新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第7章 立體幾何 第6節(jié) 空間向量及其運算學案 理 北師大版

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1、 1

2、 1 第六節(jié)　空間向量及其運算 [考綱傳真]1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． (對應學生用書第120頁) [基礎知識填充] 1．空間向量的有關概念 名稱 定義 空間向量 在空間中，具有大

3、小和方向的量 自由向量 數(shù)學中所討論的向量與向量的起點無關，我們稱之為自由向量 方向向量 A、B是空間直線l上任意兩點，則稱為直線l的方向向量 法向量 如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量 2.空間向量的有關定理 (1)共線向量定理：空間兩個向量a，b(b≠0)，共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb. (2)空間向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量．a(chǎn)是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底． 3．兩個向量的數(shù)量積及運算律

4、 (1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運算律： ①交換律：a·b＝b·a； ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ③(λa)·b＝λ(a·b)． 4．空間向量的坐標表示及其應用 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐標表示 數(shù)量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夾角 cos〈a，b〉(a≠0，

5、b≠0) [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(　　) (2)對任意兩個空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.(　　) (3)若a·b＜0，則〈a，b〉是鈍角．(　　) (4)若A，B，C，D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)如圖7-6-1所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) 圖7-6-1 A．－a＋b＋c

6、 B．a(chǎn)＋b＋c C．－a－b＋c D．a(chǎn)－b＋c A　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.] 3．若向量c垂直于不共線的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，則(　　) A．c∥d B．c⊥d C．c不平行于d，c也不垂直于d D．以上三種情況均有可能 B　[由題意得，c垂直于由a，b確定的平面． ∵d＝λa＋μb，∴d與a，b共面．∴c⊥d.] 4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝________. 2　[∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0， ∴x＝2，∴|b|＝＝2.] 5．已知向量

7、a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(a＋b)·(a－b)的值為________． －13　[(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝42＋(－2)2＋(－4)2－[62＋(－3)2＋22]＝－13.] (對應學生用書第121頁) 空間向量的線性運算 　如圖7-6-2所示，在空間幾何體ABCD-A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量： 圖7-6-2 (1)； (2)＋. [解]　(1)因為P是C1D1的中點， 所以＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b.

8、 (2)因為M是AA1的中點， 所以＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 因為N是BC的中點， 則＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， 所以＋＝＋ ＝a＋b＋c. [規(guī)律方法]　用基向量表示指定向量的方法 (1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形. (2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中. (3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來. [跟蹤訓練]　如圖7-6-3所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 圖7-6-3 　[連接O

9、N，設＝a，＝b，＝c， 則＝－＝(＋)－ ＝b＋c－a， ＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b＋c. 又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝， 因此x＋y＋z＝＋＋＝.] 共線、共面向量定理的應用 　(1)(20xx·佛山模擬)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，且a與b反向，則λ＋μ＝________. 【導學號：79140244】 (2)已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證： ①E，F(xiàn)，G，H四點共面； ②BD∥平面EFGH. (1)－　[∵a∥b，且a與b反向， ∴(6,

10、2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，k<0. ∴解得或 當λ＝2，μ＝時，k＝2不合題意，舍去． 當λ＝－3，μ＝時，a與b反向． 因此λ＋μ＝－3＋＝－.] (2)[證明]　 ①連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面． ②因為＝－＝－＝(－)＝，因為E，H，D，B四點不共線，所以EH∥BD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH. 所以BD∥平面EFGH. [規(guī)律方法]　1.證明點共線的方法,證明點共線問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問題，如證明A，B，C三點共線，即證明，共線，亦即證明＝λ(λ≠0). 2.證明點共面的方法,證明點

11、共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，證明＝x＋y，或?qū)臻g任一點O，有＝＋x＋y，或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可. [跟蹤訓練]　已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)． (1)判斷，，三個向量是否共面； (2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)． [解]　(1)由已知＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)． 即＝＋＝－－， ∴，，共面． (2)由(1)知，，共面且過同一點M. ∴四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內(nèi)． 空間向量數(shù)量積的應用 　如圖7-6-4所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對

12、角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點． 圖7-6-4 (1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值． [解]　(1)證明：設＝p，＝q，＝r. 由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60°. ＝－＝(＋)－ ＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p ＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴⊥，即MN⊥AB. 同理可證MN⊥CD. (2)設向量與的夾角為θ. ∵＝(＋)＝(q＋r)， ＝－＝q－p， ∴·＝(q＋r)· ＝ ＝

13、 ＝＝. 又∵||＝||＝a， ∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝. ∴cos θ＝. ∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為. [規(guī)律方法]　1.空間向量數(shù)量積計算的兩種方法 (1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)坐標法：設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 2．利用數(shù)量積可解決有關垂直、夾角、長度問題 (1)a⊥b?a·b＝0. (2)|a|＝. (3)cos〈a，b〉＝. 易錯警示：空間向量的坐標(x，y，z)有三個，在進行運算時千萬別看串了．

14、 [跟蹤訓練]　如圖7-6-5，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°. 圖7-6-5 (1)求AC1的長； (2)求AC與BD1夾角的余弦值. 【導學號：79140245】 [解]　(1)設＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴||＝，即AC1的長為. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為.