新版高考數學復習 專題5.1 統(tǒng)計與概率全國高考數學考前復習大串講

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1、 1

2、 1 【知識網絡】 【考點聚焦】 對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用A、B、C表示） 內 容 要 求 A B C 計數原理 加法原理與乘法原理 √ 排列與組合　　 √ 二項式定理　　 √ 概率 隨機事件與概率　　 √ 古典概型　　 √ 幾何概型　　 √

3、 互斥事件及其發(fā)生的概率　　 √ 統(tǒng)計 抽樣方法　　 √ 總體分布的估計　　 √ 總體特征數的估計　　 √ 1. 原題（選修2-3第二十七頁習題1.2A組第四題）變式1 某節(jié)假日，附中校辦公室要安排從一號至六 號由指定的六位領導參加的值班表. 要求每一位領導值班一天，但校長甲與校長乙不能相鄰且主任丙與主任丁也不能相鄰，則共有多少種不同的安排方法 （ ） A．336 B．408 C．240 D．264 【答案】選 【解析】方法數為：選 變式2 某地

4、高考規(guī)定每一考場安排24名考生，編成六行四列就坐.若來自同一學校的甲、乙兩名學生同時排在“考點考場”，那么他們兩人前后左右均不相鄰的概率是 ( ) A． B． C． D． 【答案】選 2.原題（選修2-3第二十七頁習題1.2A組第九題）變式1在正方體的各個頂點與各棱的中點共20個點中，任取2點連成直線，在這些直線中任取一條，它與對角線垂直的概率為_________． 圖4 【答案】 變式2 考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但

5、不重合的概率等于( ) A. B. C. D. 【答案】選． 【解析】如圖，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，共有種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有共12對，所以所求概率為，選． 3.原題（選修2-3第四十頁復習參考題A組第三題）變式1 設集合，定義集合對中含有個元素，中至少含有個元素，且中最小的元素不小于中最大的元素.記滿足的集合對的總個數為，滿足的集合對的總個數為，則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】選 【解析

6、】根據題意，的個數可以這樣?。?，故同樣得的個數為故選 變式2 把已知正整數表示為若干個正整數（至少3個，且可以相等）之和的形式，若這幾個正整數可以按一定順序構成等差數列，則稱這些數為的一個等差分拆．將這些正整數的不同排列視為相同的分拆．如：與為12的相同等差分拆．問正整數30的不同等差分拆有 個． 【答案】19. 4.原題（選修2-3第四十一頁復習參考題B組第1題（3））變式 已知集合，定義映射，且點．若的外接圓圓心為D，且，則滿足條件的映射有（ ） A.12個； B.10個； C.6個； D.16個； 【答案】A. 5.原題（選修2-3

7、第八十六頁例2）一只紅鈴蟲的產卵數 和溫度 有關，現收集了 7 組觀測數據列于表中，試建立 與 之間的回歸方程。 溫度 21 23 25 27 29 32 35 產卵數個 7 11 21 24 66 115 325 變式 為了對佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學中隨機抽出8位，他們的數學(已折算為百分制)、物理、化學分數對應如下表， 學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 數學分數x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分數y 72 77 80 84 88 90 93

8、 95 化學分數z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1) 若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學中數學和物理分數均為優(yōu)秀的概率； (2) 用變量y與x、z與x的相關系數說明物理與數學、化學與數學的相關程度； (3) 求y與x、z與x的線性回歸方程（系數精確到0.01），并用相關指數比較所求回歸模型的效果. 參考數據：，，，，，，，，，，. 6.原題（選修2-3第九十五頁例1）變式 甲乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區(qū)二?？荚嚨臄祵W成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取

9、了 105名學生的數學成績，并作出了如下的頻數分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在120，150]內為優(yōu)秀，甲校： 乙校： (I )計算的值; (II)由以上統(tǒng)計數據填寫右面列聯表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5% 的把握認為兩個學校的數學成績有差異. (III)根據抽樣結果分別估計甲校和乙校的優(yōu)秀率；若把頻率作為概率，現從乙校學生中任取3人，求優(yōu)秀學生人數的分布列和數學期望; 附： 【解析】 (I ) 甲校 乙校 總計 優(yōu)秀 10 20 30 非優(yōu)秀 45 30 75 總計 55 50 105 7. 原題（必修3第62頁的“如何得到敏感

10、性問題的誠實反應”）變式 為了解某中學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調查部門在該校進行了如下的隨機調查，向被調查者提出兩個問題：（１）你的學號是奇數嗎？（２）在過路口時你是否闖過紅燈？要求被調查者背對著調查人員拋擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則就回答第二個問題．被調查者不必告訴調查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調查者本人知道回答了哪一個問題，所以都如實地作了回答.結果被調查的800人（學號從1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估計這800人中闖過紅燈的人數是 . 8. 原題（必修3第72頁）變式

11、 為了了解某市居民的用水量，通過抽樣獲得了100位居民的月均用水量.第八題圖是調查結果的頻率直方圖.（1）估計該樣本的平均數和中位數；（2）若以該樣本數據的頻率作為總體的概率，從該市（人數很多）任選3人，求用水量超過3噸的人數的期望值. 【解析】（1）平均數為 .因為（0.08+0.16+0.30+0.44）×0.5=0.49，所以中位數為 （2）樣本數據中用水量超過3噸的頻率為0.1，則從總體中任選一人，用水量超過3噸的概率為0.1.設所選3人中用水量超過3噸的人數為，則～,所以即（1）平均數為1.98，中位數為；（2）期望值為0.3. 9. 原題（必修3第73頁的探究“數據有

12、時會被利用”）變式 春節(jié)剛過，為留住本地人才，有一家公司在火車站等處張貼招聘啟示，“我們公司的收入水平很高”，“去年，在50名員工中，最高年收入達到了100萬，他們年收入的平均數是3．5萬.”如果你希望獲得年薪2．5萬元.(1)你判斷自己是否能夠成為此公司的一名高收入者？(2)如果招聘員繼續(xù)告訴你，“員工收入的變化范圍是從0．5萬到100萬”，這個信息是否足以使你作出自己受聘的決定？為什么？(3)如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息，員工收入的中間50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的變化范圍是1萬到3萬，你又能否用這條信息來作出是否受聘的決定？(4)你能估計出收入的中位數是多少

13、嗎？為什么平均值比估計出的中位數高很多？ 10. 原題（必修3第79頁練習第2題）變式 在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用表示編號為n的同學所得成績，且前5位同學的成績如下： 編號n 1 2 3 4 5 成績 70 76 72 70 72 (1)求第6位同學的成績，及這6位同學成績的標準差s;(2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間（68,75）中的概率. 11. 原題（必修3第79頁練習第3題）變式 在春運高峰時有顧客反映某家航空公司售票處售票的速度太慢.為此，航空公司收集了100位顧客購票時所花費時間的樣本數據(

14、單位：分鐘)，結果如下表： 2.3 1.0 3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.9 1.1 1.5 0.2 8.2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4 2.3 6.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.1 3.1 1.1 4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.0 3.1 5.5 0.9 3.3 4.2 21.7 2.2 1.0 3

15、.3 3.4 4.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.9 7.4 6.9 1.6 4.1 2.1 5.8 5.0 1.7 3.8 6.3 3.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.5 11 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.0 4.6 2.0 1.2 5.8 2.9 2.0 2.9 6.6 0.7

16、1.5 航空公司認為，為一位顧客辦理一次售票業(yè)務所需的時間在5分鐘之內就是合理的.上面的數據是否支持航空公司的說法？顧客提出的意見是否合理？請你對上面的數據進行適當的分析，回答下面問題：(1)根據原始數據計算中位數、平均數和標準差.(2)對數據進行適當的分組，分析數據分布的特點，并進行分析.(3)你認為應該用哪一個統(tǒng)計量來分析上述問題比較合適？ （2）對數據進行分組的結果，100名顧客購票花費時間的分組表 接收 頻數（人） 頻數（%） 1分鐘以下 14 14 1~2

17、 24 24 2~3 20 20 3~4 15 15 4~5 9 9 5~6 6 6 6~7 5 5來 7~8 3 3 8~9

18、 2 2 9以上 2 2 合計 100 100 繪制直方圖觀察數據分布的特點，直方圖如下： 從直方圖可以看出，顧客購票所花費時間的分布為右偏.有顧客反映這家航空公司售票處售票的速度太慢，這可能是由少數人提出來的.因此這些少數顧客提出的意見并不能代表大多數人，可以認為顧客提出的意見是不完全合理的. (3) 從中位數來看，其結果為2.5分鐘，因此，從總體上看，該航空公司辦理一項售票業(yè)務所需的時間大約為2.5分鐘，在航空公司認為的合理時

19、間5分鐘之內，因此，可以說顧客提出的意見是不合理的.用中位數感覺較合理一些. 12. 原題（必修3第82頁習題2.2A組第5題）變式 在一次人才招聘會上，有兩家公司提供如下信息：公司甲：我們公司的收入水平很高，去年在80名員工中，最高年收入達到了150萬元，員工的年收入平均數是4萬；公司乙：我們公司規(guī)模比較大，共有150人，員工年收入的中間50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的變化范圍是2.5萬到3.5萬.某位大學畢業(yè)生希望獲得年薪3萬元，根據以上信息，他應該選擇哪家公司更好？ 13. 原題（必修3第八十六頁思考）變式 假設兒子身高與父親身高呈線性相關關系，若小明身高

20、為172cm，他的爸爸和爺爺的身高分別為170cm和175cm，預測小明兒子的身高為 cm. 【解析】依題意可得如下表格 父親身高x(cm) 175 170 172 兒子身高y(cm) 170 172 ? 由點（175，170），（170，172）得直線方程為，所以當時， 14. 原題（必修3第92的“相關關系的強與弱”）變式 如圖是根據，的觀測數據（i=1，2，…，10）得到的散點圖，由這些散點圖可以判斷變量，具有相關關系的圖是 （ ） A.①② B.①④ C.②③ D

21、.③④ 【答案】D. 15. 原題（必修3第127頁探究）變式1 多選題是標準化考試的一種題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確的答案，在一次考試中有5道多選題，某同學一道都不會，他隨機的猜測，則他答對題數的期望值為 . 【解析】答對每道題的概率為，設答對的題數為，則～,所以 變式2 多選題是標準化考試的一種題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確的答案，每題至少有一個選項是正確的，在一次考試中有10道多選題，一個小組中的10位學生答題情況如下表： 答對題數 0～2 3～4 5～6 7～8 9～10 概率 0.10 0.1

22、5 0.25 0.30 0.20 （1）對于每位學生來說，答對題數不少于7題的概率； （2）小組中若有2人以上（含2人）答對題數不超過6題的概率大于0.9，則這個小組需要重新考核，請問這個小組是否需要重新考核？ 【解析】（1）； （2）每位學生答對題數不超過6題的概率為0.5，設10位學生中答對題數不超過6題的人數為，則～,所以所以該小組需要重新考核. 16. 原題（必修3第127頁例3）變式 將一骰子拋擲兩次，所得向上點數分別為和，則函數在上為增函數的概率是 . 【解

23、析】本題考察了古典概型概率的求法及利用導數研究函數的單調性等基礎知識.易得函數的增區(qū)間為和,由已知可得,，故.拋兩次的骰子的所有可能種數為36種，則滿足條件的有30種，所以所求概率為. 17. 原題（必修3第130頁練習第3題）變式 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率. 18. 原題（必修3第134頁習題3.2B組第3題）變式 假設每個人在任何一個月出生是等可能的，則

24、三個人中至少有兩個人生日在同一個月的概率為 . 【解析】【方法一】：－；【方法二】：. 19. 原題（必修3第140頁例4）變式 如圖，直線與拋物線交于A、B兩點，分別作AC、BD垂直x軸于C、D兩點，從梯形ABDC中任取一點，則該點落在陰影部分的概率為________；利用隨即模擬方法也可以計算圖中陰影部分面積，若通過1000次試驗產生了落在梯形ABDC內的1000個點，則可估計落在陰影部分內的點的個數大約有________個. 20. 原題（必修3第140頁練習第1題）變式 如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂

25、點為圓心，為半徑的圓弧與正方形的邊所圍成的.某人向此板投標，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中某人向此板投標，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣， 則它擊中陰影部分的概率是 . 【解析】本題考查幾何概型的概率的計算，因為正方形的面積為,而陰影部分的面積不易直接計算，所以先計算空白部分的面積為,從而得陰影部分的面積為.根據幾何概型的概率公式，可得. 21. 原題（必修3第142頁習題3.3A組第3題）變式 一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當你到達路口時，不需要等待就可以過

26、馬路的概率為 . 【感受高考】 1. 【20xx高考新課標2理數】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（ ） （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 【答案】B 【解析】 2. 【高考四川理數】用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為( ) （A）24 ?。˙）48 ?。–）60 ?。―）72 【答案】D 【

27、解析】 試題分析：由題意，要組成沒有重復的五位奇數，則個位數應該為1、3、5中之一，其他位置共有隨便排共種可能，所以其中奇數的個數為，故選D. 3.【20xx高考新課標3理數】定義“規(guī)范01數列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對任意，中0的個數不少于1的個數.若，則不同的“規(guī)范01數列”共有（ ） （A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1

28、 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 4. 【20xx高考新課標1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：如圖所示,畫出時間軸： 小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中,而當他的到達時間落在線段或時,才能保證他等車的時間不超過10分

29、鐘根據幾何概型,所求概率．故選B． 5.【20xx高考新課標3理數】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中點表示十月的平均最高氣溫約為，點表示四月的平均最低氣溫約為．下面敘述不正確的是（ ） (A)各月的平均最低氣溫都在以上 (B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大 (C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D)平均氣溫高于的月份有5個 【答案】D 【解析】 6. 【20xx高考新課標2理數】從區(qū)間隨機抽取個數,，…，，，，…，，構成n個數對，，…，，其中兩數的平方和小于1的數對共有個，則用隨機

30、模擬的方法得到的圓周率的近似值為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選C. 7. 【高考北京理數】袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

31、 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 【答案】C 【解析】 8. 【20xx高考新課標1卷】的展開式中,x3的系數是 .（用數字填寫答案） 【答案】 【解析】 試題分析：的展開式通項為(,1,2,…,5),令得,所以的系數是. 9. 【20xx高考山東理數】在上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為 . 【答案】 【解析】 試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=. 10. 【20xx高考新課標1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器

32、,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數,表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數. （I）求的分布列； （II）若要求,確定的最小值； （III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據,在與之中選其一,應選用哪個？ 【答案】

33、（I）見解析（II）19（III） 【解析】 ； . 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19. （Ⅲ）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）. 當時, . 當時, . 可知當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,故應選. 11. 【20xx高考新課標2理數】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下： 上年度出險次數 0 1 2 3 4 5 保費 0.85

34、 1.25 1.5 1.75 2 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下： 一年內出險次數 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； （Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； （Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 試題解析：（Ⅰ）設表示事件： “一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1，故 （Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為 歡迎訪問“高中試卷網”——http://sj.fjjy.org