新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第10章 概率 熱點探究課6 概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題學(xué)案 文 北師大版
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1、 1
2、 1 熱點探究課(六) 概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第155頁) [命題解讀] 1.概率與統(tǒng)計是高考中相對獨立的一個內(nèi)容,處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量,該類問題以應(yīng)用題為載體,注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力.2.概率問題的核心是概率計算,其中事件的互斥、對立是概率計算的核心.統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法,重點是
3、頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征.統(tǒng)計與概率內(nèi)容相互滲透,背景新穎. 熱點1 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 以實際生活中的事例為背景,通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括,作出估計、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查,考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力. 近幾年出現(xiàn)各種食品問題,食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾?。疄榱私狻叭摺奔膊∈欠衽c性別有關(guān),醫(yī)院隨機對入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表: 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 總計 男 6 30 女 總計 36 (1)請將如圖的列聯(lián)表補充完整;若用分層
4、抽樣的方法在患“三高”疾病的人群中抽9人,其中女性抽多少人? (2)為了研究“三高”疾病是否與性別有關(guān),請計算出統(tǒng)計量K2的觀測值k,并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“三高”疾病與性別有關(guān). 下面的臨界值表供參考: P(χ2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式χ2=,其中n=a+b+c+d) [解] (1)完善補充列聯(lián)表如下: 患“三高”疾病 不患“三高”
5、疾病 總計 男 24 6 30 女 12 18 30 總計 36 24 60 2分 在患“三高”疾病人群中抽9人,則抽取比例為=, 所以女性應(yīng)該抽取12×=3(人). 5分 (2)根據(jù)2×2列聯(lián)表,則χ2的觀測值 χ2==10>7.879. 10分 所以在允許犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為是否患“三高”疾病與性別有關(guān). 12分 [規(guī)律方法] 1.將抽樣方法與獨立性檢驗交匯,背景新穎,求解的關(guān)鍵是抓住統(tǒng)計圖表特征,完善樣本數(shù)據(jù). 2.(1)本題常見的錯誤是對獨立性檢驗思想理解不深刻,作出無關(guān)錯誤判定.(2)進(jìn)行獨立性檢驗
6、時,提出的假設(shè)是兩者無關(guān). [對點訓(xùn)練1] (20xx·開封模擬)隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表: 年份 20xx 20xx 20xx 20xx 20xx 時間代號t 1 2 3 4 5 儲蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 (1)求y關(guān)于t的回歸方程y=bt+a; (2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)(t=6)的人民幣儲蓄存款. 【導(dǎo)學(xué)號:00090360】 附:回歸方程y=bt+a中,b=,a=-b. [解] (1)易求=(1+2+3+4+5)=3, =y(tǒng)i=7.2,
7、 2分 又tiyi-5=120-5×3×7.2=12, t-52=55-5×32=10. 5分 從而b===1.2, ∴a=-b=7.2-1.2×3=3.6, 故所求回歸方程為y=1.2t+3.6. 8分 (2)將t=6代入回歸方程,可預(yù)測該地區(qū)的人民幣儲蓄存款為y=1.2×6+3.6=10.8(千億元). 12分 熱點2 古典概型與幾何概型的概率計算 幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結(jié)果的無限性,幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等,解決幾何概型的關(guān)鍵是找準(zhǔn)幾何測度;古典概型是命題的重點,對于較復(fù)雜的基本事件空間,列舉時要按照一定的規(guī)律進(jìn)行,
8、做到不重不漏. 某商場為吸引顧客消費,推出一項優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下:消費每滿100元可以轉(zhuǎn)動如圖1所示的圓盤一次,其中O為圓心,目標(biāo)有20元,10元,0元的三部分區(qū)域面積相等.假定指針停在任一位置都是等可能的.當(dāng)指針停在某區(qū)域時,返相應(yīng)金額的優(yōu)惠券.例如:某顧客消費了218元,第一次轉(zhuǎn)動獲得了20元,第二次獲得了10元,則其共獲得了30元優(yōu)惠券.顧客甲和乙都到商場進(jìn)行了消費,并按照規(guī)則參與了活動. 圖1 (1)若顧客甲消費了128元,求他獲得的優(yōu)惠券面額大于0元的概率; (2)若顧客乙消費了280元,求他總共獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元的概率. [解] (1)設(shè)“甲獲得
9、優(yōu)惠券”為事件A. 因為假定指針停在任一位置都是等可能的,而題中所給的三部分區(qū)域的面積相等,所以指針停在20元,10元,0元區(qū)域內(nèi)的概率都是. 2分 顧客甲獲得優(yōu)惠券,是指指針停在20元或10元區(qū)域,所以甲獲得優(yōu)惠券面額大于0元的概率為 P(A)=+=. 5分 (2)設(shè)“乙獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元”為事件B. 因為顧客乙轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,設(shè)乙第一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤獲得優(yōu)惠券的金額為x元,第二次獲得優(yōu)惠券的金額為y元,則基本事件空間為 Ω={(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)},即Ω
10、中含有9個基本事件,每個基本事件發(fā)生的概率都為. 8分 而乙獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元,是指x+y≥20,所以事件B中包含的基本事件有6個. 10分 所以乙獲得的優(yōu)惠券金額不低于20元的概率為 P(B)==. 12分 [規(guī)律方法] 1.本題(1)中,指針連續(xù)地變化,是幾何概型,第(2)問是顧客獲得優(yōu)惠券的各種可能,是有限的可以一一列舉的離散問題,滿足古典概型. 2.題目以“市場銷售手段”為背景,認(rèn)真審題,實現(xiàn)知識遷移,恰當(dāng)選擇概型是解題的關(guān)鍵. [對點訓(xùn)練2] (20xx·北京模擬)某出租車公司響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召,已陸續(xù)購買了140輛純電動汽車作為運營車輛.目前
11、我國主流純電動汽車按續(xù)駛里程數(shù)R(單位:千米)分為3類,即A類:80≤R<150,B類:150≤R<250,C類:R≥250.該公司對這140輛車的行駛總里程進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下表: 類型 A類 B類 C類 已行駛總里程不超過10萬千米的車輛數(shù) 10 40 30 已行駛總里程超過10萬千米的車輛數(shù) 20 20 20 (1)從這140輛汽車中任取一輛,求該車行駛總里程超過10萬千米的概率; (2)公司為了解這些車的工作狀況,決定抽取14輛車進(jìn)行車況分析,按表中描述的六種情況進(jìn)行分層抽樣,設(shè)從C類車中抽取了n輛車. ①求n的值; ②如果從這n輛車中隨機選取兩輛
12、車,求恰有一輛車行駛總里程超過10萬千米的概率. 【導(dǎo)學(xué)號:00090361】 [解] (1)從這140輛汽車中任取一輛,則該車行駛總里程超過10萬千米的概率為P1==. 4分 (2)①依題意n=×14=5. 5分 ②5輛車中已行駛總里程不超過10萬千米的車有3輛,記為a,b,c; 5輛車中已行駛總里程超過10萬千米的車有2輛,記為m,n. “從5輛車中隨機選取兩輛車”的所有選法共10種:ab,ac,am,an,bc,bm,bn,cm,cn,mn. 8分 “從5輛車中隨機選取兩輛車,恰有一輛車行駛里程超過10萬千米”的選法共6種:am,an
13、,bm,bn,cm,cn, 10分 則選取兩輛車中恰有一輛車行駛里程超過10萬千米的概率P2==. 12分 熱點3 概率與統(tǒng)計的綜合問題(答題模板) 統(tǒng)計和概率知識相結(jié)合命制概率統(tǒng)計解答題已經(jīng)是一個新的命題趨向,概率統(tǒng)計初步綜合解答題的主要依托點是統(tǒng)計圖表,正確認(rèn)識和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵,在此基礎(chǔ)上掌握好樣本數(shù)字特征及各類概率的計算. (本小題滿分12分)(20xx·安徽高考)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機訪問50名職工.根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖2所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:[40,50),[50,60),…,[80,
14、90),[90,100]. 圖2 (1)求頻率分布直方圖中a的值; (2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率; (3)從評分在[40,60)的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人的評分都在[40,50)的概率. [規(guī)范解答] (1)因為(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.3分 (2)由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022+0.018)×10=0.4,所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4. 6分 (3)受訪職工中評分在[50,60)的有:50×0.
15、006×10=3(人),記為A1,A2,A3; 受訪職工中評分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),記為B1,B2.9分 從這5名受訪職工中隨機抽取2人,所有可能的結(jié)果共有10種,它們是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}.又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種,即{B1,B2},故所求的概率為. 12分 [答題模板] 第一步:由各矩形的面積之和等于1,求a的值. 第二步:由樣本頻率分布估計概率. 第三步:設(shè)出字母,列出
16、基本事件總數(shù)及所求事件M所包含的基本事件. 第四步:利用古典概型概率公式計算. 第五步:反思回顧,查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范. [溫馨提示] 1.本題的易失分點: (1)不能利用頻率分布直方圖的頻率求出a值. (2)求錯評分落在[50,60),[40,50)間的人數(shù). (3)沒有指出基本事件總數(shù)與事件M包含的基本事件個數(shù),或者只指出事件個數(shù),沒有一一列舉出10個基本事件及事件M包含的基本事件,導(dǎo)致扣3分或2分. 2.抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確計算: (1)得關(guān)鍵分:如第(1)問中,正確求得a=0.006;第(3)問中列出10個基本事件,錯寫或多寫、少寫均不得分. (2
17、)得轉(zhuǎn)化計算分:如第(1)問、第(2)問中的計算要正確,否則不得分;第(3)問中利用“頻數(shù)、樣本容量、頻率之間的關(guān)系”求得各區(qū)間的人數(shù),轉(zhuǎn)化為古典概型的概率. [對點訓(xùn)練3] (20xx·秦皇島模擬)長時間用手機上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康,某校為了解A,B兩班學(xué)生手機上網(wǎng)的時長,分別從這兩個班中隨機抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將他們平均每周手機上網(wǎng)的時長作為樣本,繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個位數(shù)字). 圖3 (1)你能否估計哪個班級學(xué)生平均上網(wǎng)時間較長? (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a,從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)
18、據(jù)記為b,求a>b的概率. 【導(dǎo)學(xué)號:00090362】 [解] (1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9+11+14+20+31)=17. 2分 由此估計A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間為17小時; B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11+12+21+25+26)=19, 由此估計B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間較長. 5分 (2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個,分別為9,11,14,B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個,分別為11,12,21,從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有9種不同情況,分別為(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21), 8分 其中a>b的情況有(14,11),(14,12)兩種, 故a>b的概率p=. 12分
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