新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學(xué)案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第六節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　1.了解拋物線的實(shí)際背影，了解拋物線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線方程).3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.4.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第123頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．拋物線的概念 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l

3、不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱軸 y＝0 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑|PF| x0＋ －x0＋ y

4、0＋ －y0＋ [知識(shí)拓展] 1．拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑． 2．y2＝ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. 3．設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦． [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的

5、打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的集合一定是拋物線．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　)

6、 A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．0 B　[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 3．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.] 4．(20xx·大同模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) B　[拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－且過(guò)點(diǎn)(－1,1)，故－＝

7、－1，解得p＝2，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．] 5．(20xx·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 9　[設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－1的距離為x0＋1，由拋物線的定義知x0＋1＝10，∴x0＝9， ∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第124頁(yè)) 拋物線的定義及應(yīng)用 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1 B．2　　　　　 C．4　　　　　 D．8 (2)已知拋物線y2＝4x，過(guò)焦

8、點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為_(kāi)_________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090304】 (1)A　(2)2　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝， 因此焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l的方程為x＝－. 設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)到準(zhǔn)線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d＝|AF|. 從而x0＋＝x0，解得x0＝1. (2)由y2＝4x，知p＝2，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線x＝－1. 根據(jù)拋物線的定義，|AF|＝|AC|＋1，|BF|＝|BD|＋1. 因此|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|－2＝|AB|－2.

9、 所以|AC|＋|BD|取到最小值，當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值， 又|AB|＝2p＝4為最小值． 故|AC|＋|BD|的最小值為4－2＝2.] [規(guī)律方法]　1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離處理．如本例充分運(yùn)用拋物線定義實(shí)施轉(zhuǎn)化，使解答簡(jiǎn)捷、明快． 2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|＝x0＋；若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出． [變式訓(xùn)練1]　(1)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(

10、－1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為_(kāi)_________． (2)若拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，則|PA|＋|PF|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______． (1)　(2)(2,2)[(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F的距離．于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最?。? 連接AF交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)最小值為 |AF|＝＝. (2)將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±.

11、 ∵＞2，∴A在拋物線內(nèi)部，如圖． 設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)．] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 　(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A． B．1

12、C． D．2 (1)D　(2)D　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng). 當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－，則3＋＝6，∴a＝. 當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y. (2)由拋物線C：y2＝4x知p＝2. ∴焦點(diǎn)F(1,0)． 又曲線y＝(k>0)與曲線C交于點(diǎn)P，且PF⊥x軸． ∴P(1,2)， 將點(diǎn)P(1,2)代入y＝，得k＝2] [規(guī)律方法]　1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可． (2)拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求

13、拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量． 2．由拋物線的方程可以確定拋物線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程． [變式訓(xùn)練2]　(1)(20xx·鄭州模擬)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090305】 A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (20xx·西安模擬)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為_(kāi)_______． (

14、1)B　(2)　[(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p， 由拋物線定義知x＋＝2p，所以x＝p， 所以y＝±p. 又△MFO的面積為4， 所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)． 所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)如圖，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，又|AF|＝3，由拋物線定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線x＝－1的距離為3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y＝2，所以A(2,2)，所以直線AF的方程為y＝2(x－1)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程 解得或由圖知B， 所以S

15、△AOB＝×1×|yA－yB|＝.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 角度1　直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題 　(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由． [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故N， 2分 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所

16、以N為OH的中點(diǎn)，即＝2. 5分 (2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn)．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t). 8分 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn). 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)本題求解的關(guān)鍵是求出點(diǎn)N，H的坐標(biāo)．(2)第(2)問(wèn)將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷． 2．(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來(lái)確定，需注意利用

17、判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧． 角度2　與拋物線弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 　(20xx·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． [解]　(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)， 2分 ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. 5分 (2)直線l2與l1

18、垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M. 6分 由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 8分 由題意可知OA⊥OB， 即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0). 10分 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24. 12分 [規(guī)律方法]　1.拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式． 2．涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等方法． 3．涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解．