新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第4講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及性質(zhì)

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第4講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及性質(zhì) 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖像(　　) A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝對(duì)稱 C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線x＝對(duì)稱 解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin，因?yàn)閒＝0，所以函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故選A. 答案 A 2.要得到函數(shù)的圖像，只要將函數(shù)的圖像（ ） A. 向左平移1個(gè)單位 B. 向右平移1個(gè)

2、單位 C. 向左平移 個(gè)單位 D.向右平移 個(gè)單位 解析 因?yàn)?所以將向左平移個(gè)單位,故選C. 答案 C 3. 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 (　　)． A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin D．y＝sin 解析　由所給圖象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，則f(x)＝sin的圖象向右

3、平移個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sin＝sin，故選D. 答案　D 4．將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ個(gè)單位，得到函數(shù)y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的圖象，由題意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值為. 答案　C 5． 如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針尖位置P(x，y)．若初始位置為P0，當(dāng)秒針從P0(注：此時(shí)t＝0)正常開始走時(shí)，那么點(diǎn)P的縱

4、坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為 (　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　由題意可得，函數(shù)的初相位是，排除B，D.又函數(shù)周期是60(秒)且秒針按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故選C. 答案　C 6．電流強(qiáng)度I(安)隨時(shí)間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的圖像如圖所示，則當(dāng)t＝秒時(shí)，電流強(qiáng)度是(　　) A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安 解析 由函數(shù)圖像知A＝10，＝－＝. ∴T

5、＝＝，∴ω＝100π. ∴I＝10sin(100πt＋φ)． 又∵點(diǎn)在圖像上， ∴10＝10sin ∴＋φ＝，∴φ＝， ∴I＝10sin . 當(dāng)t＝時(shí)，I＝10sin ＝－5. 答案 A 二、填空題 7．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖像上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2，則ω＝________. 解析 由已知兩相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為2，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝＝2，∴T＝4，∴ω＝＝. 答案 8．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，若x∈，則f(x)的取

6、值范圍是________． 解析　∵f(x)與g(x)的圖象的對(duì)稱軸完全相同，∴f(x)與g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范圍是. 答案　 9．已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則φ的值為________． 解析　令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0時(shí)，有－≤x≤－，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，若是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則必有 解得故φ＝. 答案　 10．在函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞

7、0)的一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x＝時(shí)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)有最小值－，若φ∈，則函數(shù)解析式f(x)＝________. 解析　首先易知A＝，由于x＝時(shí)f(x)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)f(x)有最小值－，所以T＝×2＝，ω＝3.又sin＝，φ∈，解得φ＝，故f(x)＝sin. 答案　sin 三、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cos2x. (1)將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再將周期擴(kuò)大一倍，得到函數(shù)g(x)的圖像，求g(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間． 解 (1)依題意f(x)＝sin2x＋2· ＝sin2x＋cos2x＋1 ＝2sin＋1，

8、 將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)f1(x)＝2sin＋1＝2sin2x＋1的圖像，該函數(shù)的周期為π，若將其周期變?yōu)?π，則得g(x)＝2sinx＋1. (2)函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π， 當(dāng)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 12．已知向量m＝(sin x,1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A＞0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6. (1)求A； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝

9、g(x)的圖象，求g(x)在上的值域． 解　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x ＝A＝A sin. 因?yàn)锳＞0，由題意知A＝6. (2)由(1)知f(x)＝6sin. 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到 y＝6sin＝6sin的圖象； 再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象． 因此g(x)＝6sin. 因?yàn)閤∈，所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域?yàn)閇－3,6]． 13．已知函數(shù)f(x)＝2sin＋cos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，

10、得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin＋sin x ＝cos x＋sin x＝2 ＝2sin， 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)∵將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象， ∴g(x)＝f＝2sin[＋] ＝2sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，sin＝1，g(x)取得最大值2. 當(dāng)x＋＝，即x＝π時(shí)，sin＝－，g(x)取得最小值－1. 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意x∈R，有g(shù)＝g(x)，且當(dāng)x∈時(shí)，g(x)＝－f(x)．求g(x)在區(qū)間[－π，0]上的解析式． 解　(1)f(x)＝cos＋sin2x ＝＋ ＝－sin 2x， 故f(x)的最小正周期為π. (2)當(dāng)x∈時(shí)，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故 ①當(dāng)x∈時(shí)，x＋∈. 由于對(duì)任意x∈R，g＝g(x)， 從而g(x)＝g＝sin ＝sin(π＋2x)＝－sin 2x. ②當(dāng)x∈時(shí)，x＋π∈. 從而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x. 綜合①、②得g(x)在[－π，0]上的解析式為 g(x)＝