(21)!mmmxxxxxRxm (0)1,f (0)0,f (0)1,f (4)(0)0,f (21)1(0)( 1),mmf
9、(2)(0)0,mf (21)212()( )(21)!mmmfx xRxm 2121sin()2,(21)!mmxxm 01, 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 解解)()!1(1! 31! 2111132 nnxxoxnxxxe)()()!1(1)(! 31)(! 21)(11132 nnxxoxnxxxe)()!1()1(! 31! 21111132 nnnxoxnxxx)()!1()1(! 31! 211432nnnxxoxnxxxxxe 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()()! 412! 21(3cos25442xoxoxxex 45440)()(127limxxoxoxx 原式原式.127 作業(yè)作業(yè)習題習題3 3: 1, 4, 5
高等數(shù)學：第三章 第三節(jié) 泰勒公式
