全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題分類解析匯編：38 規(guī)律探索

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1、規(guī)律探索 一、選擇題 1.（5分）（2014?畢節(jié)地區(qū)，第18題5分）觀察下列一組數(shù)：，，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是 ． 考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類 專題： 規(guī)律型． 分析： 觀察已知一組數(shù)發(fā)現(xiàn)：分子為從1開始的連線奇數(shù)，分母為從2開始的連線正整數(shù)的平方，寫出第n個(gè)數(shù)即可． 解答： 解：根據(jù)題意得：這一組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵． 2.（2014?武漢，第9題3分）觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中

2、共有19個(gè)點(diǎn)，… 按此規(guī)律第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） 　 A． 31 B． 46 C． 51 D． 66 考點(diǎn)： 規(guī)律型：圖形的變化類 分析： 由圖可知：其中第1個(gè)圖中共有1+1×3=4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有1+1×3+2×3=10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個(gè)點(diǎn)，…由此規(guī)律得出第n個(gè)圖有1+1×3+2×3+3×3+…+3n個(gè)點(diǎn)． 解答： 解：第1個(gè)圖中共有1+1×3=4個(gè)點(diǎn)， 第2個(gè)圖中共有1+1×3+2×3=10個(gè)點(diǎn)， 第3個(gè)圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個(gè)點(diǎn)， … 第n個(gè)圖有1+1×3+2×3+3×3

3、+…+3n個(gè)點(diǎn)． 所以第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46． 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的數(shù)字運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題． 3. （2014?株洲，第8題，3分）在平面直角坐標(biāo)系中，孔明做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點(diǎn)出發(fā)，第1步向右走1個(gè)單位，第2步向右走2個(gè)單位，第3步向上走1個(gè)單位，第4步向右走1個(gè)單位…依此類推，第n步的走法是：當(dāng)n能被3整除時(shí)，則向上走1個(gè)單位；當(dāng)n被3除，余數(shù)為1時(shí)，則向右走1個(gè)單位；當(dāng)n被3除，余數(shù)為2時(shí)，則向右走2個(gè)單位，當(dāng)走完第100步時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是（　?。? 　 A．

4、 （66，34） B． （67，33） C． （100，33） D． （99，34） 考點(diǎn)： 坐標(biāo)確定位置；規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)． 分析： 根據(jù)走法，每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右3個(gè)單位，向上1個(gè)單位，用100除以3，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出所處位置的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)即可． 解答： 解：由題意得，每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右3個(gè)單位，向上1個(gè)單位， ∵100÷3=33余1， ∴走完第100步，為第34個(gè)循環(huán)組的第1步， 所處位置的橫坐標(biāo)為33×3+1=100， 縱坐標(biāo)為33×1=33， ∴棋子所處位置的坐標(biāo)是（100，33

5、）． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了坐標(biāo)確定位置，點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律變化，讀懂題目信息并理解每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵． 二.填空題 1. （2014?湘潭，16題，3分）如圖，按此規(guī)律，第6行最后一個(gè)數(shù)字是　16　，第　672　行最后一個(gè)數(shù)是2014． 考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類． 分析： 每一行的最后一個(gè)數(shù)字構(gòu)成等差數(shù)列1，4，7，10…，易得第n行的最后一個(gè)數(shù)字為1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第6行最后一個(gè)數(shù)字，建立方程求得最后一個(gè)數(shù)是2014在哪一行． 解答： 解：每一行的最后一個(gè)數(shù)字構(gòu)成等差數(shù)列1，4，7，10…， 第n行的最后一個(gè)數(shù)字為1+

6、3（n﹣1）=3n﹣2， ∴第6行最后一個(gè)數(shù)字是3×6﹣2=16； 3n﹣2=2014 解得n=672． 因此第6行最后一個(gè)數(shù)字是16，第672行最后一個(gè)數(shù)是2014． 故答案為：16，672． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查數(shù)字的排列規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律解決問題． 　 2. （2014?揚(yáng)州，第18題，3分）設(shè)a1，a2，…，a2014是從1，0，﹣1這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，則a1，a2，…，a2014中為0的個(gè)數(shù)是　165?。? 考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類．

7、分析： 首先根據(jù)（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2得到a12+a22+…+a20142+2152，然后設(shè)有x個(gè)1，y個(gè)﹣1，z個(gè)0，得到方程組，解方程組即可確定正確的答案． 解答： 解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014 =a12+a22+…+a20142+2×69+2014 =a12+a22+…+a20142+2152， 設(shè)有x個(gè)1，y個(gè)﹣1，z個(gè)0 ∴， 化簡(jiǎn)得x﹣y=69，x+y=1849 解得x=959，y=890，z=165 ∴有959個(gè)1，8

8、90個(gè)﹣1，165個(gè)0， 故答案為：165． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)給出的式子進(jìn)行正確的變形，難度較大． 二.填空題 1. （ 2014?珠海，第10題4分）如圖，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…則OA4的長(zhǎng)度為　8?。? 考點(diǎn)： 等腰直角三角形 專題： 規(guī)律型． 分析： 利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案． 解答： 解：∵△OAA1為等腰直角三角形，OA=1， ∴AA1=OA=1，OA1=OA=；

9、 ∵△OA1A2為等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2； ∵△OA2A3為等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2； ∵△OA3A4為等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8． 故答案為：8． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題關(guān)鍵． 　 2．(2014年四川資陽，第16題3分)如圖，以O(shè)（0，0）、A（2，0）為頂點(diǎn)作正△OAP1，以點(diǎn)P1和線段P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正△P1BP2，再以點(diǎn)P2和線段P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，則第六個(gè)正三

10、角形中，不在第五個(gè)正三角形上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是?。?，）?。? 考點(diǎn)： 規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)O（0，0）A（2，0）為頂點(diǎn)作△OAP1，再以P1和P1A的中B為頂點(diǎn)作△P1BP2，再P2和P2B的中C為頂點(diǎn)作△P2CP3，…，如此繼續(xù)下去，結(jié)合圖形求出點(diǎn)P6的坐標(biāo)． 解答： 解：由題意可得，每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)都是上個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的，第六個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是， 故頂點(diǎn)P6的橫坐標(biāo)是，P5縱坐標(biāo)是=， P6的縱坐標(biāo)為， 故答案為：（，）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律解題是解題關(guān)鍵． 　 3．（2014年云南省，第14題3分）觀察規(guī)律并填空

11、 （1﹣）=?=； （1﹣）（1﹣）=???== （1﹣）（1﹣）（1﹣）=?????=?=； （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=???????=?=； … （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=　?。ㄓ煤琻的代數(shù)式表示，n是正整數(shù)，且n≥2） 考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類． 分析： 由前面算式可以看出：算式的左邊利用平方差公式因式分解，中間的數(shù)字互為倒數(shù)，乘積為1，只剩下兩端的（1﹣）和（1+）相乘得出結(jié)果． 解答： 解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣） =??????… =． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查算式的運(yùn)算規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)

12、算規(guī)律，解決問題． 　 4.（2014?邵陽，第18題3分）如圖，A點(diǎn)的初始位置位于數(shù)軸上的原點(diǎn)，現(xiàn)對(duì)A點(diǎn)做如下移動(dòng)：第1次從原點(diǎn)向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度至B點(diǎn)，第2次從B點(diǎn)向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至C點(diǎn)，第3次從C點(diǎn)向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至D點(diǎn)，第4次從D點(diǎn)向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度至E點(diǎn)，…，依此類推，這樣至少移動(dòng) 28 次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于41． 考點(diǎn)： 規(guī)律型：圖形的變化類；數(shù)軸 專題： 規(guī)律型． 分析： 根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)變化和平移規(guī)律（左減右加），分別求出點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)，進(jìn)而求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；然后對(duì)奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別探究，找出其中的規(guī)律（相鄰兩數(shù)都相差3），寫出表達(dá)式；然

13、后根據(jù)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于41建立不等式，就可解決問題． 解答： 解：由題意可得： 移動(dòng)1次后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為0+1=1，到原點(diǎn)的距離為1； 移動(dòng)2次后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為1﹣3=﹣2，到原點(diǎn)的距離為2； 移動(dòng)3次后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣2+6=4，到原點(diǎn)的距離為4； 移動(dòng)4次后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為4﹣9=﹣5，到原點(diǎn)的距離為5； 移動(dòng)5次后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣5+12=7，到原點(diǎn)的距離為7； 移動(dòng)6次后該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為7﹣15=﹣8，到原點(diǎn)的距離為8； … ∴移動(dòng)（2n﹣1）次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3n﹣2； 移動(dòng)2n次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3n﹣1． ①當(dāng)3n﹣2≥41時(shí)， 解得：n≥ ∵n

14、是正整數(shù)， ∴n最小值為15，此時(shí)移動(dòng)了29次． ②當(dāng)3n﹣1≥41時(shí)， 解得：n≥14． ∵n是正整數(shù)， ∴n最小值為14，此時(shí)移動(dòng)了28次． 縱上所述：至少移動(dòng)28次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于41． 故答案為：28． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了用正負(fù)數(shù)可以表示具有相反意義的量，考查了數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)變化和平移規(guī)律（左減右加），考查了一列數(shù)的規(guī)律探究．對(duì)這列數(shù)的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行探究是解決這道題的關(guān)鍵． 5.（2014?孝感，第18題3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖的方式放置．點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)C1，C2，C3，…分別在直線y=

15、x+1和x軸上，則點(diǎn)B6的坐標(biāo)是?。?3，32）?。? 考點(diǎn)： 一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 專題： 規(guī)律型． 分析： 首先利用直線的解析式，分別求得A1，A2，A3，A4…的坐標(biāo)，由此得到一定的規(guī)律，據(jù)此求出點(diǎn)An的坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)B6的坐標(biāo)． 解答： 解：∵直線y=x+1，x=0時(shí)，y=1， ∴A1B1=1，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（3，2）， ∴A1的縱坐標(biāo)是：1=20，A1的橫坐標(biāo)是：0=20﹣1， ∴A2的縱坐標(biāo)是：1+1=21，A2的橫坐標(biāo)是：1=21﹣1， ∴A3的縱坐標(biāo)是：2+2=4=22，A3的橫坐標(biāo)是：1+2=3=22﹣1， ∴A4的縱坐標(biāo)是：4+4=8=2

16、3，A4的橫坐標(biāo)是：1+2+4=7=23﹣1， 即點(diǎn)A4的坐標(biāo)為（7，8）． 據(jù)此可以得到An的縱坐標(biāo)是：2n﹣1，橫坐標(biāo)是：2n﹣1﹣1． 即點(diǎn)An的坐標(biāo)為（2n﹣1﹣1，2n﹣1）． ∴點(diǎn)A6的坐標(biāo)為（25﹣1，25）． ∴點(diǎn)B6的坐標(biāo)是：（26﹣1，25）即（63，32）． 故答案為：（63，32）． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)和坐標(biāo)的變化規(guī)律，正確得到點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 6.（2014?濱州，第18題4分）計(jì)算下列各式的值： ；；；． 觀察所得結(jié)果，總結(jié)存在的規(guī)律，應(yīng)用得到的規(guī)律可得= 102014 ． 考點(diǎn)： 算術(shù)平方根

17、；完全平方公式． 專題： 規(guī)律型． 分析： 先計(jì)算得到=10=101，=100=102，=1000=103，=1000=104，計(jì)算的結(jié)果都是10的整數(shù)次冪，且這個(gè)指 數(shù)的大小與被開方數(shù)中每個(gè)數(shù)中9的個(gè)數(shù)相同，所以=102014． 解答： 解：∵=10=101， =100=102， =1000=103， =1000=104， ∴=102014． 故答案為102014． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為A． 7．（2014?德州，第17題4分）如圖，拋物線y=x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過

18、的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A1，A2，A3…An，…．將拋物線y=x2沿直線L：y=x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件： ①拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y=x上； ②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1，A2，A3…An，…． 則頂點(diǎn)M2014的坐標(biāo)為（　4027　，　4027?。? 考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換． 專題： 規(guī)律型． 分析： 根據(jù)拋物線y=x2與拋物線yn=（x﹣an）2+an相交于An，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案． 解答： 解：M1（a1，a1）是拋物線y1=（x﹣a1）2+a1的頂點(diǎn)， 拋物線y=x2與拋物

19、線y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1， 得x2=（x﹣a1）2+a1， 即2a1x=a12+a1， x=（a1+1）． ∵x為整數(shù)點(diǎn) ∴a1=1， M1（1，1）； M2（a2，a2）是拋物線y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2頂點(diǎn)， 拋物線y=x2與y2相交于A2， x2=x2﹣2a2x+a22+a2， ∴2a2x=a22+a2， x=（a2+1）． ∵x為整數(shù)點(diǎn)， ∴a2=3， M2（3，3）， M3（a3，a3）是拋物線y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3頂點(diǎn)， 拋物線y=x2與y3相交于A3， x2=x2﹣2a

20、3x+a32+a3， ∴2a3x=a32+a3， x=（a3+1）． ∵x為整數(shù)點(diǎn) ∴a3=5， M3（5，5）， 所以M2014，2014×2﹣1=4027 （4027，4027）， 故答案為：（4027，4027） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，定點(diǎn)沿直線y=x平移是解題關(guān)鍵． 8.（2014?菏澤，第14題3分）下面是一個(gè)某種規(guī)律排列的數(shù)陣： 根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥3）行從左到右數(shù)第n﹣2個(gè)數(shù)是 （用含n的代數(shù)式表示） 考點(diǎn)： 算術(shù)平方根． 專題： 規(guī)律型． 分析： 觀察不難發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，每一

21、行的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是從2開始的連續(xù)偶數(shù)，求出n﹣1行的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，再加上n﹣2得到所求數(shù)的被開方數(shù)，然后寫出算術(shù)平方根即可． 解答： 解：前（n﹣1）行的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1）， 所以，第n（n是整數(shù)，且n≥3）行從左到右數(shù)第n﹣2個(gè)數(shù)的被開方數(shù)是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2， 所以，第n（n是整數(shù)，且n≥3）行從左到右數(shù)第n﹣2個(gè)數(shù)是． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了算術(shù)平方根，觀察數(shù)據(jù)排列規(guī)律，確定出前（n﹣1）行的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵． 9．（2014年山東泰安，第24題4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1

22、C1的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將△A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在x軸上，依次進(jìn)行下去…．若點(diǎn)A（，0），B（0，4），則點(diǎn)B2014的橫坐標(biāo)為　　． 分析： 首先利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出三角形的周長(zhǎng)，進(jìn)而求出B2，B4的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得出變化規(guī)律，即可得出答案． 解：由題意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10， ∴B2的橫坐標(biāo)為：10，B4的橫坐標(biāo)為：2×10=20，∴點(diǎn)B2014的橫坐標(biāo)為：×1

23、0=10070．故答案為：10070． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)以及圖形變化類，根據(jù)題意得出B點(diǎn)橫坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵． 三.解答題 1. （ 2014?安徽省,第16題8分）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式： 32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題： （1）完成第四個(gè)等式：92﹣4×　4　2=　17??； （2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性． 考點(diǎn)： 規(guī)律型：數(shù)字的變化類；完全平方公式． 分析： 由①②③三個(gè)等式可得，被減數(shù)是從3開始連續(xù)奇數(shù)的平方，減數(shù)是從1

24、開始連續(xù)自然數(shù)的平方的4倍，計(jì)算的結(jié)果是被減數(shù)的底數(shù)的2倍減1，由此規(guī)律得出答案即可． 解答： 解：（1）32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 所以第四個(gè)等式：92﹣4×42=17； （2）第n個(gè)等式為：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1， 左邊=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1， 右邊=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1． 左邊=右邊 ∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題． 　 14 學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改