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1、
第45練 簡單的線性規(guī)劃問題
訓練目標
(1)掌握不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法;(2)會求目標函數(shù)的最值;(3)了解目標函數(shù)的簡單應用.
訓練題型
(1)求平面區(qū)域面積;(2)求目標函數(shù)最值;(3)求參數(shù)值或參數(shù)范圍;(4)求最優(yōu)解;(5)實際應用問題.
解題策略
(1)根據(jù)不等式(組)畫出可行域;(2)準確理解目標函數(shù)的變量及相關參數(shù)的幾何意義;(3)用好數(shù)形結(jié)合思想,將要解決的問題恰當?shù)呐c圖形相聯(lián)系;(4)注意目標函數(shù)的變形應用.
一、選擇題
1.下列各點中,與點(1,2)位于直線x+y-1=0的同一側(cè)的是( )
A.(0,0) B.(-1
2、,3)
C.(-1,1) D.(2,-3)
2.若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值和最小值分別為( )
A.4和3 B.4和2
C.3和2 D.2和0
3.設正數(shù)x,y滿足-10)的最小值為13,則實數(shù)k等于( )
A.7 B.
3、5或13
C.5或 D.13
6.(20xx·貴州七校聯(lián)考)一個平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(-1,2),(3,4),(4,-2),點(x,y)在這個平行四邊形的內(nèi)部或邊上,則z=2x-5y的最大值是( )
A.16 B.18
C.20 D.36
7.若不等式組表示的平面區(qū)域是面積為的三角形,則m的值為( )
A. B.
C.- D.
8.已知x,y滿足約束條件當目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2時,a2+b2的最小值為( )
A.5 B.4
C. D.2
二、填空題
9.已知實數(shù)x,y滿足則z=2x+y的最大值為__
4、______.
10.(20xx·遼寧五校聯(lián)考)已知A,B是平面區(qū)域內(nèi)的兩個動點,向量n=(3,-2),則·n的最大值是________.
11.(20xx·全國乙卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元.
12.已知函數(shù)f(x)=x2
5、-2x,點集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},則M∩N所構(gòu)成平面區(qū)域的面積為______.
答案精析
1.B [由x+y-1=0,將點(1,2)代入得1+2-1>0,故所選的點代入直線方程大于零在同側(cè),將點(-1,3)代入得,-1+3-1>0成立.]
2.B [在平面直角坐標系中,作出變量x,y的約束條件的區(qū)域,如圖陰影部分所示,
由圖可知,當z=2x+y過點A(1,0)時,z最小,zmin=2,當z=2x+y過點B(2,0)時,z最大,zmax=4,所以z=2x+y的最大值和最小值分別為4和2.故選B.]
3.B
6、[作出x,y所滿足的條件所對應的可行域,如圖所示,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點(2,0)時,z=x-2y取得最大值(不能取到)2,所以z∈(-∞,2),故選B.]
4.A [畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示.作直線l:y=-3x,平移l,從而可知當x=2,y=4-c時,z取得最小值,zmin=3×2+4-c=10-c=5,所以c=5,當x==3,y==1時,z取得最大值,zmax=3×3+1=10.]
5.C [作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,可知z=x+ky(k>0)過點A(,)或B(,)時取得最小值,所以+k=13或+k=13,解得k=5或.]
6.C
7、[平行四邊形的對角線互相平分,如圖,當以AC為對角線時,由中點坐標公式得AC的中點為(,0),也是BD的中點,可知頂點D1的坐標為(0,-4).同理,當以BC為對角線時,得D2的坐標為(8,0),當以AB為對角線時,得D3的坐標為(-2,8),由此作出(x,y)所在的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,由圖可知當目標函數(shù)z=2x-5y經(jīng)過點D1(0,-4)時,取得最大值,最大值為2×0-5×(-4)=20,故選C.]
7.C [畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,由圖可得A(m,),B(m,m),C(2,2)?S=××(2-m)==?m=-,故選C.]
8.B [線性約束條件所表示的可行
8、域如圖陰影部分所示.
由解得
所以z=ax+by在A(2,1)處取得最小值,故2a+b=2,
a2+b2=a2+(2-2a)2=(a-4)2+4≥4.]
9.8
解析 作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示.
由z=2x+y,得y=-2x+z.
平移直線y=-2x+z,由圖象可知當直線y=-2x+z經(jīng)過點C時,在y軸上的截距最大,此時z最大.
由解得即C(3,2),此時z=2×3+2=8.
10.10
解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),=(x2-x1,y2-y1),則·n=3(x2-x1)-2(y2-y1)=3x2-2y2-(3x1-2y1).令z=3x-2y
9、,畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示),可知zmax=6,zmin=-4,則·n的最大值為zmax-zmin=10.
11.216 000
解析 設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,B產(chǎn)品y件,根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件,得線性約束條件為
目標函數(shù)z=2 100x+900y.
作出可行域為圖中的四邊形,包括邊界,頂點為(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),z在(60,100)處取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).
12.2π
解析 由f(x)+f(y)=x2-2x+y2-2y≤2,得(x-1)2+(y-1)2≤4,
于是點集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2}
表示的平面區(qū)域是以(1,1)為圓心,半徑r=2的圓面.
同理,由f(x)-f(y)=x2-2x-y2+2y≥0,
可得(x-y)(x+y-2)≥0,
即或
于是點集N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0}表示的平面區(qū)域就是不等式組所表示的平面區(qū)域.所以M∩N所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖所示,
所以S=·π·r2=2π.