新編高三數(shù)學(xué) 第56練 向量法求解立體幾何問(wèn)題練習(xí)

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):61946089 上傳時(shí)間:2022-03-13 格式:DOC 頁(yè)數(shù):7 大?。?69KB
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1、 第56練 向量法求解立體幾何問(wèn)題訓(xùn)練目標(biāo)會(huì)用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問(wèn)題訓(xùn)練題型(1)用空間向量證明平行與垂直;(2)用空間向量求空間角;(3)求長(zhǎng)度與距離解題策略(1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系;(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量;(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式;(4)探索性問(wèn)題,可利用共線關(guān)系設(shè)變量,引入?yún)?shù),列方程求解.1.(20xx吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB,且ABBP2,ADAE1,AEAB,且AEBP.(1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn),求證:EM平面ABCD;(2

2、)線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由2(20xx上饒?jiān)驴?如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1,M是線段EF的中點(diǎn)求證:(1)AM平面BDE;(2)AM平面BDF.3.(20xx南昌月考)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,B1BB1AABBC,B1BC90,D為AC的中點(diǎn),ABB1D.(1)求證:平面ABB1A1平面ABC;(2)在線段CC1(不含端點(diǎn))上,是否存在點(diǎn)E,使得二面角EB1DB的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由4(20xx太原質(zhì)檢)如圖所示,該幾何

3、體是由一個(gè)直三棱柱ADEBCF和一個(gè)正四棱錐PABCD組合而成的,ADAF,AEAD2.(1)證明:平面PAD平面ABFE;(2)求正四棱錐PABCD的高h(yuǎn),使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析1(1)證明因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABPE,且BCAB,所以BC平面ABPE,所以BA,BP,BC兩兩垂直以B為原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,2,0),D(2,0,1),M,E(2,1,0),C(0,0,1),所以.易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n(0,1,0),所以n(0,1,0)0,所以n.又EM平面ABCD,所以EM平面ABCD.(2)解當(dāng)點(diǎn)N

4、與點(diǎn)D重合時(shí),直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.理由如下:因?yàn)?2,2,1),(2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為n1(x1,y1,z1),由得取y11,得平面PCD的一個(gè)法向量為n1(0,1,2)假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.設(shè)(01),則(2,2,1)(2,2,),(2,22,)所以sin |cos,n1|.所以92845,解得1或(舍去)因此,線段PD上存在一點(diǎn)N,當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí),直線BN與平面PCD所成角的正弦值為.2證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)ACBDN,連接NE,則點(diǎn)N,E的坐標(biāo)分別為(,0),(0,0,1)所以(,1)

5、又點(diǎn)A,M的坐標(biāo)分別是(,0),(,1),所以(,1)所以,且NE與AM不共線所以NEAM.又因?yàn)镹E平面BDE,AM平面BDE,所以AM平面BDE.(2)由(1)知(,1),因?yàn)镈(,0,0),F(xiàn)(,1),所以(0,1)所以0,所以,所以AMDF,同理AMBF,又DFBFF,DF平面BDF,BF平面BDF,所以AM平面BDF.3(1)證明取AB的中點(diǎn)O,連接OD,OB1.因?yàn)锽1BB1A,所以O(shè)B1AB.又ABB1D,OB1B1DB1,OB1平面B1OD,B1D平面B1OD,所以AB平面B1OD,因?yàn)镺D平面B1OD,所以ABOD.由已知條件知,BCBB1,又ODBC,所以O(shè)DBB1.因?yàn)锳

6、BBB1B,AB平面ABB1A1,BB1平面ABB1A1,所以O(shè)D平面ABB1A1.因?yàn)镺D平面ABC,所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB,OD,OB1兩兩垂直,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,|為單位長(zhǎng)度1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,連接B1C.由題設(shè)知,B1(0,0,),B(1,0,0),D(0,1,0),A(1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),(0,1,),(1,0,),(1,0,),(1,2,),設(shè)(01),由(1,2,(1),設(shè)平面BB1D的法向量為m(x1,y1,z1),則得令z11,則x1y1,所以平面BB1D的法向

7、量為m(,1)設(shè)平面B1DE的法向量為n(x2,y2,z2),則得令z21,則x2,y2,所以平面B1DE的一個(gè)法向量n(,1)設(shè)二面角EB1DB的大小為,則cos.解得.所以在線段CC1上存在點(diǎn)E,使得二面角EB1DB的余弦值為,此時(shí).4(1)證明在直三棱柱ADEBCF中,AB平面ADE,AD平面ADE,所以ABAD.又ADAF,ABAFA,ADAFA,AB平面ABFE,AF平面ABFE,所以AD平面ABFE.因?yàn)锳D平面PAD,所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE,以A為原點(diǎn),AB,AE,AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)h為點(diǎn)P到平面ABCD的距離則A(0,0,0),F(xiàn)(2,2,0),C(2,0,2),P(1,h,1),(2,2,0),(2,0,2),(1,h,1)設(shè)平面AFC的一個(gè)法向量為m(x1,y1,z1),則取x11,則y1z11,所以m(1,1,1)設(shè)平面AFP的一個(gè)法向量為n(x2,y2,z2),則取x21,則y21,z21h,所以n(1,1,1h)因?yàn)槎娼荂AFP的余弦值為,所以|cosm,n|,解得h1.

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