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1、 1 1第4節(jié)雙曲線 課時訓練 練題感 提知能【選題明細表】知識點、方法題號雙曲線的定義1、4、6雙曲線的標準方程3、5、7雙曲線的幾何性質2、8、9、10、16直線與雙曲線的位置關系11、13綜合應用問題12、14、15A組一、選擇題1.設P是雙曲線x216-y220=1上一點,F1,F2分別是雙曲線左右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|等于(B)(A)1 (B)17(C)1或17(D)以上答案均不對解析:由雙曲線定義|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,|PF2|=1或17,但應注意雙曲線的右頂點到右焦點距離最小為c-a=6-4=21,|PF2|=17.故選B.2.(高考湖北
2、卷)已知00,b0)的離心率e=2,且它的一個頂點到較近焦點的距離為1,則雙曲線C的方程為.解析:雙曲線中,頂點與較近焦點距離為c-a=1,又e=ca=2,兩式聯立得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,方程為x2-y23=1.答案:x2-y23=18.(20xx韶關模擬)設點P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點,其中F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,若tan PF2F1=3,則雙曲線的離心率為.解析:依題意得PF1PF2,tan PF2F1=|PF1|PF2|=3,|PF1|=3|PF2|,設|PF1|=k,則|PF2|=3k,|
3、PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,又2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,e=ca=102,即雙曲線的離心率為102.答案:1029.(高考湖南卷)設F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的兩個焦點.若在C上存在一點P,使PF1PF2,且PF1F2=30,則C的離心率為.解析:設點P在雙曲線右支上,由題意,在RtF1PF2中,|F1F2|=2c,PF1F2=30,得|PF2|=c,|PF1|=3c,|PF1|-|PF2|=2a,(3-1)c=2a,e=ca=23-1=3+1.答案:3+110.設F1、F2分別為雙曲線x2a2-
4、y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為.解析:如圖,由題意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=12|PF1|,又|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,ba=43,漸近線方程為y=43x,即4x3y=0.答案:4x3y=0三、解答題11.已知雙曲線x2-y22=1,過點P(1,1)能否
5、作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?解:法一設點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點為(x0,y0),若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.設經過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由y=kx+1-k,x2-y22=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20).x0=x1+x22=k(1-k)2-k2.由題意,得k(1-k)2-k2=1,解得k=2.當k=2時,方程成為2x2-4x+3=0.=16-24=-80,方程沒有實數解.不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,且點P(1,1)是
6、線段AB的中點.法二設A(x1,y1),B(x2,y2),若直線l的斜率不存在,即x1=x2不符合題意,所以由題得x12-y122=1,x22-y222=1,兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)2=0,即2-y1-y2x1-x2=0,即直線l斜率k=2,得直線l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,聯立y=2x-1,x2-y22=1得2x2-4x+3=0,=16-24=-8a0),O為坐標原點,離心率e=2,點M(5,3)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程;(2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點,且OPOQ=0.求1|OP|2+1|OQ|2的值.解:(1)e=2
7、,c=2a,b2=c2-a2=3a2,雙曲線方程為x2a2-y23a2=1,即3x2-y2=3a2.點M(5,3)在雙曲線上,15-3=3a2.a2=4.所求雙曲線的方程為x24-y212=1.(2)設直線OP的方程為y=kx(k0),聯立x24-y212=1,得x2=123-k2,y2=12k23-k2,|OP|2=x2+y2=12(k2+1)3-k2.則OQ的方程為y=-1kx,有|OQ|2=12(1+1k2)3-1k2=12(k2+1)3k2-1,1|OP|2+1|OQ|2=3-k2+(3k2-1)12(k2+1)=2+2k212(k2+1)=16.B組14.已知點P在曲線C1:x216
8、-y29=1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是(C)(A)6(B)8(C)10(D)12解析:依題意知P在曲線C1的左支上時|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值為|PC2|+1,|PR|的最小值為|PC3|-1,則|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.故選C.15.從雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線,切點為T,延長FT交雙曲線右支于點P,若M為線段FP的中點,O為坐標原點,則|MO|-|MT|與b-a的大小關系為(B)(A)|MO|-|MT|b-a(B) |MO|-|MT|=b-a(C)|MO|-|MT|0)的右支上,雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍是.解析:由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=23a,|PF1|=83a,所以83ac+a,23ac-a,整理得53ac,所以ca53,即e53,又e1,所以1e53.答案:1e53
新版高三數學復習 第4節(jié) 雙曲線
