新編浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測(cè)): 專題8.5 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)講
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1、 第05節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 掌握公理、判定定理 和性質(zhì)定理. 20xx?浙江文20;理10; 20xx?浙江文6,20;理20; 20xx?浙江文4,18;理17; 20xx?浙江文2.18;理2,17; 20xx?浙江19. 1.以幾何體為載體,考查線線、線面、面面垂直證明. 2.利用垂直關(guān)系及垂直的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,處理綜合問題. 3.備考重點(diǎn): (1) 掌握相關(guān)定義、公理、定理; (2)掌握平行關(guān)系、垂直關(guān)系的常見轉(zhuǎn)換方法. (3)證明垂直關(guān)系,利
2、用轉(zhuǎn)化思想,轉(zhuǎn)化成證明線線垂直. 【知識(shí)清單】 1.直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 定義:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直. 定理: 文字語言 圖形語言 符號(hào)語言 判定定理 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直. ?l⊥α 性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行. ?a∥b 對(duì)點(diǎn)練習(xí): 【20xx課標(biāo)3,文10】在正方體中,E為棱CD的中點(diǎn),則( ) A. B. C. D. 【答案】C 2. 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 定義:兩個(gè)平面相交,
3、如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直. 定理: 文字語言 圖形語言 符號(hào)語言 判 定 定 理 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直. ?β⊥α 性 質(zhì) 定 理 如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面. ?AB⊥α 對(duì)點(diǎn)練習(xí): 【20xx課標(biāo)1,文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為________. 【答案】 3. 線面、面面垂直的綜合應(yīng)
4、用 1.直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法. ②利用判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直. ③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面. (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)任意直線. ②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. ③垂直于同一直線的兩平面平行. 2.斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫斜線和平面所成的角. 3.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法 ②利用判定定理:如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線,
5、則這兩個(gè)平面互相垂直. (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 如果兩平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面. 對(duì)點(diǎn)練習(xí): 【20xx課標(biāo)1,文18】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且. (1)證明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積. 【答案】(1)證明見解析; (2). 【解析】 (2)在平面內(nèi)作,垂足為. 由(1)知,平面,故,可得平面. 設(shè),則由已知可得,. 故四棱錐的體積. 由題設(shè)得,故. 從而,,. 可得四棱錐的側(cè)面積為. 【考點(diǎn)深度剖析
6、】 空間中的垂直關(guān)系是高考命題的重點(diǎn),客觀題、大題都有可能考查,以客觀題形式考查命題的真假判斷,在解答題中以分層設(shè)問或條件形式呈現(xiàn),以證明問題為主,主要考查線面垂直的判定及性質(zhì)、面面垂直的判定及性質(zhì),以及運(yùn)用其進(jìn)一步研究體積、距離、角的問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運(yùn)算求解能力及空間想象能力.浙江卷對(duì)垂直關(guān)系的考查多于對(duì)平行關(guān)系的考查. 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 【1-1】【南寧市高三摸底】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B、C、D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H.下列說法錯(cuò)
7、誤的是__________(將符合題意的選項(xiàng)序號(hào)填到橫線上). ①AG⊥ΔEFH所在平面;②AH⊥ΔEFH所在平面;③HF⊥ΔAEF所在平面;④HG⊥AEF所在平面. 【答案】①③④ 【1-2】【湖北省七市(州)高三3月聯(lián)考】設(shè)直線m與平面α相交但不垂直,則下列說法中正確的是 A. 在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直 B. 過直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直 C. 與直線m垂直的直線不可能與平面α平行 D. 與直線m平行的平面不可能與平面α垂直 【答案】B 【解析】對(duì)于答案A. 在平面α內(nèi)顯然有無數(shù)條直線與直線m垂直,因此說法是錯(cuò)誤的;對(duì)于答案C. 與直線m垂直
8、的直線是可以與平面α平行,因此說法不正確;對(duì)于答案D. 與直線m平行的平面也有可能與平面α垂直,因此說法也不正確,故應(yīng)選答案B 【1-3】【【百強(qiáng)校】寧夏石嘴山三中高三下四?!恳阎本€和平面,則下列四個(gè)命題正確的是( ) A.若,,則 B.若,,則 C.若,,則 D.若,,則 【答案】C 【解析】 試題分析:依據(jù)空間線面角的定義可知答案C是正確的,故應(yīng)選C. 【1-4】【黑龍江省海林市朝鮮中學(xué)高考綜合卷一】如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面, , , , , 分別為, 的中點(diǎn). (1)求證: 平面; (2)求證: 平面
9、. 【答案】詳見解析 試題解析: 證明:(1)設(shè)與交于點(diǎn),連接, . 因?yàn)?,且?為的中點(diǎn), 所以,且, 所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點(diǎn), 又為的中點(diǎn),所以,又平面, 平面,所以平面. (2)因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn),所以. 又平面平面,平面平面, 平面,所以平面, 所以. 在平行四邊形中,因?yàn)?,所以四邊形為菱形,所以? 又平面, 平面, , 所以平面. 【領(lǐng)悟技法】 證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理;三是平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面).解題時(shí),注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化;
10、另外,在證明線線垂直時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等. 【觸類旁通】 【變式1】在四棱錐中,底面是直角梯形,,,側(cè)面底面,若,則( ) A.當(dāng)時(shí),平面平面 B.當(dāng)時(shí),平面平面 C.當(dāng),直線與底面都不垂直 D.,使直線與直線垂直 【答案】A 【變式2】如圖,在正方形SG1G2G3中,E,F(xiàn)分別是G1G2,G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),現(xiàn)沿SE,SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體,使G1,G2,G3三
11、點(diǎn)重合于點(diǎn)G,這樣,下列五個(gè)結(jié)論:(1)SG平面EFG;(2)SD平面EFG;(3)GF平面SEF;(4)EF平面GSD;(5)GD平面SEF. 正確的是( ) A.(1)和(3) B.(2)和(5) C.(1)和(4) D.(2)和(4) 【答案】C 【解析】 試題分析: 由已知且,所以,(1)正確; 若面,則,由(1)知,在中,這是不可能的,(2)錯(cuò); 若面,則,由(1)知,,在中是不可能的,(3)錯(cuò); 由(1)知,則;由已知知,且,所以,(4)正確; 若面,則,由(1)知,在中,這是不可能的,(5)錯(cuò). 故選C. 綜合點(diǎn)評(píng)
12、:(1)證明直線和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α);③面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β);④面面垂直的性質(zhì). (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想. (3)線面垂直的性質(zhì),常用來證明線線垂直. 考點(diǎn)二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 【2-1】【浙江省杭州市高三4月檢測(cè)】設(shè), 是兩個(gè)不同的平面, 是一條直線,給出下列命題: ①若, ,則;②若, ,則.則( ) A. ①②都是假命題 B. ①是真命題,②是假命題 C. ①是假
13、命題,②是真命題 D. ①②都是真命題 【答案】B 【2-2】已知直線,與平面,,,滿足,,,,則必有( ) A.且 B.且 C.且 D.且 【答案】D 【解析】因?yàn)椋?,所?因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以. 【2-3】如圖,棱長為的正方體中,為線段上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A. B.平面平面 C.的最大值為 D.的最小值為 【答案】C 【
14、2-4】已知正三棱柱ABC-A1B1C1,若過AB1與BC1平行的平面交上底面A1B1C1的邊A1C1于點(diǎn)D. (1)確定D的位置,并證明你的結(jié)論; (2)證明:平面AB1D⊥平面AA1D. 【答案】(1)D為A1C的中點(diǎn).(2)見解析. 【解析】 (1)D為A1C1的中點(diǎn),證明如下: 連A1B交AB1于O,連OD. ∵BC1∥平面AB1D,BC1?平面A1BC1, 平面AB1D∩平面A1BC1=DO, ∴BC1∥DO,∴D為A1C的中點(diǎn). (2)證明:∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,三角形A1B1C1為正三角形,∴B1D⊥A1C1. 又平面A1B1C1⊥
15、平面ACC1A1于A1C1, ∴B1D⊥平面ACC1A1, 又B1D?平面AB1D, ∴平面AB1D⊥平面AA1D. 【領(lǐng)悟技法】 判定面面垂直的方法:(1)面面垂直的定義.(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,aα?α⊥β). 在已知平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直. 轉(zhuǎn)化方法:在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. 【觸類旁通】 【變式1】【浙江嘉興市高三上學(xué)期基礎(chǔ)測(cè)試】對(duì)于空間的三條直線和三個(gè)平面,則下列命題中為假命題的是( ) A.若,則 B.若,則 C.若,則 D.若,則 【答案】D
16、【變式2】【【百強(qiáng)?!拷K泰州中學(xué)高三摸底】如圖,正方形所在的平面與△所在的平面交于,平面,且. (1)求證:平面; (2)求證:平面平面. 【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析 試題解析:證明:(1)正方形中,, 又平面,平面, ∴平面. (2)∵平面,且平面, ∴, 又正方形中,,且,平面,平面, ∴平面, 又平面, ∴平面⊥平面. 綜合點(diǎn)評(píng):垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 考點(diǎn)三 線面、面面
17、垂直的綜合應(yīng)用 【3-1】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形, 且,,分別為,的中點(diǎn). (I)求證:平面; (II)求證:平面平面; (III)求三棱錐的體積. 【答案】(1)見解析;(2)見解析 ;(3). 又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫妫? 所以平面. 所以平面平面. (Ⅲ)在等腰直角三角形中,, 所以. 所以等邊三角形的面積. 又因?yàn)槠矫妫? 所以三棱錐的體積等于. 又因?yàn)槿忮F的體積與三棱錐的體積相等, 所以三棱錐的體積為. 【3-2】如圖,直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形,分別是的中點(diǎn). (I)證明:平面平面; (II)若直線與平面所成的角為
18、,求三棱錐的體積. 【答案】(1)見解析;(2). (II)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)槭钦切危?,又三棱柱是直三棱柱,所以,因此平面,于是直線與平面所成的角,由題設(shè)知, 所以, 在中,,所以 故三棱錐的體積. 【3-3】如圖M、N、P分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的點(diǎn). (1)若=,求證:無論點(diǎn)P在D1D上如何移動(dòng),總有BP⊥MN; (2)棱DD1上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得平面APC1⊥平面ACC1?證明你的結(jié)論. 【答案】見解析 (2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使面APC1⊥面ACC1,過P作PF⊥AC1,則PF⊥面ACC1.
19、 又∵BD⊥面ACC1,∴PF∥BD,而兩平行線PF、BD所確定的平面即為兩相交直線BD、DD1確定的對(duì)角面BB1D1D, ∴F為AC1與對(duì)角面BB1D1D的交點(diǎn), 故F為AC1的中點(diǎn),由PF∥BD,P∈DD1知,P也是DD1的中點(diǎn). 顯然,當(dāng)P為DD1中點(diǎn),F(xiàn)為AC1中點(diǎn)時(shí), ∵AP=PC1,∴PF⊥AC1 又PF∥BD,BD⊥AC,∴PF⊥AC. 從而PF⊥面ACC1,則面APC1⊥面ACC1. 故存在點(diǎn)P,使P為DD1中點(diǎn)時(shí),面APC1⊥面ACC1. 【3-4】【山東卷】 如圖,三棱臺(tái)中,分別為的中點(diǎn). (I)求證:平面; (II)若求證:平面平面. 【
20、答案】見解析. 證法二:在三棱臺(tái)中,由為的中點(diǎn), 可得所以為平行四邊形,可得 在中,分別為的中點(diǎn), 所以又, 所以平面平面, 因?yàn)槠矫妫? 所以平面. (II)證明:連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以由得,又為的中點(diǎn),所以因此四邊形是平行四邊形,所以 又,所以. 又平面,,所以平面, 又平面,所以平面平面 【領(lǐng)悟技法】 1. 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化: 2.在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,使之轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.故熟
21、練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵. 【觸類旁通】 【變式1】【江蘇省南京市溧水高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期初】如圖,在三棱錐中, , , 分別是, 的中點(diǎn).求證: (1)∥平面; (2)平面⊥平面. 【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析. 試題解析:證明:⑴在中,因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn), 所以∥ 又?平面, 平面, 所以∥平面; ⑵ 因?yàn)?,且點(diǎn)是的中點(diǎn),所以⊥; 又, ∥,所以,
22、 因?yàn)?平面, ?平面, , ?平面, 所以平面⊥平面. 【變式2】【福建省數(shù)學(xué)基地?!肯旅娴囊唤M圖形為一四棱錐 的側(cè)面與底面. (I)請(qǐng)畫出四棱錐的示意圖,是否存在一條側(cè)棱垂直于底面?如果存在的話,指出是示意圖中的哪一條,說明理由. (II)若 面, 為中點(diǎn),求證:面 面; 【答案】(I)見解析(II)見解析 試題解析: (I)存在一條側(cè)棱,如圖所示. , . (II), , , , , . 綜合點(diǎn)評(píng):平行、垂直關(guān)系綜合題的類型及解法 (1)三種垂直的綜合問題,一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.
23、 (2)垂直與平行結(jié)合問題,求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用. (3)垂直與體積結(jié)合問題,在求體積時(shí),可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段,進(jìn)而求得體積. 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例:如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形,,側(cè)面底面,已知,. 證明 :. 【剖析】錯(cuò)誤原因在于解答最后時(shí)無中生有地造了一個(gè)判定定理:如果兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面中任意一條直線一定垂直于另一個(gè)平面中的任意一條直線.這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的. 【正解】作,垂足為,連結(jié), 由側(cè)面底面,得底面, 因?yàn)?,所以? 因?yàn)椋? 所以是等腰直角三角形, 所以, 因?yàn)槠矫妫矫?,? 所以平面, 又因
24、為平面, 所以. 溫馨提醒: (1)證明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定義;②面面垂直的判定定理. (2)已知兩平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. (3)易錯(cuò)防范: ①在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化. ②面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 化抽象為具體——數(shù)形結(jié)合思想
25、 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)為目的,比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì);或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).? 數(shù)形結(jié)合的思想,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來,關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí),要注意三點(diǎn):第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征,對(duì)數(shù)學(xué)
26、題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. 在解答立體幾何體積、距離等計(jì)算問題中,主要存在兩類問題,一是“有圖考圖”,二是 “無圖考圖”,如: 【典例】【云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考二】如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,PA⊥底面ABCD,PA=3,AD=2,AB=4,∠ABC=600. (1)求證:平面PBC⊥平面PAC; (2)若點(diǎn)M,N分別為PA,CD上的點(diǎn),且PMPA=CNCD=35,在線段PB上是否存在一點(diǎn)E,使得MN//平面ACE;若存在,求
27、出三棱錐P-ACE的體積;若不存在,請(qǐng)說明理由. 【答案】(1)見解析(2)線段PB上存在一點(diǎn)E,使得MN∥平面ACE.VP-ACE= 635 試題解析:(Ⅰ)證明:由已知,得AC=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=23, ∵BC=AD=2,AB=4, 又BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC. 又PA⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,則PA⊥BC, ∵PA?平面PAC,AC?平面PAC,且PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC. ∵BC?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC. (Ⅱ)線段PB上存在一點(diǎn)E,使得MN∥平面ACE. 證明:在線段PB上取一點(diǎn)E,使PEPB=35,連接ME,AE,EC,MN, ∵PMPA=PEPB=35,∴ME∥AB,且ME=35AB, 又∵CN∥AB,且CN=35AB, ∴CN∥ME,且CN=ME, ∴四邊形CEMN是平行四邊形,∴CE∥MN, 又CE?平面ACE,MN?平面ACE,∴MN∥平面ACE. ∴VP-ACE=VE-PAC=35VB-PAC=15S△PAC?·?BC=15×12×3×23×2=635.
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