《新編浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測): 專題5.3 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用講》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測): 專題5.3 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用講(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第03節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
【考綱解讀】
考 點(diǎn)
考綱內(nèi)容
5年統(tǒng)計
分析預(yù)測
平面向量的數(shù)量積
①理解平面向量數(shù)量積的概念及其意義,了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。
②掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握數(shù)量積與兩個向量的夾角之間的關(guān)系。
③會用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直。
20xx?浙江文17;理7,17;
20xx?浙江文9;理8;
20xx?浙江文13;理15;
20xx·浙江文理15;
20xx?浙江10,15.
1.以考查向量的數(shù)量積、夾角、模為主,基本穩(wěn)定為選擇題或填空題,難度中等以下;
2.與三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合,以工
2、具的形式進(jìn)行考查.
3.備考重點(diǎn):
(1) 理解數(shù)量積的概念是基礎(chǔ),掌握數(shù)量積的兩種運(yùn)算的方法是關(guān)鍵;
(2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時,注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,通過建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算解題.
【知識清單】
1.平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算
一、兩個向量的夾角
1.定義
已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.
2.范圍
向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時,夾角θ=0°;a與b反向時,夾角θ=180°.
3.向量垂直
如果向量a與b的夾角是90°,則a與b垂直,記作a⊥b.
二、平面
3、向量數(shù)量積
1.已知兩個非零向量a與b,則數(shù)量|a||b|·cos θ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,其中θ是a與b的夾角.
規(guī)定0·a=0.
當(dāng)a⊥b時,θ=90°,這時a·b=0.
2.a(chǎn)·b的幾何意義:
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積.
三、向量數(shù)量積的性質(zhì)
1.如果e是單位向量,則a·e=e·a.
2.a(chǎn)⊥ba·b=0.
3.a(chǎn)·a=|a|2,.
4.cos θ=.(θ為a與b的夾角)
5.|a·b|≤|a||b|.
四、數(shù)量積的運(yùn)算律
1.交換律:a·b=b·a.
2.分配律:(
4、a+b)·c=a·c+b·c.
3.對λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則:
1.a(chǎn)·b=a1b1+a2b2.
2.a(chǎn)⊥ba1b1+a2b2=0.
3.|a|=.
4.cos θ==.(θ為a與b的夾角)
對點(diǎn)練習(xí):
【20xx北京,理6】設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若,使,即
5、兩向量反向,夾角是,那么T,若,那么兩向量的夾角為 ,并不一定反向,即不一定存在負(fù)數(shù),使得,所以是充分不必要條件,故選A.
2.向量的夾角與向量的模
1. a·a=|a|2,.
2.cos θ=.(θ為a與b的夾角)
3.|a·b|≤|a||b|.
對點(diǎn)練習(xí):
【20xx浙江高三模擬】設(shè),,是非零向量.若,則( )
A. B. C. D.
【答案】D.
3.平面向量垂直的條件
a⊥ba·b=0a1b1+a2b2=0.
對點(diǎn)練習(xí):
【20xx浙江嘉興、杭州、寧波效實(shí)五校聯(lián)考】在中, , ,則的最小值為______ , 又若,則________.
6、
【答案】
【解析】 ,所以當(dāng)時, 取最小值;因為,所以 ,由.
【考點(diǎn)深度剖析】
平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn),往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體,考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題;也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合,以工具的形式出現(xiàn).
【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】
考點(diǎn)1 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
【1-1】已知向量,,則( )
A.2 B.-2 C.-3 D.4
【答案】A
【解析】
【1-2】已知向量與的夾角為60°,,,則在方向上的投影為( )
A. B.2
7、 C. D.3
【答案】A
【解析】
因向量,的夾角為,,,,則在方向上的投影為,故應(yīng)選A.
【1-3】【20xx天津,理13】在中,,,.若,,且,則的值為___________.
【答案】
【領(lǐng)悟技法】
1.平面向量數(shù)量積的計算方法
①已知向量a,b的模及夾角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解;
②已知向量a,b的坐標(biāo),利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解.
(2)對于向量數(shù)量積與線性運(yùn)算的綜合運(yùn)算問題,可先利用數(shù)量積的運(yùn)算律化簡,再進(jìn)行運(yùn)算.
【觸類旁通】
【變式一】【20xx高考天津理數(shù)】已知
8、△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使得,則的值為( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【變式二】已知向量,則在方向上的投影為( )
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】
因為,所以,則,則在方向上的投影既是在方向上的投影為.
【變式三】在矩形中,,點(diǎn)在邊上,若,則的值為( )
A.0 B. C.-4 D.4
【答案】C
【解析】
考點(diǎn)2
9、 向量的夾角與向量的模
【2-1】已知向量,,則與夾角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】因為向量,,兩式相加和相減可得,和;由數(shù)量積的定義式知,. 故應(yīng)選B.
【2-2】已知向量的夾角為,且,,則( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】∵,∴,
又∵的夾角為,且,∴,解得或(舍去),
即.
【2-3】【20xx山東,理12】已知是互相垂直的單位向量,若與的夾角為,則實(shí)數(shù)的值是
10、 .
【答案】
【領(lǐng)悟技法】
利用向量夾角公式、模公式,可將有關(guān)角度問題、線段長問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決.
【觸類旁通】
【變式一】【20xx高考新課標(biāo)1卷】設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m= .
【答案】
【解析】
由,得,所以,解得.
【變式二】△ABC中,△ABC的面積夾角的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三角形面積公式及已知知,所以①,由知,,所以,代入①得,,所以,所以,所以的夾角為,其取值范圍為
11、,故選B.
【變式三】已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是 .
【答案】且
考點(diǎn)3平面向量垂直的條件
【3-1】【20xx高考山東理數(shù)】已知非零向量m,n滿足4│m│=3│n│,cos=.若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為( )
(A)4 (B)–4 (C) (D)–
【答案】B
【解析】
由,可設(shè),又,所以
所以,故選B.
【3-2】【20xx安徽阜陽二?!恳阎?則_________.
【答案】
【解析】由題意得
【3-3】【20xx湖南婁底二?!恳阎?, , ,若向量滿足,
12、則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】易知,由得,所以或,由此可得的取值范圍是.
【領(lǐng)悟技法】
利用平面向量垂直的充要條件,可將有關(guān)垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決.
【觸類旁通】
【變式一】【20xx·全國卷Ⅰ】設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=________.
【答案】-
【變式二】【20xx高考新課標(biāo)2】已知向量,且,則( )
(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8
【答案】D
【解析】向量,由得,解得,故選D.
【易錯試題常警惕】
易
13、錯典例:已知向量
(1)若為銳角,求的范圍;
(2)當(dāng)時,求的值.
易錯分析:從出發(fā)解出的值,忽視剔除同向的情況.
正確解析:(1)利用向量夾角公式即可得出,注意去掉同方向情況;
(2)利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出.
試題解析:(1)若為銳角,則且不同向
溫馨提醒:
(1)兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時,表示兩向量的有向線段所形成的角,若起點(diǎn)不同,應(yīng)通過移動,使其起點(diǎn)相同,再觀察夾角.
(2)兩向量夾角的范圍為[0,π],特別當(dāng)兩向量共線且同向時,其夾角為0,共線且反向時,其夾角為π.
(3)在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時,一定要
14、注意兩向量夾角的范圍.
【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】
數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想
我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認(rèn)為,數(shù)形結(jié)合,主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
向量的幾何表示,三角形、平行四邊形法則,使向量具備形的特征,而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征,因此,向量融數(shù)與形于一身,具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此,在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時,要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化,達(dá)到事半功倍的效果.
【典例】在平面四邊形中,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),且,,.若,則 .
【答案】13
【解析】解法一(配湊):由題意得,,
從而,平方整理得.
不妨設(shè),,從而,,.
由題意,從而,
⑤④得,即.