《新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第4節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案 文 北師大版(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
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2、 1
第四節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入
[考綱傳真] 1.理解復數(shù)的概念,理解復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.
(對應(yīng)學生用書第63頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.復數(shù)的有關(guān)概念
(1)復數(shù)的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復數(shù),其中a叫做復數(shù)z的實數(shù),b叫做復數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).
(2)分類
3、:
滿足條件(a,b為實數(shù))
復數(shù)的分類
a+bi為實數(shù)?b=0
a+bi為虛數(shù)?b≠0
a+bi為純虛數(shù)?a=0且b≠0
(3)復數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R).
(4)共軛復數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)復數(shù)的模:設(shè)復數(shù)z=a+bi在復平面內(nèi)對應(yīng)的點是Z(a,b),點Z到原點的距離|OZ|叫作復數(shù)z的模式絕對值.即|z|=|a+bi|=.
2.復數(shù)的幾何意義
復數(shù)z=a+bi復平面內(nèi)的點Z(a,b) 平面向量=(a,b).
3.復數(shù)的四則運算
設(shè)z1=a+bi,z2=c+d
4、i,a,b,c,d∈R.則
z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
==+i(c+di≠0).
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.( )
(2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念,因此復數(shù)可以比較大?。? )
(3)實軸上的點表示實數(shù),虛軸上的點都表示純虛數(shù).( )
(4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離,也就是復數(shù)對應(yīng)的向量的模. (
5、 )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(教材改編)如圖4-4-1,在復平面內(nèi),點A表示復數(shù)z,則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是( )
圖4-4-1
A.A B.B
C.C D.D
B [共軛復數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱.]
3.(20xx·全國卷Ⅲ)復平面內(nèi)表示復數(shù)z=i(-2+i)的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C [∵z=i(-2+i)=-1-2i,∴復數(shù)z=-1-2i所對應(yīng)的復平面內(nèi)的點為Z(-1,-2),位于第三象限.
故選C.]
4.(20xx·北京高考)復數(shù)=( )
6、
A.i B.1+i
C.-i D.1-i
A [法一:===i.
法二:===i.]
5.復數(shù)i(1+i)的實部為________.
-1 [i(1+i)=-1+i,所以實部為-1.]
(對應(yīng)學生用書第64頁)
復數(shù)的有關(guān)概念
(1)(20xx·全國卷Ⅲ)若z=4+3i,則=( )
A.1 B.-1
C.+i D.-i
(2)i是虛數(shù)單位,若復數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為________.
(1)D (2)-2 [(1)∵z=4+3i,∴=4-3i,|z|==5,
∴==-i.
(2)由(1-2i)(
7、a+i)=(a+2)+(1-2a)i是純虛數(shù)可得a+2=0,1-2a≠0,解得a=-2.]
[規(guī)律方法] 1.復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模,共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關(guān),所以解答與復數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時,需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據(jù)題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可.
2.求復數(shù)模的常規(guī)思路是利用復數(shù)的有關(guān)運算先求出復數(shù)z,然后利用復數(shù)模的定義求解.
[變式訓練1] (1)(20xx·合肥二次質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z=的虛部為
( ) 【導學號:00090142】
A.- B.-
C. D.
8、
(2)設(shè)z=+i,則|z|=( )
A. B.
C. D.2
(1)D (2)B [(1)復數(shù)z====+i,則其虛部為,故選D.
(2)z=+i=+i=+i,|z|==.]
復數(shù)代數(shù)形式的四則運算
(1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知復數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=( )
A.-2-i B.-2+i
C.2-i D.2+i
(2)(20xx·天津高考)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若(1+i)(1-bi)=a,則的值為________.
(1)C (2)2 [(1)∵(z-1)i=i+1,∴z-1==1-i,
∴z=2-i,故選
9、C.
(2)∵(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,∴1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,∴=2.]
[規(guī)律方法] 1.復數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算,除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù),注意要把i的冪寫成最簡形式.
2.記住以下結(jié)論,可提高運算速度
(1)(1±i)2=±2i;(2)=i;(3)=-i;(4)-b+ai=i(a+bi);(5)i4n=1;
i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(n∈N).
[變式訓練2] (1)已知=1+i(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z=( )
【導學號:00090143】
10、
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
(2)已知i是虛數(shù)單位,8+2 018=________.
(1)D (2)1+i [(1)由=1+i,得z====-1-i,故選D.
(2)原式=8+1 009
=i8+1 009=i8+i1 009
=1+i4×252+1=1+i.]
復數(shù)的幾何意義
(1)(20xx·北京高考)若復數(shù)(1-i)(a+i)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
(2)設(shè)復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對
11、稱,z1=2+i,則z1z2=( )
A.-5 B.5
C.-4+i D.-4-i
(1)B (2)A [(1)∵(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,
又∵復數(shù)(1-i)(a+i)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,
∴解得a<-1.
故選B.
(2)∵z1=2+i在復平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標為(2,1),又z1與z2在復平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,則z2的對應(yīng)點的坐標為(-2,1)即z2=-2+i,
∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.]
[規(guī)律方法] 1.復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.
2.由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀.
[變式訓練3] (20xx·鄭州二次質(zhì)檢)定義運算=ad-bc,則符合條件=0的復數(shù)z對應(yīng)的點在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A [由題意得z×1-2(1+i)=0,則z=2+2i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,2),位于第一象限,故選A.]