【試卷】選擇性必修第二冊 第4章(3)等差、等比數(shù)列 能力提升卷

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1、絕密★啟用前 等差、等比數(shù)列能力提升復(fù)習(xí) 范圍:選擇性必修二數(shù)列 第I卷(選擇題) 一、單選題 1. 等比數(shù)列{%}滿足即75=4(%-1),且%, % + 1, %成等差數(shù)列,則該數(shù)列公 比0為() A. — B. C. 4 D. 2 2 2 2. 設(shè)等差數(shù)列{%}的前n項和為S,,.若%=-11,%+%=一6,則當(dāng)S,取最小值時, n等于() A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知等差數(shù)列{%},巧=1, %=3,則數(shù)列J—!— 的前10項和為() ,10 n 9 八 9 n 11 A. — B. — C. — D.— 11 11 10 10

2、4. 某個蜂巢里有一只蜜蜂,第一天它飛出去帶回了五個伙伴,第二天六只蜜蜂飛出去 各自帶回五個伙伴,如果這個過程繼續(xù)下去,那么第六天所有的蜜蜂歸巢后蜂巢中共有 蜜蜂的數(shù)量是() A. 5('只 B. 6,只 C. 5,只 D. 66只 5. 己知數(shù)列:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...,即此數(shù)列第一項是2°,接下來兩項 是2°2,再接下來三項是2°,2)22,依此類推,......,設(shè)S,是此數(shù)列的前〃項的和, 則 $2017=() A. 2M -26 o63 — o6 D. 263 - 25 6. 等差數(shù)列{aj的前n項和為S,*且滿

3、足2S3=a3+a7=18,則a,=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 設(shè)等差數(shù)列{%}的前〃項和為&,若$3=9, $6=36,則禹=() A, 63 B. 45 C. 43 D. 81 8. 設(shè)等差數(shù)列的前n項和為既,若峋=虬 嗓芹噸=家則當(dāng)'筑.■取最大值輜等于 () A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多選題 9. 在等差數(shù)列{為}中,公差前〃項和為S”,則() A. a4a6 > B. S13 > 0 , S14 < 0 ,則 |?7|>|^| C.若S9=SI5,則,中的最大值是§2 D.若Sn=n2-n + ar則a = 0 1(

4、).計算機病毒危害很大,一直是計算機學(xué)家研究的對象.當(dāng)計算機內(nèi)某文件被病毒感 染后,該病毒文件就不斷地感染其他未被感染文件.計算機學(xué)家們研究的?個數(shù)字為計 算機病毒傳染指數(shù)C。,即一個病毒文件在一分鐘內(nèi)平均所傳染的文件數(shù),某計算機病毒 的傳染指數(shù)C。=2,若一臺計算機有IO,個可能被感染的文件,如果該臺計算機有一半以 上文件被感染,則該計算機將處于攤疾狀態(tài).該計算機現(xiàn)只有-個病毒文件,如果未經(jīng) 防毒和殺毒處理,則下列說法中正確的是( ) A. 在第3分鐘內(nèi),該計算機新感染了 18個文件 B. 經(jīng)過5分鐘,該計算機共有243個病毒文件 C. 10分鐘后,該計算機處于癱瘓狀態(tài)

5、D. 該計算機癱瘓前,每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為2的等比數(shù)列 第II卷(非選擇題) 三、 填空題 11. 已知4, "3,25成等差數(shù)列,4, c , d , 25成等比數(shù)列,則a + b + cd= . 12. 設(shè)等差數(shù)列{%}的前〃項和為S”,且滿足S2017 >0, S2O18 <0對任意 都有|??|>|^,|,則〃7的值為 . 13. 己知數(shù)列{%}滿足%=2, 〃《+[-(〃 + 1)弓=2(疽+〃),若勿=2同,貝IJ {如} 的前〃項和&= . 14. 己知等比數(shù)列{'}的前〃項和為S”,且。2%+%=°,,3=-1,貝ij《= . 四、 解答題 15

6、. 已知數(shù)列{《,}中,%=1, 4襯=一%. 4十, (1) 求。2, %; (2) 求證是等比數(shù)列,并求{%}的通項公式; (3) 數(shù)列{如}滿足如=(3"-1)*皿,數(shù)列{如}的前〃項和為L,若不等式 (—1)7 < L +法對一切〃 g N"恒成立,求A的取值范圍. 16. 已知公差不為零的等差數(shù)列{%}滿足%, %,4成等比數(shù)列,任=3:數(shù)列{如} 滿足 bn-bn_x =??_! (n>2), h} = a.. (1) 求數(shù)列{%}, {"}的通項公式; (2)記弓,=薩可’求數(shù)列{】}的前〃項和 17. 己知數(shù)列{%}滿足4 =:,%] =3% -1(〃6

7、N,). (1) 若數(shù)列{如}滿足如=%—:,求證:{如}是等比數(shù)列; (2) 求數(shù)列{%}的前項和S” 18. 己知遞增的等差數(shù)列{?}的首項%=1,且為、勾、印成等比數(shù)列. (1) 求數(shù)列{%}的通項公式4; (2) 設(shè)數(shù)列{%}對任意n",都有3 +務(wù)+?.?+ 3 =《-|成立,求 q +

8、13. 4 14. (一1)” 15. (1) 1 CI-,=—, 一 4 見解析,% 3,,_i (3) -2

9、1 由“r得蔚十小廠即》+次 3 是尊是為首項,3為公比的等比數(shù)列. 所以 a ⑶如=(3“T)$ £,=1耳 + 2、} + 3、, + ... + (〃一1)、土 + 〃、我 兀,1 c 1 , 1 1 項= g + 2x芬+ ??? +(〃T)x^7T +心礦 兩式相減得* =玄+ $ + 土 + ... + 我-心+ = 2一^^^, L=4一笑,所以(_1)豚<4—嘉. 令/(〃) = 4 — e(〃eN“),易知/(〃)單調(diào)遞增, 2 若〃為偶數(shù),則2<4-—

10、-2. 所以-2<2<3. 【點睛】 本題考查了遞推公式的應(yīng)用、等比數(shù)列的證明、數(shù)列通項的求解、錯位相減求數(shù)列前〃項和, 考查了恒成立問題的處理方法和分類討論的思想,屬于中檔題. 16. ⑴ a.=n,b,, = 〃 一; + 2. (ii) Tn =~^- 試題分析:(1)第(1)問,先直接利用己知求出d = 1,% = 1,得到數(shù)列{%}的通項公式% = 再利用累加法求出數(shù)列{如}的通項公式.⑵第(2)問,利用裂項相消求數(shù)列{烏}的前〃項 和 試題解析:(1)設(shè)數(shù)列{%}的公差為d則:向2 =%/,(% +d)2 =%(% +3d), = d ,又 a i = 3 +

11、2d = 3d = 3d = 1, q = 1, an=a)4- (n-1 )-d=n. b\ = % .?. b[ =1,?.?如一々i =%_i =〃T 二當(dāng)〃 22 時 如=(如一勿-1 ) + (如一如2) + (如一2 -如3) + + (" -4) + (?2 -4) + 4 2 =(〃一 1) +(〃一2)+ (〃一3)+ +2+1= ~ , 又b、=1 滿足上式 , n2 -n +2 ,?'? b〃 = ? 〃 2 (II) c — — — — 2 、〃 +1 〃 + 2 〃 + 2 〃 + 2 “bn + 2n 疽+3〃+ 2 (〃 +1)(〃+

12、2) 17. (1)見解析;(2) S“ = 3 " 2 【解析】 試題分析:(I)通過恒等變形,得到%廠! = 3(4一!)即如h=3如,結(jié)論得證; (2)由(I)可得f/N=3,,-,+-,分成一個等比數(shù)列,一個常數(shù)列求和即可. 2 試題解析:⑴ 由題可知。由一! = 3(%-:)(〃€/),從而有bl)+l = 3b)t, b, =?.-! = !,所以{勿}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列. (2)由⑴知bn = 3n-',從而?n=3n-,+^, 有 Sq + L + 3 + ! + ...3”T+4 = 3〃+〃T " 2 2 2 2 點晴:本題考查的是數(shù)

13、列中的遞推關(guān)系和數(shù)列求和問題.第一問中關(guān)鍵是根據(jù)=3%-1 得到"z 一! = 3(%一?),即b心=3如證得{如}是等比數(shù)列;第二問中的通項由 (1) 知勿=3心,從而4=3心+:, %=3心+:,比較明顯地可以分成一個等比數(shù)列, 匕 £ 一個常數(shù)列求和即可. 18. (1) % =〃(>"*); (2) 220'3;(3)見解析. 【分析】 (2) 根據(jù)a]=aca,解出公差,即可得到通項公式; (2) 當(dāng)〃22時,由3 +多+ — + 3 = 〃 + 1①,及3 + |i +』? + |^ = 〃②,兩式作差 求出cn=2nt即可求解; (3) 通過數(shù)列通項公式關(guān)系對

14、數(shù)列{如}中的任意一項bn=—,都存在blt+i 和 n ii + \ 吼“=〃:二:使得b“=M b*,即可得證? 【詳解】 (1)...{%}是遞增的等差數(shù)列,設(shè)公差為"id > 0) %、%、%成等比數(shù)列,~a\ , a4 由(l + d)2=?(l+3d)及 d>0 得 d = \ .?.atl = n(n e N*) (2)?.??!盷 =〃 + l, 3 +瑟+?一 +蕓=〃 + 1對〃eN“都成立 當(dāng)〃 =1 時,3 = 2得q=4 當(dāng)〃22時,由歹斜..號=,E①,及粕 =〃② ①一②得* = 1,得& 4 (n = 1) T (n>

15、2) 2013 /.c1+c24--.. + c2012 =4 + 22 +23 + ... + 22012 =4+ 2 (1 ~2(ll) =2 1 — 2 (3)對于給定的ncN*,若存在k,5于UN*,使得bH=bk b, 互,只需土 = 蟲 〃 n kt 即]+1 = (1 + -)-(1 + -),即- = - + - + — n k t n k t kt 即如=5 + 〃,/ =巫地 k-n 取 k = n+\,則 £ = n(n + 2) ???對數(shù)列也}中的任意-毗=字‘都存在如=偌和% =號* 使得如I*%/* 【點睛】 此題考查求數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和,考查對數(shù)列通項公式的理解認(rèn)識,證明相關(guān)結(jié)論.

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