高中數(shù)學(xué) 雙曲線 經(jīng)典例題 分類指導(dǎo)

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1、例題 定義類 1，已知，一曲線上的動點到距離之差為6，則雙曲線的方程為 點撥：一要注意是否滿足，二要注意是一支還是兩支 ，的軌跡是雙曲線的右支.其方程為 2雙曲線的漸近線為，則離心率為 點撥：當(dāng)焦點在x軸上時，，；當(dāng)焦點在y軸上時，， 3 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點均在同一平面上) 【解題思路】時間差即為距離差

2、，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的． [解析]如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 設(shè)P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，A B C P O x y 依題意得a=680, c=1020， 用y=－x代入上式，得，

3、∵|PB|>|PA|, 答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處. 【名師指引】解應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)換為“數(shù)學(xué)模型” 4 設(shè)P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則△PF1F2的面積為 （ ） A． B．12 C． D．24 解析： ① 又② 由①、②解得 直角三角形， 故選B。 5如圖2所示，為雙曲線的左 焦點，雙曲線上的點與關(guān)于軸對稱， 則的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27 [解析] ，選C 6. P是雙曲線左支上的一點，F(xiàn)

4、1、F2分別是左、右焦點，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為（ ） （A） （B） （C） （D） ［解析］設(shè)的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為， 由圓的切線性質(zhì)知， 7，若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ） A. B. C. D. 【解析】橢圓的長半軸為 雙曲線的實半軸為 ，故選A. 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1已知雙曲線C與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程． 【解題思路】運用方程思想，列關(guān)

5、于的方程組 [解析] 解法一：設(shè)雙曲線方程為－=1.由題意易求c=2. 又雙曲線過點（3，2），∴－=1. 又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8. 故所求雙曲線的方程為－=1. 解法二：設(shè)雙曲線方程為－＝1， 將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1. 2.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； [解析]設(shè)雙曲線方程為， 當(dāng)時，化為，， 當(dāng)時，化為，， 綜上，雙曲線方程為或 3.以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________. [解析]

6、 拋物線的焦點為，設(shè)雙曲線方程為，，雙曲線方程為 4.已知點，，，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為 A． B． C．（x > 0） D． [解析]，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B 與漸近線有關(guān)的問題 1若雙曲線的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為 （ ） A. 　　 B. 　　 C. 　　　 D. 【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關(guān)系 [解析] 焦點到漸近線的距離等于實軸長，故，,所以 【名師指引】雙

7、曲線的漸近線與離心率存在對應(yīng)關(guān)系,通過的比例關(guān)系可以求離心率,也可以求漸近線方程 2. 雙曲線的漸近線方程是 ( ) A. B. C. D. [解析]選C 3.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ） A． B． C． D． [解析]從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B 4，過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是 【解析】設(shè)所求雙曲線為 點（1，3）代入：.代入（1）： 即為所求. 【評注】在雙曲線中，

8、令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置. 5 設(shè)CD是等軸雙曲線的平行于實軸的任一弦，求證它的兩端點與實軸任一頂點的連線成直角. 【證明】如圖設(shè)等軸雙曲線方程為， 直線CD：y=m.代入（1）：.故有： . 取雙曲線右頂點.那么： .即∠CBD=90°. 同理可證：∠CAD=90°. 幾何 1設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ） A． B． C. D． 【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)； 于是， 故知△PF

9、1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°. ∴.選B. 求弦 1雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ） A. B. C. D. 【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有： . ∵弦中點為（2，1），∴.故直線的斜率. 則所求直線方程為：，故選C. “設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它. 但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看： 2 在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在

10、，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由. 如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法： 【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗證.由 這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件. 此外，上述解法還疏忽了一點：只有當(dāng)時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設(shè)條件. 結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線. 換遠(yuǎn)（壓軸題） 1如圖，點為雙曲線的左焦點，左準(zhǔn)線交軸于點，點P是上的一點，已知，且線段PF的中點在雙曲線的左支上. （Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若過點的直線與雙曲線的左右 兩支分別交于、兩點，設(shè)，當(dāng) 時，求直線的斜率的取值

11、范圍. 【分析】第（Ⅰ）問中，線段PF的中點M 的坐標(biāo)是主要變量，其它都是輔助變量.注意到 點M是直角三角形斜邊的中點，所以利用中點公式是設(shè)參消參的主攻方向 第（Ⅱ）中，直線的斜率是主要變量，其它包括λ都是輔助變量. 斜率的幾何意義是有關(guān)直線傾斜角θ的正切，所以設(shè)置直線的參數(shù)方程，而后將參數(shù)λ用θ的三角式表示，是一個不錯的選擇. 【解析】（Ⅰ）設(shè)所求雙曲線為：.其左焦點為F（-c。0）；左準(zhǔn)線：. 由，得P（，1）；由 FP的中點為.代入雙曲線方程： 根據(jù)（1）與（2）.所求雙曲線方程為. （Ⅱ）設(shè)直線的參數(shù)方程為：.代入得： 當(dāng)，方程

12、（3）總有相異二實根，設(shè)為. 已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，∴ ，.于是： .注意到在上是增函數(shù)， （4）代入（5）： ∵雙曲線的漸近線斜率為，故直線與雙曲線的左右兩支分別交必須 .綜合得直線的斜率的取值范圍是. 練習(xí)題 1已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1

13、 (2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2） 假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有 ，∴kl=∴l(xiāng)的方程為 y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線l不存在 2．已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 錯解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因為A（1，1）為線段PQ

14、的中點， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說明所求直線不存在。 3已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？ 解：（1）設(shè)直線AB：代

15、入得 （＊） 令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程的兩根 ∴ 且 ∵ ∴ N是AB的中點 ∴ ∴ k = 1 ∴AB方程為：y = x + 1 （2）將k = 1代入方程（＊）得 或 由得， ∴ ，∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 令，及CD中點則，， ∴， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距離相等

16、 ∴ A、B、C、D四點共圓 4. 已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，（1）求雙曲線的漸近線方程（2）直線過焦點且垂直于x軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程 [解析]（1）依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，． （2）設(shè)漸近線與直線交于A、B，則，，解得即，又， 雙曲線的方程為 5.已知是雙曲線的左，右焦點,點是雙曲線右支上的一個動點,且的最小值為,雙曲線的一條漸近線方程為. 求雙曲線的方程; [解析], ①.的一條漸進(jìn)線方程為 ②，又 ③ 由①②③得 6.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為，右頂點為. （Ⅰ）求雙

17、曲線C的方程 （Ⅱ）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且（其中為原點），求k的取值范圍 解（1）設(shè)雙曲線方程為 由已知得，再由，得 故雙曲線的方程為. （2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點得 即且. ① 設(shè)，則 ，由得， 而 . 于是，即解此不等式得 ② 由①+②得 故的取值范圍為 7 已知雙曲線C：的兩個焦點為，點P是雙曲線C上的一點，，且． （1）求雙曲線的離心率； （2）過點P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于兩點，若，，求雙曲線C的方程． （1）設(shè)，則，∵，∴， ∴． （2）由（1）知，故，從而雙曲線的漸近線方程為，

18、 依題意，可設(shè)， 由，得． ① 由，得，解得． ∵點在雙曲線上，∴， 又，上式化簡得． ② 由①②，得，從而得．故雙曲線C的方程為． X O Y 5 -5 2 · 8．已知動圓與圓C1:(x+5)2+y2=49和圓C2：(x-5)2+y2=1都外切， （1）求動圓圓心P的軌跡方程。 解：（1）從已知條件可以確定圓C1、C2的圓心與半徑。 兩圓外切可得：兩圓半徑和＝圓心距 動圓半徑r,依題意有 7＋r＝|PC1|,1＋r＝|PC2|， 兩式相減得：|PC1|－|PC2|＝6 ＜|C1C2|。 由

19、雙曲線定義得：點P的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支。 （x≥3） （2）若動圓P與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切，則動圓圓心P的軌跡是 （雙曲線右支） 若動圓P與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動圓圓心P的軌跡是 （雙曲線左支） 若把圓C1的半徑改為1，那么動圓P的軌跡是 。（兩定圓連心線的垂直平分線） 18．已知直線與雙曲線交于、點。 （1）求的取值范圍； （2）若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求實數(shù)的值； （3）是否存在這樣的實數(shù)，使、兩點關(guān)于直線對稱？若存在， 請求出的值；若不存

20、在，說明理由。 解：（1）由消去，得（1） 依題意即且（2） （2）設(shè)，，則 ∵ 以AB為直徑的圓過原點 ∴ ∴ 但 由（3）（4），， ∴ 解得且滿足（2） （3）假設(shè)存在實數(shù)，使A、B關(guān)于對稱，則直線與垂直 ∴ ，即 直線的方程為 將代入（3）得 ∴ AB中點的橫坐標(biāo)為2 縱坐標(biāo)為 但AB中點不在直線上，即不存在實數(shù)，使A、B關(guān)于直線對稱。 9．(1)橢圓C:(a＞b＞0)上的點A(1,)到兩焦點的距離之和為4, 求橢圓的方程; (2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動點, F1是左焦點, 求線段F1K的

21、中點的軌跡方程; (3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點, 當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時，那么是與點P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。 解：(1) (2)設(shè)中點為(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 T (3)設(shè)M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1 則 為定值. 10. 已知雙曲線方程為與點P(1,2), （1）求過點P（1，2）的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線 有一個交點，兩個

22、交點，沒有交點。 (2) 過點P（1，2）的直線交雙曲線于A、B兩點，若P為弦AB的中點， 求直線AB的方程； （3）是否存在直線，使Q（1，1）為被雙曲線所截弦的中點？若存在， 求出直線的方程；若不存在，請說明理由。 解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當(dāng)l的斜率 存在時，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*) (ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點 (ⅱ)當(dāng)2－k2≠0,即k≠±時 Δ=［2(k2

23、－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①當(dāng)Δ=0,即3－2k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點. ②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點. ③當(dāng)Δ＜0，即k＞時，方程(*)無解，l與C無交點. 綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點； 當(dāng)＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與C有兩個交點； 當(dāng)k＞時，l與C沒有交點. （2）假設(shè)以P為中點的弦為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－

24、x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==1 但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與有交點，所以以P為中點的弦為：. (3)假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==2 但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以

25、Q為中點的弦不存在. 11已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2） 假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有 ，∴kl=∴l(xiāng)的方程為 y= (x－

26、2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線l不存在 12已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 錯解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因為A（1，1）為線段PQ的中點， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)

27、(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說明所求直線不存在。 1.解：（1）易知 （2） 先探索，當(dāng)m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點N ,且 猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點 證明：設(shè)，當(dāng)m變化時首先AE過定點N ∴KAN=KEN ∴A、N、E三點共線 同理可得B、N、D三點共線 ∴AE與BD相交于定點 (文)解：（1）易知

28、 （2）(文) 設(shè) ∴KAN=KEN ∴A、N、E三點共線 2.解：（1） ∴NP為AM的垂直平分線， ∴|NA|=|NM| 又 ∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓 且橢圓長軸長為 ∴曲線E的方程為 （2）當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為 得 由 設(shè) 又 整理得 又 又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為 即所求的取值范圍是 3. 解：⑴設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0） （0，b）知 設(shè)，得 因為點P在橢圓上，所以 整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，,故橢圓的離心率e= ⑵由⑴知，于是F（－a，0）， Q △AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a 所以，解得a=2，∴c=1，b=， 所求橢圓方程為