中考數(shù)學總復習 專題提升十二 以圓為背景的相似三角形的計算與證明

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1、以圓為背景的相似三角形的計算與證明 1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC的平分線與BC邊和外接圓分別相交于D和E，則圖中相似三角形共有(C) A. 1對　　 B. 2對 C. 3對　 D. 4對 (第1題圖) 　　　(第2題圖) 2．如圖，AB是半圓O的直徑，D，E是半圓上任意兩點，連結AD，DE，AE與BD相交于點C，要使△ADC與△ABD相似，可以添加一個條件．下列添加的條件其中錯誤的是(D) A. ∠ACD＝∠DAB　　 B. AD＝DE C. AD2＝BD·CD　　　　 D. AD·AB＝AC·BD 3．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上

2、一點，OQ⊥BC于點Q，過點B作半圓O的切線，交OQ的延長線于點P，PA交半圓O于R，則下列等式中正確的是(D) A. ＝　　 B. ＝ C. ＝　　　 D. ＝ (第3題圖) 　　　(第4題圖) 4．如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑，已知半徑長為4，AC＝4，AB＝6，則AD的長為(C) A. 5　　 B. 4.8 C. 3　　 D. 2 5．如圖，△ABC中，AB＝AC，O是BC上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓與AC相切于點A，過點C作CD⊥BA，垂足為D，若CD＝3，CO＝4，則AC的長為 2． (第5題圖) 　　(第6題圖)

3、 6．如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于點G，連結AE.若∠F＝60°，GF＝1，則⊙O的半徑長為 2＋3． 7．如圖，已知AD是⊙O的弦，＝，DE是⊙O的切線且與弦AB的延長線相交于點E，若AC＝3，AE＝8，則AD的長為2____． (第7題圖) 　　　(第8題圖) 8．如圖，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，則⊙O的半徑長為． 9．如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點，連結OB，且OB＝6，過點

4、B作⊙O的切線BD，切點為D，延長BO交⊙O于點A，過點A作切線BD的垂線，垂足為C.則AC的長為 ． (第9題圖) 　　　(第10題圖) 10．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC，BC相切于點E，F(xiàn)，與AB分別交于點G，H，且EH的延長線和CB的延長線交于點D，則CD的長為 a． (第11題圖) 11．如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點F，交⊙O于點E，連結CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC. (1)求證：直線CD為⊙O的切線． (2)若AB＝5，BC＝4，求線段CD的長． (第11題圖解) 解：

5、(1)證明：如解圖，連結OC. ∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC， ∴∠CBA＝∠ODC. 又∵∠CFD＝∠BFO， ∴∠DCB＝∠BOF. ∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B. ∵∠B＋∠BOF＝90°， ∴∠OCF＋∠DCB＝∠OCD＝90°， ∴直線CD為⊙O的切線． (2)如解圖，連結AC. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°， ∴∠DCO＝∠ACB. 又∵∠D＝∠B，∴△OCD∽△ACB. ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3， ∴＝，即＝， 解得CD＝. 12．已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊

6、BC相交于點F，⊙O的切線DE與邊AB相交于點E，且AE＝3EB. (1)求證：△ADE∽△CDF. (2)當CF∶FB＝1∶2時，求⊙O與?ABCD的面積之比． (第12題圖) 解：(1)證明：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC＝90°. ∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥DC， ∴∠EDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF. 又∵∠A＝∠C， ∴△ADE∽△CDE. (2)∵CF∶FB＝1∶2， ∴設CF＝x，F(xiàn)B＝2x，則BC＝3x. ∵AE＝3

7、EB， ∴設EB＝y(tǒng)，則AE＝3y，AB＝4y. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC＝3x，AB＝DC＝4y. ∵△ADE∽△CDF， ∴＝，∴＝， ∵x，y均為正數(shù)，∴x＝2y， ∴BC＝6y，CF＝2y， 在Rt△DFC中，∠DFC＝90°， 由勾股定理得：DF＝＝＝2y， ∴⊙O的面積為π·＝π·DC2＝π(4y)2＝4πy2， 四邊形ABCD的面積為BC·DF＝6y·2y＝12y2， ∴⊙O與四邊形ABCD的面積之比為4πy2∶12y2＝π∶3. 13．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經過A，B，D三點，過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，連結

8、ED. (1)求證：ED∥AC. (2)若BD＝2CD，設△EBD的面積為S1，△ADC的面積為S2，且S12－16S2＋4＝0，求△ABC的面積． (第13題圖) 解(1)證明：∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠E＝∠BAD，∴∠E＝∠DAC. ∵BE∥AD， ∴∠E＝∠EDA，∴∠EDA＝∠DAC， ∴ED∥AC. (2)∵BE∥AD， ∴∠EBD＝∠ADC. 又∵∠BED＝∠DAC， ∴△EBD∽△ADC，且相似比k＝＝2， ∴＝k2＝4，即S1＝4S2， ∵S12－16S2＋4＝0，∴16S22－16S2＋4＝0， 即(4S2

9、－2)2＝0，解得S2＝. ∵＝＝＝＝3， ∴S△ABC＝. 14．已知AB是圓O的切線，切點為B，直線AO交圓O于C，D兩點，CD＝2，∠DAB＝30°，動點P在直線AB上運動，PC交圓O于另一點Q. (1)當點P運動到使Q，C兩點重合時(如圖①)，求AP的長． (第14題圖) (2)點P在運動過程中，有幾個位置(幾種情況)使△CQD的面積為？(直接寫出答案) (3)當△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時(如圖②)，求AP的長． 解：(1)∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO＝90°. ∵∠DAB＝30°，OB＝CD＝1， ∴AO＝2OB＝2，

10、AC＝AO－CO＝2－1＝1. 當Q，C兩點重合時，CP與⊙O相切于點C，如解圖①， 則有∠ACP＝90°， ∴cos∠CAP＝＝＝， 解得AP＝. (2)有4個位置使△CQD的面積為. 設點Q到CD的距離為h， ∵S△CQD＝CD·h＝×2·h＝，∴h＝. 由于h＝<1，結合解圖②可得： 有4個位置使△CQD的面積為. (3)過點Q作QN⊥CD于N，過點P作PM⊥CD于M，如解圖③. ∵S△CQD＝CD·QN＝×2·QN＝，∴QN＝. ∵CD是⊙O的直徑，QN⊥CD， ∴∠CQD＝∠QND＝∠QNC＝90°， ∴∠CQN＝90°－∠NQD＝∠NDQ， ∴△QNC∽△DNQ， ∴＝，∴QN2＝CN·DN. 設CN＝x，則有＝x， 整理得4x2－8x＋1＝0，解得：x1＝，x2＝. ∵CQ＞QD，∴x＝，∴＝2＋. ∵QN⊥CD，PM⊥CD， ∴∠PMC＝∠QNC＝90°. ∵∠MCP＝∠NCQ， ∴△PMC∽△QNC， ∴＝＝2＋， ∴MC＝(2＋)MP. 在Rt△AMP中， tan∠MAP＝＝tan 30°＝， ∴AM＝MP. ∵AC＝AM＋MC＝MP＋(2＋)MP＝1， ∴MP＝， ∴AP＝2MP＝. (第14題圖解) 9 學習是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改