新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第6節(jié)　正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

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1、 1 1第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)用正、余弦定理解三角形1、5、8、9、11與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題2、4判斷三角形的形狀3、10實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題7、15綜合應(yīng)用6、12、13、14、16A組一、選擇題1.(20xx廣東湛江十校聯(lián)考)在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,已知b=2,B=30,C=15,則a等于(A)(A)22(B)23(C)6-2(D)4解析:A=180-30-15=135,由正弦定理asinA=bsinB,得a22=212,即a=22.故選A.2.(20xx潮州二模)在ABC中,A=3,AB=2,且ABC

2、的面積為32,則邊AC的長(zhǎng)為(A)(A)1(B)3(C)2(D)2解析:SABC=12ABACsin A=122ACsin3=32,AC=1.故選A.3.(20xx湛江高考測(cè)試(二)若三條線段的長(zhǎng)分別為3,5,7,則用這三條線段(C)(A)能組成直角三角形(B)能組成銳角三角形(C)能組成鈍角三角形(D)不能組成三角形解析:依題意得,注意到任意兩邊之和均大于第三邊,因此,它們能夠構(gòu)成三角形,邊長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的內(nèi)角的余弦等于32+52-722350,故cos A=12.答案:1210.在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,則ABC的形狀為

3、.解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.cos A=0或sin A=sin B.0A、B,A=2或A=B,ABC為直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答題11.(20xx廣東六校第二次質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD中,AB=5,AD=3,cos A=45,BCD是等邊三角形.(1)求四邊形ABCD的面積;(2)求sin ABD.解:(1)由題意及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=10,cos A=45,sin A=35.四邊形ABCD的面積S=SAB

4、D+SBCD=12ABADsin BAD+12BD2sin DBC=9+532.(2)由正弦定理得ADsinABD=BDsinA,sin ABD=ADBDsin A=91050.12.(20xx深圳市二調(diào))在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.(1)求角C的大小;(2)求sin(B+3)的值.解:(1)由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=32+52-72235=-12,0C,C=23.(2)由正弦定理可得bsinB=csinC,sin B=bsinCc=5sin 237=5314,C=23,B為銳角,cos B=1-sin2B=1-(5314

5、)2=1114,sin(B+3)=sin Bcos 3+cos Bsin 3=531412+111432=437.B組13.(高考新課標(biāo)全國(guó)卷)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b等于(D)(A)10(B)9(C)8(D)5解析:由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=125,又因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以cos A=15.在ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b615,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-135(舍去),故選D.14.在ABC中,設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若

6、a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且ab,則B=.解析:由ab,得ab=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因?yàn)閟in A0,故cos B=12,因此B=3.答案:315.如圖所示,A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75,30,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60,AC=0.1

7、 km.(1)試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離會(huì)相等?(2)求B、D的距離.解:(1)如圖所示,在ADC中, DAC=30,ADC=60-DAC=30,CD=AC=0.1 km,又BCD=180-60-60=60,CED=90,CB是CAD底邊AD的中垂線,BD=BA.(2)在ABC中,ABC=75-60=15,由正弦定理得ABsinBCA=ACsinABC,AB=0.1sin60sin15=32+620(km),BD=32+620(km).故B、D間的距離是32+620km.16.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan A

8、tan C.(1)求證:a,b,c成等比數(shù)列;(2)若a=1,c=2,求ABC的面積S.(1)證明:在ABC中,sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,sin BsinAcosA+sinCcosC=sinAcosAsinCcosC,sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,A+C=-B,sin(A+C)=sin B,sin2 B=sin Asin C,由正弦定理得,b2=ac,a,b,c成等比數(shù)列.(2)解:a=1,c=2,b2=ac=2,b=2,cos B=a2+c2-b22ac=12+22-2212=34,0B,sin B=1-cos2B=1-342=74.ABC的面積S=12acsin B=121274=74.