新編全國通用高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題10 數(shù)列求和及綜合應用含解析

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1、【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題10 數(shù)列求和及綜合應用一、選擇題1(文)(20xx新課標文，5)設Sn是等差數(shù)列的前n項和，若a1a3a53，則S5()A5B7C9D11答案A解析考查等差數(shù)列的性質及求和公式a1a3a53a33a31，S55a35.故選A.(理)(20xx新課標文，7)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和若S84S4，則a10()A.B.C10D12答案B解析本題主要考查等差數(shù)列的通項及求和公式由題可知：等差數(shù)列an的公差d1，因為等差數(shù)列Sna1n，且S84S4，代入計算可得a1；等差數(shù)列的通項公式為ana1(n

2、1)d，則a10(101)1.故本題正確答案為B.方法點撥數(shù)列求和的類型及方法技巧(1)公式法：直接應用等差、等比數(shù)列的求和公式求和(2)錯位相減法這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，當它與原數(shù)列相加時若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和(5)分組轉化求和法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形

3、，可轉化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，可先分別求和，然后再合并2(文)設an是等比數(shù)列，函數(shù)yx2x20xx的兩個零點是a2、a3，則a1a4()A20xxB1C1D20xx答案D解析由條件得，a1a4a2a320xx.(理)已知數(shù)列an滿足an2an1an1an，nN*，且a5.若函數(shù)f(x)sin2x2cos2，記ynf(an)，則數(shù)列yn的前9項和為()A0B9 C9D1答案C解析據(jù)已知得2an1anan2，即數(shù)列an為等差數(shù)列，又f(x)sin2x2sin2x1cosx，因為a1a9a2a82a5，故cosa1cosa9cosa2cosa8cosa50，又2a12a92a22a84

4、a52，故sin2a1sin2a9sin2a2sin2a8sin2a50，故數(shù)列yn的前9項之和為9，故選C.3(20xx遼寧協(xié)作聯(lián)校三模)已知數(shù)列an的通項公式an20xxsin，則a1a2a20xx()A20xxB20xxC20xxD20xx答案C解析數(shù)列an的周期為4，且a1a2a3a420xx(sinsinsinsin2)0，又20xx45032，a1a2a20xxa1a220xxsin20xxsin20xx.4(文)已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)(xR)，且f(1)，則數(shù)列f(n)(nN*)前20項的和為()A305B315C325D335答案D解析f(1)，f(2)，f(3

5、)，f(n)f(n1)，f(n)是以為首項，為公差的等差數(shù)列S2020335.(理)設yf(x)是一次函數(shù)，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數(shù)列，則f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3)Bn(n4)C2n(2n3)D2n(n4)答案A解析設f(x)kx1(k0)，則(4k1)2(k1)(13k1)k2，f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(261)(22n1)2n23n.方法點撥解決數(shù)列與函數(shù)知識結合的題目時，要明確數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的圖象是群孤立的點，注意函數(shù)的定義域等限制條件，準確的進行條件的轉化，數(shù)列與三角函數(shù)交匯時，數(shù)列通常作為條件出現(xiàn)，去除數(shù)

6、列外衣后，本質是三角問題5(文)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且每一項都是正數(shù)，若a1、a49是2x27x60的兩個根，則a1a2a25a48a49的值為()A.B9C9D35答案B解析an是等比數(shù)列，且a1，a49是方程2x27x60的兩根，a1a49a3.而an0，a25.a1a2a25a48a49a()59，故選B.(理)(20xx江西質檢)如果數(shù)列an中，相鄰兩項an和an1是二次方程x2nxncn0(n1,2,3，)的兩個根，當a12時，c100的值為()A9984B9984C9996D9996答案C解析由根與系數(shù)關系，anan12n，則(an1an2)(anan1)2.即an2an2，a

7、1，a3，a5，和a2，a4，a6，都是公差為2的等差數(shù)列，a12，a1a22，a24，即a2k2k2，a100102，a2k12k4，a10198.c100a100a1019996.6等差數(shù)列an中，a10，公差d0，公差dN時，恒有|anA|成立，就稱數(shù)列an的極限為A，則四個無窮數(shù)列：(1)n2；n；，其極限為2的共有()A4個B3個C2個D1個答案C解析對于，|an2|(1)n22|2|(1)n1|，當n是偶數(shù)時，|an2|0，當n是奇數(shù)時，|an2|4，所以不符合數(shù)列an的極限的定義，即2不是數(shù)列(1)n2的極限；對于，由|an2|n2|，得2nN時，恒有|an2|，即2不是數(shù)列n的

8、極限；對于，由|an2|12|1log2，即對于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得nN時，恒有|an2|成立，所以2是數(shù)列的極限；對于，由|an2|，即對于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得nN時，恒有|an2|0，b4b6()2b100.(理)(20xx河南十所名校聯(lián)考)對于各項均為整數(shù)的數(shù)列an，如果aii(i1,2,3，)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列an具有“P性質”，不論數(shù)列an是否具有“P性質”，如果存在與an不是同一數(shù)列的bn，且bn同時滿足下面兩個條件：b1，b2，b3，bn是a1，a2，a3，an的一個排列；數(shù)列bn具有“P性質”，則稱數(shù)列an具有“變換P

9、性質”，下面三個數(shù)列：數(shù)列an的前n項和為Sn(n21)；數(shù)列1,2,3,4,5；數(shù)列1,2,3，11.其中具有“P性質”或“變換P性質”的有_(填序號)答案解析Sn(n21)，Sn1(n1)21(n2)，anSnSn1(n1)(n1)(n22n)(n1)(n1n2)n(n1)(n2)，又a1S10，a11112，a22422，a33932，annn2，數(shù)列an具有“P性質”；數(shù)列1,2,3,4,5排為3,2,1,5,4，則a11422，a22422，a33422，a44932，a55932，數(shù)列1,2,3,4,5具有“變換P性質”，同理可驗證數(shù)列1,2,3，11不具有“P性質”和“變換P性質

10、”方法點撥脫去新定義的外衣，將問題化為基本數(shù)學模型，用相應的知識方法解答是解決此類問題的基本方法9(20xx安徽文，13)已知數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，則數(shù)列an的前9項和等于_答案27解析考查1.等差數(shù)列的定義；2.等差數(shù)列的前n項和n2時，anan1，且a11，an是以1為首項，為公差的等差數(shù)列S99191827.10已知向量a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中Sn是數(shù)列an的前n項和，若ab，則數(shù)列的最大項的值為_答案解析ab，ab2Snn(n1)0，Sn，ann，當n2時，n取最小值4，此時取到最大值.三、解答題11(文)(20xx云南省檢測)已知等比數(shù)列an的前

11、n項和是Sn，S18S978.(1)求證：S3，S9，S6依次成等差數(shù)列；(2)a7與a10的等差中項是否是數(shù)列an中的項？如果是，是an中的第幾項？如果不是，請說明理由解析(1)證明：設等比數(shù)列an的公比為q，若q1，則S1818a1，S99a1，S18S92178.q1.S18(1q18)，S9(1q9)，S18S91q9.1q9，解得q2.S3，S6.S9(1q9).S9S3，S6S9，S9S3S3S9.S3，S9，S6依次成等差數(shù)列(2)a7與a10的等差中項等于.設a7與a10的等差中項是數(shù)列an中的第n項，則a1(2)n1，化簡得(2)(2)4，則4，解得n13.a7與a10的等差

12、中項是數(shù)列an中的第13項(理)(20xx唐山一模)設數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足(1q)Snqan1，且q(q1)0.(1)求an的通項公式；(2)若S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列解析(1)當n1時，由(1q)S1qa11，a11，當n2時，由(1q)Snqan1，得(1q)Sn1qan11，兩式相減得(1q)anq(anan1)0，anqan1，a11，q(q1)0，anqn1，綜上anqn1.(2)由(1)可知q，所以an是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列所以Sn，又S3S62S9，得，化簡得a3a62a9，兩邊同除以q得a2a52a8.故a2，a8，a5成

13、等差數(shù)列方法點撥1.在處理數(shù)列求和問題時，一定要先讀懂題意，分清題型，區(qū)分等差數(shù)列與等比數(shù)列，不是基本數(shù)列模型的注意運用轉化思想化歸為等差、等比數(shù)列，在利用分組求和時，要特別注意項數(shù)2在處理等差與等比數(shù)列的綜合問題時，先要看所給數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，再依據(jù)條件建立方程求解12(文)已知函數(shù)f(x)在(1,1)上有定義，f1，且滿足對任意x、y(1，1)，有f(x)f(y)f，數(shù)列xn中，x1，xn1.(1)證明：f(x)在(1,1)上為奇函數(shù)；(2)求數(shù)列f(xn)的通項公式；(3)求證：.分析(1)要證f(x)為奇函數(shù)，只需證明f(x)f(x)0，只需在條件式中令yx，為了求f(0)，

14、令xy0即可獲解(2)利用f(x)f(y)f()可找出f(xn1)與f(xn)的遞推關系，從而求得通項(3)由f(xn)的通項公式確定數(shù)列的求和方法，求和后利用放縮法可證明解析(1)證明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0.令yx，則f(x)f(x)f(0)0，f(x)f(x)，f(x)在(1,1)上為奇函數(shù)(2)f(x1)f1，f(xn1)ff2f(xn)，2，即f(xn)是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，f(xn)2n1.(3)22，而2.(理)在直角坐標平面上有一點列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，對于每個正整數(shù)n，點Pn均位于一次函數(shù)yx的圖象上，且P

15、n的橫坐標構成以為首項，1為公差的等差數(shù)列xn(1)求點Pn的坐標；(2)設二次函數(shù)fn(x)的圖象Cn以Pn為頂點，且過點Dn(0，n21)，若過Dn且斜率為kn的直線ln與Cn只有一個公共點，求Tn的表達式；(3)設Sx|x2xn，n為正整數(shù)，Ty|y12yn，n為正整數(shù)，等差數(shù)列an中的任一項an(ST)，且a1是ST中最大的數(shù)，225a100，q0，所以b11，因為b3和b5的等差中項是2a3，且2a310，所以b3b520，所以q2q420，解得q2，所以bn2n1.(2)由于cnanbn，所以Tna1b1a2b2anbn.Tn132522(2n1)2n12Tn2322523(2n1

16、)2n所以Tn12(2222n1)(2n1)2n12(2n1)2n322n(2n1)2n3(32n)2n，Tn3(2n3)2n.14(文)政府決定用“對社會的有效貢獻率”對企業(yè)進行評價，用an表示某企業(yè)第n年投入的治理污染的環(huán)保費用，用bn表示該企業(yè)第n年的產(chǎn)值設a1a(萬元)，且以后治理污染的環(huán)保費用每年都比上一年增加2a萬元；又設b1b(萬元)，且企業(yè)的產(chǎn)值每年比上一年的平均增長率為10%.用Pn表示企業(yè)第n年“對社會的有效貢獻率”(1)求該企業(yè)第一年和第二年的“對社會的有效貢獻率”；(2)試問從第幾年起該企業(yè)“對社會的有效貢獻率”不低于20%?解析(1)a1a，b1b，Pn，P11%，P

17、23.3%.故該企業(yè)第一年和第二年的“對社會的有效貢獻率”分別為1%和3.3%.(2)由題意，得數(shù)列an是以a為首項，以2a為公差的等差數(shù)列，數(shù)列bn是以b為首項，以1.1為公比的等比數(shù)列，ana1(n1)da(n1)2a(2n1)a，bnb1(110%)n11.1n1b.又Pn，Pn.1.11.11，Pn1Pn，即Pn單調遞增又P617.72%20%.故從第七年起該企業(yè)“對社會的有效貢獻率”不低于20%.(理)甲、乙兩大超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額都為a萬元，由于經(jīng)營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為(n2n2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多()n1a萬元(1)求甲、乙兩超

18、市第n年銷售額的表達式；(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現(xiàn)在第幾年解析(1)設甲、乙兩超市第n年銷售額分別為an、bn，又設甲超市前n年總銷售額為Sn，則Sn(n2n2)(n2)，因n1時，a1a，則n2時，anSnSn1(n2n2)(n1)2(n1)2a(n1)，故an又因b1a，n2時，bnbn1()n1a，故bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)aa()2a()n1a1()2()n1aa32()n1a，顯然n1也適合，故bn32()n1a(nN*)(2)當n2時，a2a，b2a

19、，有a2b2；n3時，a32a，b3a，有a3b3；當n4時，an3a，而bnbn，則(n1)a32()n1an164()n1，即n74()n1.又當n7時，04()n174()n1.即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購方法點撥1.用數(shù)列知識解相關的實際問題，關鍵是合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型，弄清所構造的數(shù)列的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉化為解數(shù)列問題求解時，要明確目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關系問題，所求結論對應的是一個解方程問題，還是解不等式問題，還是一個最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結果2數(shù)列的實際應用問題一般文字敘述較長，反映的事物背

20、景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應用題，首先應當提高閱讀理解能力，將普通語言轉化為數(shù)學語言或數(shù)學符號，實際問題轉化為數(shù)學問題，然后再用數(shù)學運算、數(shù)學推理予以解決3正確區(qū)分等差與等比數(shù)列模型，正確區(qū)分實際問題中的量是通項還是前n項和15(文)定義：若數(shù)列An滿足An1A，則稱數(shù)列An為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列an中，a12，點(an，an1)在函數(shù)f(x)2x22x的圖象上，其中n為正整數(shù)(1)證明：數(shù)列2an1是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列l(wèi)g(2an1)為等比數(shù)列；(2)設(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn，即Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求Tn關于n的表達式；(3)記bnl

21、og2an1Tn，求數(shù)列bn的前n項之和Sn，并求使Sn20xx成立的n的最小值解析(1)證明：由題意得an12a2an，2an114a4an1(2an1)2.所以數(shù)列2an1是“平方遞推數(shù)列”令cn2an1，所以lgcn12lgcn.因為lg(2a11)lg50，所以2.所以數(shù)列l(wèi)g(2an1)為等比數(shù)列(2)由(1)知lg(2an1)(lg5)2n1，2an110(lg5)2n152n1，Tn52052152252n1520212n152n1.(3)bnlog2an1Tn2()n1，Snb1b2bn2n2n2，由2n220xx得n1007，S1006210062(20xx,20xx)，S1

22、007210072(20xx,20xx)故使Sn20xx成立的n的最小值為1007.(理)已知曲線C：xy1，過C上一點An(xn，yn)作一斜率為kn的直線交曲線C于另一點An1(xn1，yn1)，點列An的橫坐標構成數(shù)列xn，其中x1.(1)求xn與xn1的關系式；(2)令bn，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(3)若cn3nbn(為非零整數(shù)，nN*)，試確定的值，使得對任意nN*，都有cn1cn成立分析(1)由直線方程點斜式建立xn與yn關系，而(xn，yn)在曲線xy1上，有xnyn1，消去yn得xn與xn1的關系；(2)由定義證為常數(shù)；(3)轉化為恒成立的問題解決解析(1)過點An(xn，yn)的直線方程為yyn(xxn)，聯(lián)立方程，消去y得x2x10.解得xxn或x.由題設條件知xn1.(2)證明：2.b120，數(shù)列bn是等比數(shù)列(3)由(2)知，bn(2)n，要使cn1cn恒成立，由cn1cn3n1(2)n13n(2)n23n3(2)n0恒成立，即(1)nn1恒成立當n為奇數(shù)時，即n1恒成立又n1的最小值為1，n1恒成立，又n1的最大值為，即cn.