新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題4.1 立體幾何 全國高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講

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1、 1

2、 1 【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點聚焦】 對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用A、B、C表示）． 內(nèi) 容 要 求 A B C 空間幾何體 柱、錐、臺、球及其簡單組合體　　 √ 柱、錐、臺、球的表面積和體積　　 √ 點、線、面 之間的位置關(guān)系 平面及其基本性質(zhì)　　 √ 直線與平面

3、平行、垂直的判定及性質(zhì)　　 √ 兩平面平行、垂直的判定及性質(zhì)　　 √ 一.空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖及表面積與體積 1.【原題】（必修2第15頁練習(xí)第4題）如圖是一個幾何體的三視圖，想象它的幾何結(jié)構(gòu)特征， 并說出它的名稱． 俯視圖 【原題解讀】（1）知識上；需要明確三視圖的原則即；主俯長對正，主側(cè)高對齊，俯側(cè)寬相等。 （2）思路方法上；需要經(jīng)歷由三視圖對原幾何體的直觀想象，操作確認(rèn)（由三視圖畫出直觀圖），思辨論證（由所畫的直觀圖，再看是否能獲得對應(yīng)的三視圖）。 （3）考察空間想象能力及推理論證能力。 變式.【20xx湖北高考】 在如圖所示的空間直

4、角坐標(biāo)系中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】設(shè)， 在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個點， 根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②，故選D. 2. 【原題】（必修2第28頁習(xí)題1.3第3題） 如圖將一個長方體沿相鄰三 個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比。 【原題解

5、讀】本題以最為熟悉的幾何體長方體為背景，進行截取并求體積?？刹捎? 分解的思想，即求出長方體和三棱錐的體積，而剩下體積可減出。從而 求出體積比。體現(xiàn)了基本運算能力、空間想象能力和分解與組合的思想。 變式.【20xx高考新課標(biāo)2】一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( ) A． B． C． D． 【答案】D 3.【原題】（必修2第29習(xí)題1.3 B組1）如圖是一個獎杯的三視圖，是根據(jù)獎杯的三視圖計算它的表面積和體積（尺寸如圖，單位：cm，π取3.14

6、，結(jié)果分別精確到1cm2，1cm3，可用計算器）。 【解析】由三視圖畫出獎杯的草圖如圖可知， 可知球的直徑為4cm，則球的半徑R為2cm， 所以球的表面積和體積分別為： S球=4π =4π?22=16π（），V球=43πR3=43π?23=323π（）． 而四棱柱（長方體）的長為8cm，寬為4cm，高為20cm， 所以四棱柱（長方體）的表面積和體積分別為： S四棱柱=（8×4+4×20+8×20）×2=272×2=544，V四棱柱=8×4×20=640。 該四棱臺的高為2cm，上底面為一個邊長為12cm的正方形，下底面為邊長為20cm的正方形．四棱臺的表面積等于四棱臺的

7、四個側(cè)面積與上、下底面面積的總和．所以關(guān)鍵的是求出四棱臺四個側(cè)面的面積，我們先求出四棱臺ABCD面上的斜高，過點A作AE⊥CD，AO垂直底面于點O，連接OE，已知AO=2cm，則AE為四棱臺ABCD面上的斜高：∴AE=20-1222+22=25cm，所以四棱臺的表面積和體積分別為： 【原題解讀】：本題在考察三視圖的同時，進而要求計算常見幾何體的體積和表面積，而題中幾何體由常見幾何體組合而成，可采用分解的思想，化為基本幾何體體積和表面積的和來計算。注意算表面積時，幾何體接觸部分需減去。 變式.【20xx高考課標(biāo)1】圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖

8、中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 4. 【原題】（必修2第37復(fù)習(xí)參考題B組2）一個長、寬、高分別是80 cm、60 cm、55cm的水槽中有水200000.線放入一個直徑為50 cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會從水槽中流出？ 【解析】水槽的容積V=80×60×55=264000(cm3)， 木球的體積，， ∴水不會從水槽中流出． 【原題解讀】本題以物理中漂浮

9、現(xiàn)象為背景，需要我們分析出利用體積，即水槽中水的體積加球體水中部 分的體積之和與長方體體積比較，來解答。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識與運算能力。 同時可延伸拓展 為球體與多面體內(nèi)接域外切問題. 變式.【20xx高考課標(biāo)2】已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=900,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 二.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.【原題】（必修2第47頁例題3）　如圖，已知正方體

10、ABCD—A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？ (2)直線BA′和CC′的夾角是多少？ (3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？ 【解析】(1) 由 異面直線的定義可知， 棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線． (2) 由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°， 所以直線BA′和CC′的夾角為45°. (3) 直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直． 【原題解讀】 （1）知識上；需要明確異面直線所成角的定

11、義。 （2）思路方法上；異面直線所成角問題主要分三步；“找”、“證”、“算”，即；先要通過對空間幾何環(huán)境的觀察發(fā)現(xiàn)異面直線所成的角（對應(yīng)的平面角），然后回到定義進行證明，最后進行角的計算（一般放到三角形中）。 （3）考察空間想象能力及推理論證和計算能力，轉(zhuǎn)化思想。 變式. 【20xx高考四川】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 【答案】 【解析】 如圖建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè) ， 則， 2.【原題】（必修2第49頁例題4）

12、下列命題中正確的個數(shù)是 (　　) ①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α； ②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行； ③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行； ④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點． A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 如圖借助長方體模型來看命題是否正確． 命題①不正確，相交時也符合； 命題②不正確，如右圖中，A′B與平面DCC′D′平行， 但它與CD不平行；命題③不正確，另一條直線有可能 在平面內(nèi)，如AB∥CD，AB與平

13、面DCC′D′平行，但直線CD在平面DCC′D′內(nèi)； 命題④正確，l與平面α平行，則l與平面α無公共點，l與平面α內(nèi)所有直線都 沒有公共點． 【原題解讀】 （1）知識上：線與面平行的判定定理； （2）思路方法上；通過對判定定理中關(guān)鍵條件的辨析，（如“無數(shù)”與“任意”）加深對判定定理的理解。在命題真假判定中注意運用幾何模型，假的可舉出反例。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和建模思想。 變式.【20xx高考廣東】若空間中四條直線兩兩不同的直線...，滿足，，，則下列結(jié)論一定正確的是( ) A. B. C. .既不平行也不垂直 D..的位

14、置關(guān)系不確定 【答案】D 三.直線、平面平行的判斷及其性質(zhì) 1.【原題】（必修2第59頁例題3）如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′. (1)要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？ (2)所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？ 【解析】 (1)如圖，在平面A′C′內(nèi)，過點P作直線EF， 使EF∥B′C′，并分別交棱A′B′，C′D′于點E，F(xiàn). 連接BE，CF. 則EF、BE、CF就是應(yīng)畫的線． 【原題解讀】 （1）知識上：線與面平行的判定定理； （2）思路方法上；通過題目中的條件和幾何環(huán)境，利用線面平行的判定定理（平面外的

15、一條直線只要和平面內(nèi)的任一條直線平行，則就可以得到這條直線和這個平面平行）。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想。 變式.【20xx新課標(biāo)2】 如圖,長方體中 AB=16,BC=10,,點E,F分別在 上,過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. （I）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法與理由）； （II）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值. 【答案】（I）見解析（II） 或 【解析】（I）利用平面與平面平行的性質(zhì)，可在圖中畫出這個正方形；交線 圍成的正方形EFGH如圖所示； （Ⅱ）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=1

16、2， EM=AA1=8．因為EFGH為正方形，所以EH=EF=BC=10， 于是,AH=10，HB=6． 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為 四.直線、平面垂直的判定和性質(zhì) 1.【原題】（必修2第66頁例題2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中.求直線A1B和平面A1B1CD所成的角. 【原題解讀】（1）知識上；需要明確直線與平面所成角的定義。 （2）思路方法上；解決直線與平面所成角問題主要分三步；“找”、“證”、“算”，即；先要通過定義找垂線，看射影（轉(zhuǎn)化為斜線與射影所成的平面角），然后回到定義進行證明，最后進行角的計算（一般放到三角形中）。

17、 （3）考察空間想象能力及推理論證和計算能力，轉(zhuǎn)化思想。 變式1.【20xx高考湖南】（本小題滿分12分）如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點。 （I）證明：平面平面； （II）若直線與平面所成的角為， 求三棱錐的體積。 【答案】（I）略；(II) . 變式2. 【20xx高考新課標(biāo)2】如圖，長方體中,，，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形． （Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）． 源: 2.【原題】（必修2第69頁例題3

18、）如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點， 求證：平面PAC⊥平面PBC. 【原題解讀】 （1）知識上：線與面平行的判定定理； （2）思路方法上；通過題目中的條件和幾何環(huán)境，利用線面平行的判定定理（平面外的一條直線只要和平面內(nèi)的任一條直線平行，則就可以得到這條直線和這個平面平行）。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想。 變式1. 【20xx江蘇高考】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點，已知， 求證（1）直線平面； （2）平面平面. 【答案】（I）略；(II)見解析 變式2．【20xx高考新課標(biāo)1】如圖，，

19、四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°， E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 【解析】 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=， ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸， y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz， 由（Ⅰ）可得A（0

20、，－，0），E(1,0, )，F(xiàn)（－1,0，）， C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，） 故.，所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 3.【原題】（必修2第79頁復(fù)習(xí)參考題B組1題）如圖，邊長為2的正方形ABCD中， (1)點E是AB的中點，點F是BC的中點，將分別沿DE， DF折起， 使A，C兩點重合與，求證：. (2) 當(dāng)時，求三棱錐體積. 【原題解讀】 （1）知識上：線與面垂直的判定定理、體積運算及折疊問題； （2）思路方法上；通過平面圖形的折疊，構(gòu)造幾何體，再提出問題。需注意圖形折疊中幾何性質(zhì)的變與不變（隱含條件的挖掘），然后利用線面垂直的判定

21、定理（平面外的一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則該直線垂直與此平面。即由線與線垂直推出線與面垂直）。體積計算關(guān)鍵是底面和高的認(rèn)定。 （3）考察邏輯推理能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想及運算能力。 變式1.【20xx高考陜西】如圖1，在直角梯形中，，是的中點，是與的交點，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐. (I)證明：平面； (II)當(dāng)平面平面時，四棱錐的體積為，求的值. 【答案】(I) 證明略，詳見解析；(II) . 【解析】(I)在圖1中，因為，是的中點，所以，即在圖2中，， 從而平面 又，所以平面. 變式2.【20xx福建高考】在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面

22、平面，如圖. （1）求證： ； （2）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)見解析; (2) 【解析】：(1)因為平面,平面平面平面 所以平面又平面所以. 即直線與平面所成角的正弦值為. 【感受高考】 1. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示： 是一個球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個扇形面

23、積之和 故選A． 2. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 考點：平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角. 3.【20xx高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

24、 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意知，．故選C． 4. 【20xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，，，，則的最大值是（ ） （A）4π （B） （C）6π （D） 【答案】B 【解析】 5.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號） 【答案】②③④ 【解析】

25、試題分析：對于①，，則的位置關(guān)系無法確定，故錯誤；對于②,因為，所以過直線作平面與平面相交于直線，則，因為，故②正確；對于③，由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確；對于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④. 6.【20xx高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分為12分）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（I）見解析（II） 【解析】 試題解析：（I）由已知可得,,所以平面． 又平面,

26、故平面平面． （II）過作,垂足為,由（I）知平面． 以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由（I）知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,． 由已知,,所以平面． 又平面平面,故,． 由,可得平面,所以為二面角的平面角, ．從而可得． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可取． 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可?。畡t． 故二面角的余弦值為． 7.【20xx高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線. （I）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 試題解析： 由題意得，，過點作于點， 所以 可得 故. 設(shè)是平面的一個法向量. 由 可得 可得平面的一個法向量 因為平面的一個法向量 所以. 所以二面角的余弦值為. 從而，可得 所以二面角的余弦值為. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org