新版高考數學一輪復習學案訓練課件： 第2章 函數、導數及其應用 第3節(jié) 函數的奇偶性、周期性與對稱性學案 理 北師大版

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1、 1 1第三節(jié)函數的奇偶性、周期性與對稱性考綱傳真(教師用書獨具)1.了解函數奇偶性的含義.2.會運用基本初等函數的圖像分析函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性(對應學生用書第13頁)基礎知識填充1奇函數、偶函數圖像關于原點對稱的函數叫作奇函數在奇函數f(x)中，f(x)和f(x)的絕對值相等，符號相反即f(x)f(x)，反之，滿足f(x)f(x)的函數一定是奇函數圖像關于y軸對稱的函數叫作偶函數在偶函數f(x)中，f(x)f(x)，反之，滿足f(x)f(x)的函數一定是偶函數2奇(偶)函數的性質(1)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同；偶函數

2、在關于原點的區(qū)間上的單調性相反(填“相同”“相反”)(2)在公共定義域內兩個奇函數和函數是奇函數，兩個奇函數的積函數是偶函數兩個偶函數的和函數、積函數是偶函數一個奇函數，一個偶函數的積函數是奇函數(3)若函數f(x)是奇函數且x0處有定義，則f(0)0.3函數的周期性(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在非零常數T，對定義域內的任意一個x，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫作f(x)的最小正周期4函數的對稱性常見的結論(1)函數yf(x)關于x對稱f(ax)

3、f(bx)f(x)f(bax)特殊：函數yf(x)關于xa對稱f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函數yf(x)關于x0對稱f(x)f(x)(即為偶函數)(2)函數yf(x)關于點(a，b)對稱f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函數yf(x)關于點(a,0)對稱f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函數yf(x)關于(0,0)對稱f(x)f(x)0(即為奇函數)(3)yf(xa)是偶函數函數yf(x)關于直線xa對稱；yf(xa)是奇函數函數yf(x)關于點(a,0)對稱知識拓展1函數奇偶性常用結論(1)若奇函數f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)如

4、果函數f(x)是偶函數，那么f(x)f(|x|)(3)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性(4)yf(xa)是奇函數，則f(xa)f(xa)；yf(xa)是偶函數，則f(xa)f(xa)2函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0)(2)若f(xa)，則T2a(a0)(3)若f(xa)，則T2a(a0)基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數yx2，x(0，)是偶函數()(2)偶函數圖像不一定過原點，奇函數的圖像一定過原點()(3)若函數yf(xa)是

5、偶函數，則函數yf(x)關于直線xa對稱()(4)若函數yf(xb)是奇函數，則函數yf(x)關于點(b,0)中心對稱()(5)函數f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數，那么ab的值是()AB.C.DB依題意b0，且2a(a1)，b0且a，則ab.3(教材改編)下列函數為偶函數的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2xDD中，f(x)2x2xf(x)，f(x)為偶函數4已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，則f(

6、8)的值為()A1B0C1D2Bf(x)為定義在R上的奇函數，f(0)0，又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.5(20xx全國卷)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x(，0)時，f(x)2x3x2，則f(2)_.12法一：令x0，則x0.f(x)2x3x2.函數f(x)是定義在R上的奇函數，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.法二：f(2)f(2)2(2)3(2)212.(對應學生用書第14頁)函數奇偶性的判斷判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)ln(x)；(3)f(x)(x1)；(4)f(x)解(1)由得x1，f(x)的定義域為1,1

7、又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)f(x)f(x)既是奇函數又是偶函數(2)f(x)的定義域為R，f(x)(lnx)lnln(x)f(x)，f(x)為奇函數(3)由0可得函數的定義域為(1,1函數定義域不關于原點對稱，函數為非奇非偶函數(4)易知函數的定義域為(，0)(0，)，關于原點對稱，又當x0時，f(x)x2x，則當x0時，x0，故f(x)x2xf(x)；當x0時，f(x)x2x，則當x0時，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數是偶函數規(guī)律方法判斷函數奇偶性的三種常用方法(1)定義法(2)圖像法(3)性質法在公共定義域內有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇跟蹤訓

8、練(1)(20xx深圳二調)下列函數中，既是偶函數又在(0,1)上單調遞增的是()Aycos xByCy2|x|Dy|lg x|(2)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數B|f(x)|g(x)是奇函數Cf(x)|g(x)|是奇函數D|f(x)g(x)|是奇函數(1)C(2)C(1)由于對應函數是偶函數，可以排除選項B，D；對應函數在(0,1)上單調遞增，可以排除選項A；y2|x|是偶函數，又在(0,1)上單調遞增，選項C正確，故選C.(2)A：令h(x)f(x)g(x)，則h(x)f(x)g(x)f(x

9、)g(x)h(x)，h(x)是奇函數，A錯B：令h(x)|f(x)|g(x)，則h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函數，B錯C：令h(x)f(x)|g(x)|，則h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函數，C正確D：令h(x)|f(x)g(x)|，則h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函數，D錯函數的周期性(1)若函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0x1時，f(x)4x，則ff(2)_. 【導學號：79140031】(2)已知定義在R上的函數滿足

10、f(x2)，x(0,2時，f(x)2x1.則f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值為_(1)2(2)1 347(1)f(x)是周期為2的奇函數，fff42，f(2)f(0)0，ff(2)202.(2)f(x2)，f(x4)f(x)，函數yf(x)的周期T4.又x(0,2時，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 019)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(50441)f(50442)f(50443)5041311 347. 規(guī)律方法(1)判斷函數的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周

11、期性常與函數的其他性質綜合命題.,(2)根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(kZ且k0)也是函數的周期.跟蹤訓練已知函數f(x)是周期為2的奇函數，當x(0,1時，f(x)lg(x1)，則flg 18_.1由函數f(x)是周期為2的奇函數，得fffflglg，故flg 18lglg 18lg 101.函數性質的綜合應用角度1單調性與奇偶性結合(20xx全國卷)函數f(x)在(，)單調遞減，且為奇函數若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()A2,2B1,1C0,4D1,3Df(x)為奇函數，f(x)f(x

12、)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)單調遞減，1x21，1x3.故選D.角度2奇偶性與周期性結合(20xx山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x4)f(x2)若當x3,0時，f(x)6x，則f(919)_.6f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期為6的周期函數，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定義在R上的偶函數，f(1)f(1)6，即f(919)6.角度3單調性、奇偶性與周期性結合(1)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,

13、2上是增函數，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)(2)已知定義在實數上的偶函數f(x)滿足：f(x4)f(x)f(2)，當x0,2時，yf(x)遞減，下列四個命題中正確命題的序號是_f(2)0；x4是yf(x)圖像的一條對稱軸；yf(x)在8,10單增；f(x)是周期函數；若方程f(x)m在6，2上有兩根x1，x2，則x1x28.(1)D(2)(1)因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(1

14、1)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數，f(x)在R上是奇函數，所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)(2)令x2得f(24)f(2)f(2)，解得f(2)0，故f(x4)f(x)，所以f(x)的周期為4，又f(x)為偶函數，y軸是f(x)的對稱軸，故x4是yf(x)的一條對稱軸，由函數的對稱性和周期可判斷yf(x)在8,10上單調遞增，因6，2為f(x)的一個周期，x4為f(x)在6，2上的對稱軸，故x1x28，因此正確，錯誤規(guī)律方

15、法函數性質綜合應用問題的常見類型及解題方法(1)函數單調性與奇偶性結合.注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖像的對稱性.(2)周期性與奇偶性結合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.(3)周期性、奇偶性與單調性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解.)跟蹤訓練(1)(20xx天津高考)已知奇函數f(x)在R上是增函數若af，bf(log2 4.1)，cf(20.8)，則a，b，c的大小關系為()AabcBbacCcbaDcalog24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.故選C.(2)由題意得f(x4)f(2(x2)f(x)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，函數f(x)以8為周期，f(2 017)f(1)1，故選B.(3)函數yf(x)的圖像關于直線x2對稱，f(2x)f(2x)，f(3)f(1)3，又yf(x)是偶函數，f(1)f(1)3.