新版浙江版高考數(shù)學一輪復習(講練測)： 專題5.3 平面向量的數(shù)量積及其應用講

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2、 1 第03節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應用 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 平面向量的數(shù)量積 ①理解平面向量數(shù)量積的概念及其意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系。 ②掌握平面向量數(shù)量積的坐標運算，掌握數(shù)量積與兩個向量的夾角之間的關系。 ③會用坐標表示平面向量的平行與垂直。 20xx?浙江文17；理7，17； 20xx?浙江文9；理8；

3、 20xx?浙江文13；理15； 20xx·浙江文理15； 20xx?浙江10,15. 1.以考查向量的數(shù)量積、夾角、模為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下； 2.與三角函數(shù)、解析幾何等相結合，以工具的形式進行考查. 3.備考重點： (1) 理解數(shù)量積的概念是基礎，掌握數(shù)量積的兩種運算的方法是關鍵； (2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時，注意運用數(shù)形結合的數(shù)學思想，通過建立平面直角坐標系，利用坐標運算解題. 【知識清單】 1．平面向量的數(shù)量積及其運算 一、兩個向量的夾角 1．定義 已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量

4、a與b的夾角． 2．范圍 向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°. 3．向量垂直 如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b. 二、平面向量數(shù)量積 1．已知兩個非零向量a與b，則數(shù)量|a||b|·cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a與b的夾角． 規(guī)定0·a＝0. 當a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝0. 2．a(chǎn)·b的幾何意義： 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 三、向量數(shù)量積的性質(zhì) 1．如果e是單位向量，則

5、a·e＝e·a. 2．a(chǎn)⊥ba·b＝0. 3．a(chǎn)·a＝|a|2，. 4．cos θ＝.(θ為a與b的夾角) 5．|a·b|≤|a||b|. 四、數(shù)量積的運算律 1．交換律：a·b＝b·a. 2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．對λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 五、數(shù)量積的坐標運算 設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則： 1．a(chǎn)·b＝a1b1＋a2b2. 2．a(chǎn)⊥ba1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝. 4．cos θ＝＝.(θ為a與b的夾角) 對點練習： 【20xx北京，理6】設m,n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是

6、“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若，使，即兩向量反向，夾角是，那么T，若，那么兩向量的夾角為 ，并不一定反向，即不一定存在負數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，故選A. 2．向量的夾角與向量的模 1. a·a＝|a|2，. 2．cos θ＝.(θ為a與b的夾角) 3.|a·b|≤|a||b|. 對點練習： 【20xx浙江高三模擬】設，，是非零向量.若，則（ ） A. B. C. D.

7、 【答案】D. 3．平面向量垂直的條件 a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＝0. 對點練習： 【20xx浙江嘉興、杭州、寧波效實五校聯(lián)考】在中， ， ，則的最小值為______ ， 又若，則________. 【答案】 【解析】 ，所以當時， 取最小值；因為，所以 ，由. 【考點深度剖析】 平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結合，以工具的形式出現(xiàn)． 【重點難點突破】 考點1 平面向量數(shù)量積的運算 【1-1】已知向量，，則（ ）

8、 A．2 B．-2 C．-3 D．4 【答案】A 【解析】 【1-2】已知向量與的夾角為60°，，，則在方向上的投影為（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】 因向量，的夾角為，，，，則在方向上的投影為,故應選A. 【1-3】【20xx天津，理13】在中，，，.若，，且，則的值為___________. 【答案】 【領悟技法】 1.平面向量數(shù)量積的計算方法 ①已知向量a，b的模及夾角θ，利用公式a·b＝|a||b|

9、cosθ求解； ②已知向量a，b的坐標，利用數(shù)量積的坐標形式求解． (2)對于向量數(shù)量積與線性運算的綜合運算問題，可先利用數(shù)量積的運算律化簡，再進行運算． 【觸類旁通】 【變式一】【20xx高考天津理數(shù)】已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【變式二】已知向量，則在方向上的投影為（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】 因為，所以，則，則在方向上的投影既是在方向

10、上的投影為. 【變式三】在矩形中，，點在邊上，若，則的值為（ ） A．0 B． C．-4 D．4 【答案】C 【解析】 考點2 向量的夾角與向量的模 【2-1】已知向量，，則與夾角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】因為向量，，兩式相加和相減可得，和；由數(shù)量積的定義式知，. 故應選B. 【2-2】已知向量的夾角為，且，，則（ ） A. B.

11、 C. D. 【答案】D. 【解析】∵，∴， 又∵的夾角為，且，∴，解得或（舍去）， 即. 【2-3】【20xx山東，理12】已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數(shù)的值是 . 【答案】 【領悟技法】 利用向量夾角公式、模公式，可將有關角度問題、線段長問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決． 【觸類旁通】 【變式一】【20xx高考新課標1卷】設向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m= . 【答案】 【解析】 由,得,所以,解得. 【變式二】△ABC中，△ABC的面積

12、夾角的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角形面積公式及已知知，所以①，由知，，所以，代入①得，，所以，所以，所以的夾角為，其取值范圍為，故選B. 【變式三】已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 . 【答案】且 考點3平面向量垂直的條件 【3-1】【20xx高考山東理數(shù)】已知非零向量m，n滿足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），則實數(shù)t的值為（ ） （A）4 （B）–4 （C） （D）– 【答案】

13、B 【解析】 由，可設，又，所以 所以，故選B. 【3-2】【20xx安徽阜陽二?！恳阎?則_________． 【答案】 【解析】由題意得 【3-3】【20xx湖南婁底二?！恳阎?， ，若向量滿足，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】易知，由得，所以或，由此可得的取值范圍是. 【領悟技法】 利用平面向量垂直的充要條件，可將有關垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決． 【觸類旁通】 【變式一】【20xx·全國卷Ⅰ】設向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，則x＝________. 【答案】－ 【變式二】【20xx高考新課標2】已知向

14、量，且，則（ ） （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量，由得，解得，故選D. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：已知向量 （1）若為銳角，求的范圍； （2）當時，求的值. 易錯分析：從出發(fā)解出的值，忽視剔除同向的情況． 正確解析：（1）利用向量夾角公式即可得出，注意去掉同方向情況； （2）利用向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出． 試題解析：（1）若為銳角，則且不同向 溫馨提醒： (1)兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形

15、成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角． (2)兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π. (3)在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍． 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象

16、思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結合思想，將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果. 【典例】在平面四邊形中，點，分別是邊，的中點，且，，．若，則 ． 【答案】13 【解析】解法一（配湊）：由題意得，， 從而，平方整理得． 不妨設，，從而，，． 由題意，從而， ⑤④得，即．