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第八章 立體幾何
第1講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖
一、選擇題
1. 下列四個(gè)幾何體中，幾何體只有主視圖和左視圖相同的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
解析 由幾何體分析知②④中主視圖和左視圖相同．
答案 D
2．以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是 ( )．
A．球的三視圖總是三個(gè)全等的圓
B．正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形
C．水平放置的正四面體的三
2、視圖都是正三角形
D．水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓
解析 畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對(duì)于球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個(gè)全等的圓．
答案 A
3．將正方體(如圖(a)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖(b)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為 ( )．
解析 還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線．
答案 B
4．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( )．
解析 A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.
答案 D
5
3、．一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于( )．
A.a2 B．2a2 C.a2 D.a2
解析 根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積等于＝2a2.故選B.
答案 B
6．一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是 ( )．
解析 選項(xiàng)C不符合三視圖中“寬相等”的要求．
答案 C
二、填
4、空題
7.如圖所示，E、F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是________(填序號(hào))．
解析 B在面DCC1D1上的投影為C，F(xiàn)、E在面DCC1D1上的投影應(yīng)分別在邊CC1和DD1上，而不在四邊形的內(nèi)部，故①③④錯(cuò)誤．
答案 ②
8．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為________．
解析 (構(gòu)造法)由主視圖和俯視圖可知幾何體是
正方體切割后的一部分(四棱錐C1- ABCD)，還原
在正方體中，如圖所示．多
5、面體最長(zhǎng)的一條棱即
為正方體的體對(duì)角線，如圖即AC1.由正方體棱長(zhǎng)
AB＝2知最長(zhǎng)棱AC1的長(zhǎng)為2.
答案 2
9．利用斜二測(cè)畫法得到的：
①三角形的直觀圖一定是三角形；
②正方形的直觀圖一定是菱形；
③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；
④菱形的直觀圖一定是菱形．
以上正確結(jié)論的序號(hào)是________．
解析 由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤．
答案?、?
10．圖(a)為長(zhǎng)方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由________塊木塊堆成；圖(b)中的三視圖
6、表示的實(shí)物為________．
圖(a) 圖(b)
解析 (1)由三視圖可知從正面看到三塊，從側(cè)面看到三塊，結(jié)合俯視圖可判斷幾何體共由4塊長(zhǎng)方體組成．
(2)由三視圖可知幾何體為圓錐．
答案 4 圓錐
三、解答題
11．如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的主視圖和左視圖在下面畫出(單位：cm)．
(1)在主視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
解 (1)如圖．
(2)所求多面體的體積
V＝V長(zhǎng)方體－V正三棱錐＝4×4×6－××2
7、
＝(cm3)．
12．已知圓錐的底面半徑為r，高為h，且正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)接于圓錐，求這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)．
解 如圖所示，過內(nèi)接正方體的一組對(duì)棱作圓錐的軸截面，設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x，則在軸截面中，正方體的對(duì)角面A1ACC1的一組鄰邊的長(zhǎng)分別為x和x.∵△VA1C1∽△VMN，
∴＝，∴x＝.
即圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為.
13．正四棱錐的高為，側(cè)棱長(zhǎng)為，求側(cè)面上斜高(棱錐側(cè)面三角形的高)為多少？
解 如圖所示，在正四棱錐S－ABCD中，
高OS＝，側(cè)棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
在Rt△SOA中，
OA＝＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
8、
作OE⊥AB于E，則E為AB中點(diǎn)．
連接SE，則SE即為斜高，
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝，即側(cè)面上的斜高為.
14． (1)如圖1所示的三棱錐的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，那么該三棱錐的側(cè)視圖是圖2還是圖3?
(2)某幾何體的三視圖如圖4，問該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？
(3)某幾何體的三視圖如圖5，問該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形？
解 (1)該三棱錐在側(cè)(右)投影面上的投影是一直角三角形，該三棱錐的側(cè)視圖應(yīng)是圖2.
(2)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中OA、OB、OC兩兩垂直，
∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是銳角三角形．設(shè)AO＝a，OC＝c，OB＝b，則AC＝，BC＝，AB＝，∴cos∠BAC＝>0，∴∠BAC為銳角．同理，∠ABC、∠ACB也是銳角．
綜上所述，該幾何體的面中共有三個(gè)直角三角形．
(3)該幾何體是三棱錐，其直觀圖如圖所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD，
∴△ACD也是直角三角形．
∴該幾何體的面中共有四個(gè)直角三角形.
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高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖
