大學(xué)物理振動和波及熱學(xué)：8惠更斯原理波的干涉

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1、1 波的散射及分類波的散射及分類 波的衍射波的衍射8.2 波的疊加原理（獨立性原理）波的疊加原理（獨立性原理）8 惠更斯原理惠更斯原理 波的干涉波的干涉8.1 惠更斯原理惠更斯原理 波的反射定律、波的反射定律、折射定律折射定律8.3 波的干涉波的干涉 相干條件相干條件9 駐駐 波波 產(chǎn)生駐波的演示實驗產(chǎn)生駐波的演示實驗 駐波的表達式、駐波的振幅、相位駐波的表達式、駐波的振幅、相位9.2 半波損失半波損失 駐波的能量駐波的能量 9.3 簡正模式簡正模式 作業(yè)：作業(yè)：6-18、6-19、6-20(舊版舊版) 6-29，6-30，6-31（新版）（新版）9.1 駐駐 波波2 波的波的反射定律反射定律

2、：入射角等于反射角，：入射角等于反射角， ii 波的波的折射定律折射定律：2121nuui sinsin表述：媒質(zhì)中任一波陣面上的各點，表述：媒質(zhì)中任一波陣面上的各點， 都是發(fā)射子波的新波源，其后都是發(fā)射子波的新波源，其后 任意時刻，這些子波的包絡(luò)面任意時刻，這些子波的包絡(luò)面 就是新的波陣面。就是新的波陣面。1221nnn 8 惠更斯原理惠更斯原理 波的干涉波的干涉8.1 惠更斯原理惠更斯原理38.2 波的疊加原理（獨立性原理）波的疊加原理（獨立性原理）222221tyuxy 1y若若 、 分別是它的解，則分別是它的解，則 也是它的解也是它的解,即上述即上述波動方程遵從疊加原理波動方程遵從疊加

3、原理。)(21yy 2y波動方程波動方程,它是各種平面波所它是各種平面波所必須滿足的線性偏微分方程。必須滿足的線性偏微分方程。若有幾列波同時在介質(zhì)中傳播，則它們各自將以若有幾列波同時在介質(zhì)中傳播，則它們各自將以原有的振幅、頻率和波長獨立傳播；原有的振幅、頻率和波長獨立傳播；在幾列波相在幾列波相遇處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨傳播時在該處遇處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。引起的位移的矢量和。這種波動傳播過程中出現(xiàn)這種波動傳播過程中出現(xiàn)的各分振動獨立地參與疊加的事實稱為的各分振動獨立地參與疊加的事實稱為波的疊加波的疊加原理。原理。4能分辨不同的聲音正是這個原因；能分辨不同

4、的聲音正是這個原因；疊加原理的重要性在于可以將任疊加原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合。一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合。8.3 波的干涉波的干涉 穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質(zhì)中穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質(zhì)中某些位置的點振幅始終最大，另一些某些位置的點振幅始終最大，另一些位置振幅始終最小，而其它位置，振位置振幅始終最小，而其它位置，振動的強弱介乎二者之間，保持不變，動的強弱介乎二者之間，保持不變，稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為干涉干涉現(xiàn)象現(xiàn)象。爆炸產(chǎn)生的沖擊波就不滿足線性爆炸產(chǎn)生的沖擊波就不滿足線性方程，所以疊加原理不適用。方程，所以疊加原理不適用。5 相干條件：相

5、干條件：設(shè)有兩個頻率相同的波源設(shè)有兩個頻率相同的波源 和和1S2S其振動表達式為：其振動表達式為：1r2r1S2Sp滿足相干條件的波源滿足相干條件的波源稱為稱為相干波源相干波源。 具有具有恒定的相位差恒定的相位差 振動方向相同振動方向相同 （ 或稱為具有或稱為具有 相同的偏振面相同的偏振面)兩波源的兩波源的波振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯。波振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯。 兩波源具有兩波源具有相同的頻率相同的頻率6其波源振動表達式為：其波源振動表達式為：)cos(),(1010110tAtSy)cos(),(2020220tAtSy傳播到傳播到 P 點引起的振動為：點引起的振動為： )2cos(

6、),(11011rtAtpy)2cos(),(22022rtAtpy在在 P 點的振動為同方向同頻率振動的合成。點的振動為同方向同頻率振動的合成。1r2r1S2Sp72AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA同方向、同頻率同方向、同頻率振動的合成振動的合成)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAarctg 8下面討論干涉現(xiàn)象中的強度分布下面討論干涉現(xiàn)象中的強度分布在在 P 點的合成振動為：點的合成振動為：)cos(21 tAyyy cos22122212AAAAA其中：其中：由于波的強度正比于振幅，所以合振動的強度為：由

7、于波的強度正比于振幅，所以合振動的強度為： cos22121IIIII)(2)(121020rr 對空間不同的位置，都有恒定的對空間不同的位置，都有恒定的 ，因而合強度，因而合強度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象。 1r2r1S2Sp9干涉相長的條件：干涉相長的條件：,.3,2, 1 ,0,2 kk 21maxAAAA 2121max2IIIIII 干涉相消的條件：干涉相消的條件：,.3 , 2 , 1 , 0,)12()(2)(121020 kkrr |21minAAAA 2121min2IIIIII 當(dāng)兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為：當(dāng)兩相干波源為

8、同相波源時，相干條件寫為：,.3 , 2 , 1 , 0,12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0,2)12(12 kkrr 稱稱 為波程差為波程差相長干涉相長干涉相消干涉相消干涉10波動在傳播的路程中遇到障礙物，能夠波動在傳播的路程中遇到障礙物，能夠繞過障礙物的邊緣前進，這種現(xiàn)象叫繞過障礙物的邊緣前進，這種現(xiàn)象叫波波的衍射的衍射或波的繞射。留在光學(xué)講?；虿ǖ睦@射。留在光學(xué)講。散射是非幾何光學(xué)現(xiàn)象散射是非幾何光學(xué)現(xiàn)象，它不遵守折射定律，它不遵守折射定律，是由媒質(zhì)的不均勻性造成的。散射光的性質(zhì)是由媒質(zhì)的不均勻性造成的。散射光的性質(zhì)可以提供物質(zhì)結(jié)構(gòu)的豐富知識?？梢蕴峁┪镔|(zhì)結(jié)構(gòu)的豐富知識。 波

9、的衍射波的衍射 波的散射波的散射波的散射是指，如果媒質(zhì)中存在懸浮的粒子波的散射是指，如果媒質(zhì)中存在懸浮的粒子（如氣體中的塵埃、煙霧；液體和固體中的（如氣體中的塵埃、煙霧；液體和固體中的雜質(zhì)、缺陷雜質(zhì)、缺陷，當(dāng)波傳到這些粒子后，成為，當(dāng)波傳到這些粒子后，成為新的波源向四周發(fā)射波動，這一現(xiàn)象稱為新的波源向四周發(fā)射波動，這一現(xiàn)象稱為散射散射。11駐波是干涉的特例。當(dāng)頻率與繩長調(diào)整適當(dāng)，繩上駐波是干涉的特例。當(dāng)頻率與繩長調(diào)整適當(dāng)，繩上分段振動，某些點振幅特大，某些點幾乎不動，稱分段振動，某些點振幅特大，某些點幾乎不動，稱為駐波。駐波的特點不是振動的傳播，而是媒質(zhì)中為駐波。駐波的特點不是振動的傳播，而是

10、媒質(zhì)中各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動。各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動。分別沿分別沿x 軸正、負方向傳播的軸正、負方向傳播的同頻率、同初相位的兩列相干同頻率、同初相位的兩列相干波，其合成波就是典型的駐波波，其合成波就是典型的駐波9 駐駐 波波9.1 駐駐 波波),(txytx12設(shè)有兩列相干波，分別沿設(shè)有兩列相干波，分別沿X X軸軸正、負方向傳播，選初相位正、負方向傳播，選初相位均為零的表達式為：均為零的表達式為：)cos(xtAy 21 )cos(xtAy 22 )cos()cos(xtAxtAyyy 2221 駐波的表達式駐波的表達式0tx0 x0t2yx0 x1y其合成波稱為駐波其表達式：其合成波稱為駐波其表

11、達式：13txAy coscos 22利用三角函數(shù)關(guān)系求出利用三角函數(shù)關(guān)系求出駐波的表達式駐波的表達式：簡諧振動簡諧振動簡諧振動的振幅簡諧振動的振幅),(),(xtytuxtty但是這一函數(shù)不滿足但是這一函數(shù)不滿足所以它不是行波。所以它不是行波。它表示各點都在作簡諧振動它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅但各點振幅隨位置的不同而不同。隨位置的不同而不同。14振幅最大的點稱為波腹，對應(yīng)于振幅最大的點稱為波腹，對應(yīng)于 即即1|2cos|xkx 2的各點；的各點；因此因此波腹的位置為：波腹的位置為：,.,32102 kkx 波節(jié)

12、的位置為：波節(jié)的位置為：,.,)(3210412 kkx 駐波的振幅駐波的振幅駐波的特點不是振動的傳播，而駐波的特點不是振動的傳播，而是媒質(zhì)中各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動是媒質(zhì)中各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動0|2cos|x振幅為零的點稱為波節(jié)，對應(yīng)于振幅為零的點稱為波節(jié)，對應(yīng)于2) 12(2kx即即 的各點。的各點。15從上式得相鄰波腹間的距離為：從上式得相鄰波腹間的距離為：2|21kkx可得相鄰波節(jié)間的距離也為可得相鄰波節(jié)間的距離也為2x波腹與波節(jié)間的距離為波腹與波節(jié)間的距離為 4因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。txAy coscos 22應(yīng)用應(yīng)用 駐波的相位駐波

13、的相位時間部分提供的相位對于所有的時間部分提供的相位對于所有的 x是相同的，是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。而空間變化帶來的相位是不同的。1644x內(nèi)，內(nèi)，；02cos2xA在在434 x范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，02cos2xA* 在波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反。同時達到反向在波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反。同時達到反向 最大或同時達到反向最小。速度方向相反。最大或同時達到反向最小。速度方向相反。是波節(jié)，在范圍是波節(jié)，在范圍如如4x考查波節(jié)兩邊的振幅，考查波節(jié)兩邊的振幅， 結(jié)論：結(jié)論：* 兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。 同時達到同時達到 最大或同時達到最小。速度方向相同

14、。最大或同時達到最小。速度方向相同。17 駐波的能量駐波的能量txAy coscos 22txAVmEk 22222sin)2(cos2v21 txAuVxyVYEp 222222cos2sin)2(2)(21 單位體積媒質(zhì)中彈性勢能等于單位體積媒質(zhì)中彈性勢能等于彈性模量與應(yīng)變平方乘積的一半。彈性模量與應(yīng)變平方乘積的一半。18 由上式可知：各質(zhì)點位移達到最大時由上式可知：各質(zhì)點位移達到最大時,動能為零，動能為零， 勢能不為零。在波節(jié)處相對形變最大，勢能最大；勢能不為零。在波節(jié)處相對形變最大，勢能最大； 在波腹處相對形變最小，勢能最小。在波腹處相對形變最小，勢能最小。 勢能集中在波節(jié)。勢能集中在

15、波節(jié)。 當(dāng)各質(zhì)點回到平衡位置時，全部勢能為零；當(dāng)各質(zhì)點回到平衡位置時，全部勢能為零； 動能最大。動能最大。動能集中在波腹。動能集中在波腹。 能量從波腹傳到波節(jié)，又從波節(jié)傳到波腹，往復(fù)能量從波腹傳到波節(jié)，又從波節(jié)傳到波腹，往復(fù) 循環(huán)，循環(huán)，能量不被傳播。這可從能流密度證明：因能量不被傳播。這可從能流密度證明：因 為能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波與為能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波與 右行波能流密度之和為零。右行波能流密度之和為零。所以駐波不傳播能量，所以駐波不傳播能量， 它是媒質(zhì)的一種特殊的運動狀態(tài)，它是媒質(zhì)的一種特殊的運動狀態(tài)，穩(wěn)定態(tài)穩(wěn)定態(tài)。討論：討論：19當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射

16、到當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密媒質(zhì)界面上反射時，有波密媒質(zhì)界面上反射時，有半波損失，形成的駐波在界半波損失，形成的駐波在界面處是波節(jié)。反之，當(dāng)波從面處是波節(jié)。反之，當(dāng)波從波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時，無半波損質(zhì)界面上反射時，無半波損失，界面處出現(xiàn)波腹。失，界面處出現(xiàn)波腹。9.2 半波損失：半波損失：入射波在反射時發(fā)生反向的現(xiàn)象稱為半波損失。入射波在反射時發(fā)生反向的現(xiàn)象稱為半波損失。有半波損失有半波損失某一時刻某一時刻無半波損失無半波損失較大的媒質(zhì)稱為較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)；較小的媒質(zhì)稱為較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì)波疏媒質(zhì).uu20 TunLunn ,.,3

17、212,.,3212 nnLn ,.,3212 nnLn 9.3 簡正模式簡正模式即弦線上形成的駐波波長、頻率均不連續(xù)。這些頻即弦線上形成的駐波波長、頻率均不連續(xù)。這些頻率稱為弦振動的率稱為弦振動的本征頻率本征頻率，對應(yīng)的振動方式稱為，對應(yīng)的振動方式稱為簡簡正模式正模式。這與彈簧振子只有一個固有頻率不同。這與彈簧振子只有一個固有頻率不同。2 1 nLu21 2 nLu 2 23 3 nLu233 在繩長為在繩長為 L 的繩上形成駐波的波長必須滿足下列條件的繩上形成駐波的波長必須滿足下列條件21兩端固定的弦，當(dāng)距一端某點受擊而振動時，該兩端固定的弦，當(dāng)距一端某點受擊而振動時，該點為波節(jié)的那些模式

18、（對應(yīng)于點為波節(jié)的那些模式（對應(yīng)于 n 次，次，2 n 次次.諧諧頻頻)就出現(xiàn)，使演奏的音色更優(yōu)美。就出現(xiàn)，使演奏的音色更優(yōu)美。當(dāng)周期性強迫力的頻率與系統(tǒng)（例如，弦）的固有當(dāng)周期性強迫力的頻率與系統(tǒng)（例如，弦）的固有頻率之一相同時，就會與該頻率發(fā)生共振，系統(tǒng)中頻率之一相同時，就會與該頻率發(fā)生共振，系統(tǒng)中該頻率振動的振幅最大?？捎霉舱穹y量空氣中聲該頻率振動的振幅最大?？捎霉舱穹y量空氣中聲速。速。樂器振動發(fā)聲時，其音調(diào)由基頻決定，同時發(fā)出的樂器振動發(fā)聲時，其音調(diào)由基頻決定，同時發(fā)出的諧頻的頻率和強度決定聲音的音色。諧頻的頻率和強度決定聲音的音色。系統(tǒng)究竟按那種模式振動，取決于初始條件。系統(tǒng)究竟

19、按那種模式振動，取決于初始條件。一般是各種簡正模式的疊加。一般是各種簡正模式的疊加。最低的頻率稱為最低的頻率稱為基頻基頻，其它整倍數(shù)頻率為，其它整倍數(shù)頻率為諧頻諧頻22例題一例題一 如圖位于如圖位于 兩點的兩個波源振幅相等，兩點的兩個波源振幅相等，頻率都是頻率都是100赫茲，相差為赫茲，相差為 ，其，其 相距相距30米，米，波速為波速為400米米/秒，秒，BA, BA,解：如圖所示，取解：如圖所示，取A點為坐標(biāo)原點，點為坐標(biāo)原點，A、B聯(lián)線為聯(lián)線為X軸，取軸，取A點的振動方程點的振動方程 :)cos( tAyA在在X軸上軸上A點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)2cos( xtAyA B點的

20、振動方程點的振動方程 :)cos(0 tAyB 求求: A、B 連線之間因相干涉而靜止的各點的位置。連線之間因相干涉而靜止的各點的位置。BAXxm30 x 30O23)2cos( xtAyA B點的振動方程點的振動方程 :)0cos( tAyB 在在X軸上軸上B點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)30(20cos xtAyB 因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，所以相干為靜止的點滿足：所以相干為靜止的點滿足： )12()30(22 kxx注意注意,.2,1,0 kBAXxm30 x 30O24相干相消的點需滿足：相干相消的點需滿足： kx 230sec/mu4 因為因為：,.,210215 kkxmx29,27,25,.9,7,5,3, 1 可見在可見在A、B兩點是波腹處。兩點是波腹處。 )()(123022 kxx,.,210 kBAXxm30 x 30O