高等數學第三章 一元函數積分學（考研輔導班內部資料）

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1、第三章 一元函數積分學 3.1 不定積分 一 基本概念 定義1 原函數：如果，則稱是的一個原函數． 定義2 不定積分： 的所有原函數或帶有任意常數項的原函數稱為的不定積分． 二 基本結論 定理1 （原函數存在定理） 連續(xù)函數一定存在原函數． 定理2 （原函數個數）如果函數存在原函數，一定有無限多個原函數． 定理3 （原函數差別）同一個函數的任意兩個原函數最多相差一個常數． 定理4 (不定積分公式) （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）；

2、 （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）； （21）； （22）； 三 基本方法 1 按積分方法分類：湊微分、變量代換、分部積分； 一 湊微分（湊微分，利用公式） 原理：若，，則． 湊微分是積分最基本的方法，也是求不定積分最簡單的方法，因此在求不定積分時，我們首先想到的是能否用湊微分，將積分變成公式的形式．要完全掌握這個方法，需要熟悉湊微分公式．

3、 常見函數的湊微分公式 1．湊成一次函數微分 ； 2．湊成次函數微分 ； 3．湊成倒微分 ； 4．湊成根微分 ； 5．湊成指數函數微分 ； 6．湊成對數函數微分 ； 7．湊成三角函數微分； ； ； ； 8．湊成反三角函數微分； ； 9．湊成整體或局部的微分 ；． 例1 用湊微分法計算下列不定積分： （1）；

4、 （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 解（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 二 變量代換法 1 三角代換（含根式，作三角代換，將其變成三角函數積分） 若被積函數含有： （1），作變量代換；，則 ，； （2），作變量代換；，則 ，； （3），作變量代換；當，，則 ，． 當時，，

5、，． 例2 計算下列無理函數的不定積分： （1）； （2） ． 解（1）令，，于是 ． （2）令，，，則 ， ． 當時，令，則，，于是 ． 2 指數代換（被積函數含有指數函數） 例4 計算下列不定積分： （1）； （2）． 解（1）令，則，，于是 ． （2）令，則，，，于是 3 對數代換（被積函數含有對數函數） 例5 計算下列不定積分： （1）；

6、（2）． 解 令，則，，于是 （1） ． （2），于是 ． 4 反三角函數代換（被積函數含有反三角函數） 例7 計算下列不定積分： （1）； （2）． 解（1）令，則，，于是 ． （2）令，則，，于是 ． 三 分部積分 理論原理： 具體方法：將分成兩部分，一部分作為，另一部分和湊成，而更多的是：，，，這樣等式右端的積分中的是更加有利于積分的形式，同時還要保證剩余部分很容易求其原函數，和湊成

7、． 被積函數是如下形式，常用分部積分： ；；；；；． 注1 一般的，如果被積函數是兩類不同函數的積，要考慮分部積分．分部積分的基本思想是將被積函數轉化為單一類函數（有理函數、無理函數或三角函數）． 例8 用分部積分法計算下列不定積分： （1）； （2）． 解（1）被積函數是兩類不同函數的積，于是考慮分部積分．顯然應選擇作為，剩余部分和湊成，于是有 ． （2）被積函數是兩類不同函數的積，于是考慮分部積分．選擇作為，剩余部分和湊成，于是有

8、 ． 2 按被積函數分類：有理函數、無理函數、三角函數． 一 有理函數的積分 1．基本方法 （1）將有理函數積分湊成可以利用公式的積分； （2）將有理函數積分表示為整式、簡單的一次分式以及簡單二次分式的積分的和． 根據多項式理論： （1）假分式 = 整式 + 真分式； （2）真分式 = 若干一次分式 + 若干二次分式． 簡單的一次分式與二次分式形式分別是： 一次分式：，； 二次分式：，，，． 注2 這里的二次分式中的是不能再分解，即． 上述六種的一次分式和二次分式積分的基本思想和基本方法： （1）； （2） （3）；（配成完全平方） （

9、4）（用一次項湊成分母的微分） ； （5）；（配成完全平方，用遞推公式） （6）（用一次項湊成分母的微分） 公式中的“”表示原積分可以轉化為這種形式的積分，它們最多相差一個常數． 遞推公式 至少要掌握的遞推公式： 2 有理函數的分解 （1）把假分式化為真分式：假分式 多項式（整式） 真分式．例如 （2）把真分式分解為若干一次分式和二次分式和的形式的具體方法： 待定系數法：將分母分解成若干一次因式與二次因式的積（二次因式不能再分解）．依據分母的一次因式和二次因式得到真分式表示為一次分式和二次分式的一般形式．例如 其中是待定常數．

10、 這里，都稱為一次分式，也稱為二次分式．并且． 在確定待定系數時，可以對上述等式去分母，利用多項式恒等，對應項系數相等，解得待定系數． 注3 用待定系數法將真分式分解成若干簡單一次分式與二次分式的和，實在是無奈之舉，因為這種方法計算量很大．所以通常情況下，都是用“湊”的方法，將真分式分解．例如 注4 掌握有理函數積分的基本思想和基本方法是至關重要的，一方面是因為有理函數積分占積分很大比例，而且有很多積分通過變換（湊微分、變量代換、分部積分），最終轉化為有理函數積分；另一方面，有理函數的表現形式不盡相同，掌握了有理函數積分的基本方法和思想，就可以確定怎樣變化，朝著什么方向變化．

11、 例9 計算下列有理函數的不定積分： （1）； （2）； （3）； （4）， （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； 解 （1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5） （6）（用一次項湊分母微分） ； （7）令，則，，于是有 ； （8） （遞推公式） （9）令，則，于是

12、 ； （10） ． 注5 在（2）（3）（4）（10）題中，對被積函數的分解，都是采用“湊”的方法，而沒用待定系數法分解．這是因為“湊”的方法更容易、簡捷些，而待定系數法計算量太大．當然，有時在沒有看出如何去湊時，也只能用待定系數法去分解．有時作變量代換也是必要的，如第（7）題． 二 簡單無理函數的積分 基本方法：湊微分、有理代換、三角代換． 1 湊 微 分 變形、湊微分，再利用積分公式； 2 有理代換 化無理函數積分為有理函數積分； 3 三角代換 化無理函數積分為三角函數積分． 例10 用湊微分法計算下列無理函數的不定積分： （1）；

13、 （2）． （3）； （4）； 解（1） ． （2）分母有理化 ． （3）配方，利用公式（或配方，變量代換） （4） ． 例11 用變量代換法計算下列無理函數的不定積分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；

14、 解（1）令，則，，于是 ． （2）令，則，于是 ． （3）變形得到 ． 于是令，則，，因此 ． （4）令，則，于是 （5）令，則，于是 ； （6）令，則，于是 ． 注6 求無理函數不定積分，一般是湊微分和變量代換（有理代換、三角代換）．另外在解題時，可先嘗試（考慮）將無理函數的分子或分母有理化，使被積函數有更簡單的形式． 如例10（2）． 將無理函數積分轉化為有理函數積分時，采用有理代換要慎重．在代換過程中，要考慮兩個因素：被積函數變化，微元變化．有時，直接令盡管被積函數變成有理函數，但微元又出現無理函數的

15、形式，結果并沒有實現有理化的目的．因此說對一些無理函數積分的變化，如例11（3）的變化，是十分必要的． 三 三角函數的積分 基本方法：1. 湊微分；2.降冪；3.簡化分母；4.萬能公式． 1 湊微分；化三角函數積分為有理函數積分 （1）； （2）； （3）； （4）． 例12 計算下列三角函數的不定積分： （1）； （2）． （3）； （4）． 解（1） ． （2） （3） ； （4），令，于是 ． 注7 化三角函數積分為有理函數的積分，是計算三角

16、函數積分的常用、有效方法．在例12的4個題中，都是利用湊微分方法，把三角函數積分變成有理函數的積分，如例12（4）,或相當于有理函數積分，如例12（1~3）題，只是沒有作變量代換而已． 2 降冪 （1）直接降冪 利用倍角公式、積化和差公式降冪： （a） 倍角公式：；； （b）積化和差：； ； ． 例13 計算下列三角函數的不定積分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解 （1）． （2）． （3） ． （4） （2）間接降

17、冪 利用公式降冪： 例14 計算下列三角函數的不定積分 （1）； （2）． 解 （1） ． （2） ． 3 簡化分母 把分母的和與差的形式化為積的形式： （1） （2） 例15 計算下列三角函數的不定積分： （1）； （1）. 解 （1） ． （2） ． 4 萬能公式 作變量代換，將三角函數積分轉化為有理函數積分：

18、 令，則 ，，，，． 例16 計算． 解 令，則，，，于是 ． 注8 之所以把上述公式稱為萬能公式，是因為這種變換，可以把常見的三角函數積分 可以轉化為有理函數的積分．同時，我們還會發(fā)現，萬能公式比較適合次數較低的三角函數積分，一般是一次的，最多是二次的．不然，通過萬能公式變換，得到的分式，其分子或分母次數較高，對這樣的有理函數積分，有時沒有更好的處理方法．因此，如果有其它辦法，最好不用萬能公式．萬能公式的實質就是變量代換． 四 分段函數的不定積分 例17 計算不定積分 解 由于 于是 根據原函

19、數的連續(xù)性，，則，于是，故 注9 求分段函數的不定積分，首先求出每段函數的不定積分，然后利用原函數的連續(xù)性，確定各段不定積分的任意常數的關系，最后用一個任意常數表示其他任意常數，進而得到分段函數的不定積分， 練習 3-1 1 計算下列有理函數的積分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）；

20、 （8）； （9）； （10）； 2 計算下列無理函數的積分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 3 計算下列三角函數的積分： （1）； （2）；

21、 （3）； （4）； （5） （6）， ； （7）； （8）； ． （9）； （10）； 4 用分部積分法求下列不定積分 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）；

22、 （6）； （7）； （8）； 3.2 定積分 一 基本概念 定義1 定積分 設在上有定義，對于任意分法，任意取法，若極限 存在，且與分法、取法無關，則稱在上可積，且稱極限值是在上的定積分，記作 ． 定積分的幾何意義 若，則表示由和軸圍成的曲邊梯形的面積． 定義2 積分上限函數：若可積，則稱為積分上限函數． 二 基本結論 定理1 （牛頓萊布尼茲公式） 如果函數是連續(xù)函數在區(qū)間的一個原函數，則 定理2（變限積分函數的導數） 若連續(xù)，與可導，則變限積分函數可導，且

23、 ． 定理3 （定積分中值定理） 如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點，使 ． 定理4 （定積分性質和公式） 1．對稱區(qū)間上的定積分 若在是連續(xù)函數，則 2．周期函數的定積分 若是以為周期的連續(xù)函數，則 ． 3．三角函數的定積分 （1） （2）， （3）， ； （4）． 4．三角函數定積分的常用變換 （1）形如的積分，常作變換；這樣可以使積分區(qū)間（積分的上下限）不變，被積函數正弦和余弦互換，從而被積函數發(fā)生變化． （2）形如或不定積分，常作變換 或 或再令，這樣可以將也變?yōu)?，最終都轉化為． （3）形如的不定積

24、分，常作變換 或 （以為周期函數性質）． 三 計算定積分的基本方法： 計算定積分的基本方法是求出原函數，應用牛頓萊布尼茲公式．這和計算不定積分在方法上并沒有本質區(qū)別，所以如果僅用這個方法計算的定積分，這里不再贅述． 1． 換元積分 定積分的換元積分和不定積分的變量代換本質是相同的，但是對計算兩類積分所起到的作用有時是不同的，并且有一定的差別，體現在： （1）不定積分的變量代換求得的結果一定要還原（換回原變量），而定積分是不需要的．正因為這個原因，在計算定積分時，只要通過換元能夠得到較簡單的定積分，就可以進行換元，不必考慮還原的麻煩． （2）對一些定積分來說，通過換元積分

25、后，盡管所得到的定積分可能仍然沒辦法計算，但是這個定積分或通過拆分后得到的定積分可能與原來定積分有一定的關系，如相等、其和或差是可求的定積分，這樣的換元仍是有意義的． （3）計算三角函數不定積分的一個常用方法是降次，但是對一些三角函數的定積分來說，可以不用降次，只需利用三角函數的積分公式．在區(qū)間，，上的定積分，若將被積函數轉化為或，就可以得到定積分的結果． 例1 計算下列定積分： （1）； （2）； （3）； （4）； 解（1）令，則，，于是 ． （2）令，則，于是 ； 令，可以證明

26、 ． 所以 ． 或者求出原函數 （3）令，則，于是 ． （4）令，則，于是 ， 因此 ． 此題也可直接利用積分公式，不必做變量代換． 2 分部積分 定積分的分部積分與不定積分的分部積分的思想、方法是相同的，使用的范圍和對象也是相同的． 例2 計算下列定積分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解（1）取，顯然，于是 ． （2）令，則，，于是 ． （3）分部積分 ，

27、移項，則有 ． （4） ． 3．對稱區(qū)間的積分 對稱區(qū)間的積分是定積分的常見題型，一旦遇到這類積分，就要考慮、研究被積函數是 否是奇函數或偶函數，從而利用對稱區(qū)間積分的性質，如果被積函數不是奇函數，可能將被積函數表示為幾個函數的和，拆分，將和的積分寫成積分的和，對某部分積分利用對稱區(qū)間積分性質． 例3 計算下列對稱區(qū)間的積分： （1）； （2）． 解（1）拆分，對第二個積分利用對稱區(qū)間積分性質，有 ． （2）拆分，對第一個積分利用對稱區(qū)間的積分性質，對第二個積分作變量代換，有 ． 例4

28、設是連續(xù)函數，是偶函數，且（常數） （1）證明：； （2）計算 ． 解（1） ． （2） 因為 ，令，得到 ． 根據結論（1），得到 ． 4．非初等函數的定積分 計算非初等函數積分的基本方法：將被積函數在積分區(qū)間的范圍上表示為分段函數，把 定積分表示為在若干區(qū)間上積分的和，使被積函數在每個積分區(qū)間上都是初等函數．或者說把被積函數在積分區(qū)間上表示為分段函數． 例5 計算下列非初等函數的積分 （1）； （2）； （3）； （4）． 解（1）由于 ， 于是

29、 ． （2） ． （3）根據取整函數定義，有 ， 于是 ． （4）根據符號函數定義，有 于是 ． 例6 設，求在上的表達式． 解 當時， ； 當時， ， 于是 ． 5．反常積分（廣義積分） （1）無窮限反常積分：，，． （2）無界函數反常積分：瑕積分分類 為函數的瑕點，； 為函數的瑕點，； 為函數的瑕點，． 廣義積分計算和正常積分計算基本沒有區(qū)別，只是在有牛頓—萊布尼茲公式時，若不能直接代入，就求極限． 例 7 計算下列反常積分 （1）；

30、 （2）； （3）； （4） 解 （1）； （2）； （3）；（4） ． 注 （1）題只需將上下限直接代入原函數即可；（2）題原函數在沒定義，所以只能，并且；（3）題的上限是不能直接代入，只能求原函數在正無窮大的極限；（4）題需要分別求正無窮和負無窮的極限． 練習 3-2 1 計算下列三角函數的定積分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 2

31、 計算下列無理函數的定積分 （1）； （2）； （3）； （4）； 3 計算下列非初等函數的定積分 （1）； （2）； （3）， （4）； 4 利用函數的周期性、奇偶性計算下列定積分 （1）； （2）； 5 利用分部積分計算下列定積分 （1）； （2）； （3）； （4）； 第三章答案與

32、提示 練習 3-1答案與提示 1 （1）； （2） （3）； （4） （5）； （6） （7） （8） （9） （10） 2 計算下列無理函數的積分： （1）． 提示：分母變形 （2）．令；，則，． （3） （4）．提示：分母有理化． （5）． 提示：，令，，則 （6）．提示：令 （7）．提示：配方，利用公式． （8） （9） （10） 3 計算下列三角函數的積分： （1）；提示：湊微分 （2）：提示：降次 （3）；提示：湊微分，化為有理函數積分

33、 （4）；提示：降次 （5）；提示： （6）；提示：可用萬能公式，也可簡化分母 （7）；提示：． （8）；提示：利用萬能公式 （9）；提示：拆分， 對第一部分積分利用分部積分． （10）；提示：變量代換，令，，，再兩次運用分部積分． 4 用分部積分法求下列不定積分 （1）． （2）；提示：． （3）． （4）． （5），提示： ，前者用分部積分，后者湊微分用公式． （6）． （7）． （8）；提示：令，， ，則． 練習3-2答案與提示 1. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 2. （1）；（2）；（3）（提示：作到變換）；（4）； 3. （1）；（2）；（3）；（4）．提示：利用三角函數的積分公式． 4．（1）； （2）； 5．（1）；（2）； （3）；提示：， （4）． 24