新版高三數(shù)學 第21練 利用導數(shù)研究不等式問題練習

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1、 1 1第21練 利用導數(shù)研究不等式問題訓練目標(1)利用導數(shù)處理與不等式有關的題型;(2)解題步驟的規(guī)范訓練訓練題型(1)利用導數(shù)證明不等式;(2)利用導數(shù)解決不等式恒成立問題及存在性問題;(3)利用導數(shù)證明與數(shù)列有關的不等式解題策略(1)構造與所證不等式相關的函數(shù);(2)利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性或者最值再證明不等式;(3)處理恒成立問題注意參變量分離.1.已知函數(shù)f(x)x2axalnx(aR)(1)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值,求a的值;(2)在(1)的條件下,求證:f(x)4x.2(20xx煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)x2ax,g(x)lnx,h(x)f(x)g(x)(1)若函數(shù)yh(

2、x)的單調減區(qū)間是,求實數(shù)a的值;(2)若f(x)g(x)對于定義域內的任意x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍3(20xx山西四校聯(lián)考)已知f(x)lnxxa1.(1)若存在x(0,),使得f(x)0成立,求a的取值范圍;(2)求證:在(1)的條件下,當x1時,x2axaxlnx成立4.已知函數(shù)f(x)(2a)lnx2ax.(1)當a|f(x1)f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍5(20xx福州質檢)設函數(shù)f(x)exax1.(1)當a0時,設函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)0;(2)求證:對任意的正整數(shù)n,都有1n12n13n1nn10),可知g(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1

3、,)上是增函數(shù),所以g(x)g(1)0,所以f(x)4x成立2解(1)由題意可知,h(x)x2axlnx(x0),由h(x)(x0),若h(x)的單調減區(qū)間是,由h(1)h0,解得a3,而當a3時,h(x)(x0)由h(x)0),ax(x0)令(x)x(x0),則(x),yx2lnx1在(0,)上是增函數(shù),且x1時,y0.當x(0,1)時,(x)0,即(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,)上是增函數(shù),(x)min(1)1,故a1.即實數(shù)a的取值范圍為(,13(1)解原題即為存在x0,使得lnxxa10,alnxx1,令g(x)lnxx1,則g(x)1.令g(x)0,解得x1.當0x1時,g(

4、x)1時,g(x)0,g(x)為增函數(shù),g(x)ming(1)0,ag(1)0.故a的取值范圍是0,)(2)證明原不等式可化為x2axxlnxa0(x1,a0)令G(x)x2axxlnxa,則G(1)0.由(1)可知xlnx10,則G(x)xalnx1xlnx10,G(x)在(1,)上單調遞增,G(x)G(1)0成立,x2axxlnxa0成立,即x2axaxlnx成立4解(1)求導可得f(x)2a,令f(x)0,得x1,x2,當a2時,f(x)0,函數(shù)f(x)在定義域(0,)內單調遞減;當2a0時,在區(qū)間(0,),(,)上f(x)0,f(x)單調遞增;當a2時,在區(qū)間(0,),(,)上f(x)

5、0,f(x)單調遞增(2)由(1)知當a(3,2)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上單調遞減,所以當x1,3時,f(x)maxf(1)12a,f(x)minf(3)(2a)ln 36a.問題等價于:對任意的a(3,2),恒有(mln 3)a2ln 312a(2a)ln 36a成立,即am4a,因為a0,所以m0及f(x)exa可得,函數(shù)f(x)在(,lna)上單調遞減,在(lna,)上單調遞增,故函數(shù)f(x)的最小值為g(a)f(lna)elnaalna1aalna1,則g(a)lna,故當a(0,1)時,g(a)0;當a(1,)時,g(a)0時,總有exx1.于是,可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1,即x,可得n1en;令x1,即x,可得n1e(n1);令x1,即x,可得n1e(n2);令x1,即x,可得n1e1.對以上各式求和可得:n1n1n1n1ene(n1)e(n2)e11.故對任意的正整數(shù)n,都有1n12n13n1nn1(n1)n1.

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