新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 突破點(diǎn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) Word版含答案

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1、 1 1突破點(diǎn)12 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)核心知識(shí)提煉提煉1 圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系在橢圓中:a2b2c2;離心率為e;在雙曲線中:c2a2b2;離心率為e.(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)雙曲線1(a0,b0)的漸近線方程為yx;焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0);雙曲線1(a0,b0)的漸近線方程為yx,焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0,c),F(xiàn)2(0,c)(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x;拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為y.提煉2 弦長(zhǎng)問題(1)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)斜率為k的直線與圓

2、錐曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)時(shí),|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1y2p2;弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角);以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切高考真題回訪回訪1圓錐曲線的定義與方程1(20xx全國(guó)卷)已知雙曲線過點(diǎn)(4,),且漸近線方程為yx,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_y21法一:雙曲線的漸近線方程為yx,可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(diǎn)(4,),164()24,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.法二:漸近線yx過點(diǎn)(4,2),而0

3、,b0)由已知條件可得解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.2(20xx全國(guó)卷改編)已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C,則C的方程為_1(x2)由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r11;圓N的圓心為N(1,0),半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知,曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為1(x2)回訪2圓錐曲線的重要性質(zhì)3(20xx全國(guó)卷)若a1,則雙曲線y21的離心率的

4、取值范圍是()A(,)B(,2)C(1,) D(1,2)C由題意得雙曲線的離心率e.e21.a1,01,112,1e.故選C.4(20xx全國(guó)卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的,則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0,b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0),則直線l的方程為1,即bxcybc0.由題意知2b,解得,即e.故選B.回訪3弦長(zhǎng)問題5(20xx全國(guó)卷)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y28x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|()A3 B6 C9 D12B拋物線y28x的

5、焦點(diǎn)為(2,0),橢圓中c2,又,a4,b2a2c212,從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2,xAxB2,將xA2代入橢圓方程可得|yA|3,由圖象可知|AB|2|yA|6.故選B.熱點(diǎn)題型1圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程題型分析:圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程是高考??純?nèi)容,主要以選擇、填空的形式考查,解題時(shí)分兩步走:第一步,依定義定“型”,第二步,待定系數(shù)法求“值”【例1】(1)(20xx哈爾濱模擬)已知雙曲線1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024108】A.1B1C.y21 Dx21(2)(

6、20xx通化一模)已知拋物線C:y28x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若4,則|QF|()A.B3 C.D2(1)D(2)B(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線yx上由AOF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形得到AOF60,c|OF|2.又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線yx上,tan 60.又a2b24,a1,b,雙曲線的方程為x21.故選D.(2)如圖所示,因?yàn)?,所以,過點(diǎn)Q作QMl垂足為M,則MQx軸,所以,所以|MQ|3,由拋物線定義知|QF|QM|3.方法指津求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型,后計(jì)算”1定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置,從

7、而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程2計(jì)算,即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當(dāng)焦點(diǎn)位置無法確定時(shí),拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0),橢圓常設(shè)mx2ny21(m0,n0),雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn0)變式訓(xùn)練1 (1)(20xx鄭州二模)經(jīng)過點(diǎn)(2,1),且漸近線與圓x2(y2)21相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024109】A.1 B.y21C.1 D.1(2)(20xx衡水模擬)已知A(1,0),B是圓F:x22xy2110(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1(1)A(2)D(1)設(shè)雙曲線的漸

8、近線方程為ykx,即kxy0,由題意知1,解得k,則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)雙曲線方程為1,則有解得故選A.(2)由題意得|PA|PB|,|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2,點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓,且a,c1,b,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為1,故選D.熱點(diǎn)題型2圓錐曲線的幾何性質(zhì)題型分析:圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點(diǎn)之一,建立關(guān)于a,c的方程或不等式是求解的關(guān)鍵【例2】(1)(20xx全國(guó)卷)已知F是雙曲線C:x21的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為()A. B.C. D.(2)(20xx

9、合肥二模)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為e.P是橢圓上一點(diǎn),滿足PF2F1F2,點(diǎn)Q在線段PF1上,且2.若0,則e2()A.1 B2C2 D.2(1)D(2)C(1)因?yàn)镕是雙曲線C:x21的右焦點(diǎn),所以F(2,0)因?yàn)镻Fx軸,所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2,yP)因?yàn)镻是C上一點(diǎn),所以41,解得yP3,所以P(2,3),|PF|3.又因?yàn)锳(1,3),所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1,所以SAPF|PF|131.故選D.(2)由PF2F1F2可得P,不妨設(shè)P,又由2得Q,則0,整理得b42a2c2,(a2c2)22a2c2,整理得c44a2c2a40,即e44e210,又橢圓

10、離心率0e1,解得e22,故選C.方法指津1求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法:把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零,分解因式可得(2)用法:可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程變式訓(xùn)練2 (1)(20xx全國(guó)卷)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1,則E的離心率為()A. B.C. D2(2)(名師押題)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過點(diǎn)F2的直線與橢圓交

11、于A,B兩點(diǎn),若F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則橢圓的離心率為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024110】A. B2C.2 D.(1)A(2)D(1)法一:如圖,因?yàn)镸F1與x軸垂直,所以|MF1|.又sinMF2F1,所以,即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|,所以b2a2,所以c2b2a22a2,所以離心率e.法二:如圖,因?yàn)镸F1x軸,所以|MF1|.在RtMF1F2中,由sinMF2F1得tanMF2F1.所以,即,即,整理得c2aca20,兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)(2)設(shè)|F1F2|2c,|AF1|m,若F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,|AB|AF1|m,|BF1|m.由橢圓的定義可知F1AB的周長(zhǎng)為4a,4a2mm,m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2,4(2)2a24(1)2a24c2,e296,e.

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