新編高考數(shù)學復(fù)習：第三章 ：第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學復(fù)習資料 考點一 角的集合表示及象限角的判定 　 　 [來源:數(shù)理化網(wǎng)] [例1]　(1)寫出終邊在直線y＝x上的角的集合； (2)若角θ的終邊與角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角； (3)已知角α為第三象限角，試確定2α的終邊所在的象限． [自主解答]　(1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝ x上的角的集合為. (2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)， ∴＝＋(k∈Z)． 依題意0≤＋＜2π?－≤k＜，k∈Z. ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內(nèi)終邊與相同的角為，，. (3)由α是第三象限

2、角，得π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)， ∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)． ∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負半軸． 【互動探究】 在本例(3)的條件下，判斷為第幾象限角？ 解：∵π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)， ∴＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)． 當k＝2n(n∈Z)時，＋2nπ＜＜＋2nπ， 當k＝2n＋1(n∈Z)時，＋2nπ＜＜＋2nπ， ∴為第二或第四象限角．　　　　 【方法規(guī)律】 象限角和終邊相同角的判斷及表示方法[來源:] (1)若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再

3、根據(jù)α所在的象限予以判斷． (2)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角． 1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限　　　　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：選A　當k為偶數(shù)時，α在第一象限；當k為奇數(shù)時，α在第三象限． 2．設(shè)集合M＝，N＝，那么(　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 解析：選B　法一：由于M＝＝{…，－45°，

4、45°，135°，225°，…}， N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N. 法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N. 考點二 弧度制的應(yīng)用 　 [例2]　已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ [自主解答]　(1)∵α

5、＝60°＝，R＝10 cm， ∴l(xiāng)＝Rα＝10×＝ cm. (2)∵扇形的周長為20 cm，∴2R＋l＝20， 即2R＋Rα＝20， ∴S＝R2α＝R(20－2R)＝－R2＋10R ＝－(R－5)2＋25， ∴當R＝5時，扇形的面積最大，此時α＝＝2， 即α＝2弧度時，這個扇形的面積最大． 【互動探究】[來源:] 在本例(1)的條件下，求扇形的弧所在的弧形的面積． 解：設(shè)弧形的面積為S，則S＝S扇－S△＝R2α－R2sin＝×102×－×102×＝50＝cm2.　　　　　 【方法規(guī)律】 應(yīng)用弧度制解決問題的方法 (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單

6、位必須是弧度． (2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決. (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形. 1．設(shè)扇形的周長為8 cm，面積為4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是________． 解析：設(shè)扇形所在圓的半徑為r cm，則扇形的弧長l＝8－2r.[來源: 由題意得S＝(8－2r)×r＝4， 整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2， 即l＝4，故|α|＝＝2. 答案：2 2．已知扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12 cm，求弧長l. 解：設(shè)扇形的半徑為R cm，如圖． 由sin

7、 60°＝，得R＝4 cm. 故l＝|α|·R＝×4＝ cm. 高頻考點 考點三 三角函數(shù)的定義　　 1．三角函數(shù)的定義是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較小，屬中低檔題． 2．高考對三角函數(shù)定義的考查主要有以下幾個命題角度： (1)利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值； (2)三角函數(shù)值的符號和角的位置的判斷； (3)與向量等問題形成交匯問題． [例3]　(1)(2011·江西高考)已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝________. (2)(2012·山東高考) 如

8、圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動．當圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標為___________． (3)(2014·日照模擬)已知點P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，則角θ是第________象限角． [自主解答]　(1)r＝＝，且sin θ＝－，所以sin θ＝＝＝－，所以θ為第四象限角，解得y＝－8. (2) 如圖，連接AP，分別過P，A作PC，AB垂直x軸于C，B點，過A作AD⊥PC于D點．由題意知的長為2. ∵圓的半徑為1，∴∠BAP＝2， 故∠DAP＝2－.

9、 ∴DP＝AP·sin＝－cos 2， ∴PC＝1－cos 2，DA＝APcos＝sin 2， ∴OC＝2－sin 2.故＝(2－sin 2,1－cos 2)． (3)因為點P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0，即 所以θ為第二象限角． [答案]　(1)－8　(2)(2－sin 2,1－cos 2)　(3)二 三角函數(shù)定義問題的常見類型及解題策略 (1)利用定義求三角函數(shù)值．在利用三角函數(shù)的定義求角α的三角函數(shù)值時，若角α終邊上點的坐標是以參數(shù)的形式給出的，則要根據(jù)問題的實際及解題的需要對參數(shù)進行分類討論．

10、任意角的三角函數(shù)值僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與角α終邊上點P的位置無關(guān)． (2)三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷．已知一角的三角函數(shù)值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標軸上的特殊情況． (3)與向量等問題形成的交匯問題．抓住問題的實質(zhì)，尋找相應(yīng)的角度，然后通過解三角形求得解． 1．點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則點Q的坐標為(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：選A　由三角函數(shù)定義可知點Q的坐標(x，y)滿足x

11、＝cos＝－，y＝sin＝. 2．若三角形的兩個內(nèi)角α，β滿足sin αcos β＜0，則該三角形的形狀為________． 解析：∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的兩個內(nèi)角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β為鈍角．故三角形為鈍角三角形． 答案：鈍角三角形 3．若角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為________． 解析：∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m＞0，＝，∴m＝. 答案： —————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1條規(guī)律——三角函數(shù)值的符號規(guī)律 　三角函數(shù)值在

12、各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2個技巧——三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧 　(1)在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上異于原點的任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點，|OP|＝r一定是正值． (2)在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧． 4個注意點——理解角的概念、弧度制及三角函數(shù)線應(yīng)注　意的問題[來源:] 　(1)第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角． (2)角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． (3)要熟記0°～360°間特殊角的弧度表示． (4)要注意三角函數(shù)線是有向線段.