新編全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題28 幾何證明選講含解析

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1、【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題28 幾何證明選講(含解析)一、填空題1(文)如圖,在ABC中,A60,ACB70,CF是ABC的邊AB上的高,F(xiàn)PBC于點(diǎn)P,F(xiàn)QAC于點(diǎn)Q,則CQP的大小為_答案50解析由PFBC,F(xiàn)QAC,得C、Q、F、P四點(diǎn)共圓,所以CQPCFPB180(AC)180(6070)50.(理)如圖,已知PA是圓O的切線,切點(diǎn)為A,PO交圓O于B、C兩點(diǎn),AC,PAB30,則線段PB的長為_答案1解析因?yàn)镻A是圓O的切線,PAB30,由弦切角定理可得ACBPAB30,而CAB90,ABC60,所以ABBC,又因?yàn)锳C,所以AB1

2、,BC2,PBA120,所以APBPAB30,PBAB1.2(文)如圖,已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F,E是AB延長線上一點(diǎn),且DFCF,AFFBBE421.若CE與圓相切,則線段CE的長為_答案解析設(shè)BEa,則AF4a,F(xiàn)B2a,根據(jù)相交弦定理:DFFCAFFB,則28a2,a2,由切割線定理:EC2BEAE7a2,EC2,EC.(理)(20xx湖南理,12)如圖,已知AB、BC是O的兩條弦,AOBC,AB,BC2,則O的半徑等于_答案解析本題考查勾股定理、相交弦定理設(shè)線段AO交BC于點(diǎn)D,延長AO交圓于另外一點(diǎn)E,則BDDC,在三角形ABD中由勾股定理可得AD1,由相交弦定理可得BDD

3、CADDE,DE2,則直徑AE3r,故填.3(20xx湖北理,15)如圖,PA是圓的切線,A為切點(diǎn),PBC是圓的割線,且BC3PB,則_.答案解析設(shè)PBa,則BC3a,由PA2PBPC可得PA2a;又因?yàn)镻AB PCA,所以由可解得.故本題正確答案為.4(文)如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓O相交于D,若PA3,PDDB916,則PD_,AB_.答案,4解析由于PDDB916,設(shè)PD9a,則DB16a,根據(jù)切割線定理有PA2PDPB有a,所以PD,在直角PBA中,AB2PB2AP216,所以AB4.(理) (20xx重慶理,14)如圖,圓O的弦AB,CD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作圓

4、O的切線與DC的延長線交于點(diǎn)P,若PA6,AE9,PC3,CEED21,則BE_.答案2解析此題主要考查切割線定理,屬于簡(jiǎn)單題型由切割線定理知PA2PCPD,易得PD12,故CDPDPC9,因?yàn)镃EED21,故CE6,ED3.由相交弦定理可得AEEBCEED,又因?yàn)锳E9,CE6,ED3,易得EB2.5(文)(20xx廣東理,15)如圖,已知AB是圓O的直徑,AB4,EC是圓O的切線,切點(diǎn)為C,BC1.過圓心O作BC的平行線,分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P,則OD_.答案8解析本題考查直線與圓、直角三角形的射影定理,屬于中檔題如下圖所示,連接OC,因?yàn)镺DBC,又BCAC,所以O(shè)PAC,又O為A

5、B線段的中點(diǎn),所以O(shè)PBC,在RtOCD中,OCAB2,由直角三角形的射影定理可得OC2OPOD,所以O(shè)D8.(理)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在線段AB上,且AEEB,連接DE、AC,若AC與DE相交于點(diǎn)F,AEF的面積為1cm2,則AFD的面積為_cm2.答案3解析ABCD,AEFCDF,3,3,SAFD3SAFE3cm2.6(文)如圖,ABC為圓的內(nèi)接三角形,BD為圓的弦,且BDAC過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.若ABAC,AE6,BD5,則線段CF的長為_答案解析如圖所示:AE為圓的切線,AE2BEED,設(shè)BEx,36x(5x),x25x360,x4.AB

6、AC,ACBABC,又EABACB,EABABC,AEBC,又EBAC,四邊形BCAE為平行四邊形,BCAE6,ACBE4,DFBAFC,F(xiàn)C.(理)如圖,在ABC中,ACB90,BAC60,過C作ABC的外接圓的切線CD,BDCD于D,BD與外接圓交于點(diǎn)E,已知DE5,則ABC的外接圓的半徑為_答案10解析利用切割線定理和正弦定理求解因?yàn)镃D是圓的切線,所以BCDBAC60,所以DBDC又由切割線定理可得DC2DEDB5DC,則DC5,所以BC2DC10.在直角三角形ABC中,由正弦定理可得2RAB20,所以ABC的外接圓的半徑R10.二、解答題7. (20xx遼寧葫蘆島市一模)如圖,P是O

7、外一點(diǎn),PA是切線,A為切點(diǎn),割線PBC與O相交于點(diǎn)B,C,PC2PA,D為PC的中點(diǎn),AD的延長線交O于點(diǎn)E,證明: (1)BEEC;(2)ADDE2PB2.證明(1)連接AB,AC由題設(shè)知PAPD,故PADPDA因?yàn)镻DADACDCA,PADBADPAB,DCAPAB,所以DACBAD,因此BEEC(2)由切割線定理得PA2PBPC因?yàn)镻APDDC,所以PD2(PDBD)2PD,PD2BD,DC2PB,BDPB由相交弦定理得ADDEBDDC,所以ADDE2PB2.8(文)(20xx沈陽市質(zhì)檢)如圖,ABC內(nèi)接于圓O,AD平分BAC交圓O于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作圓O的切線交直線AD于點(diǎn)E.(1)求證

8、:EBDCBD;(2)求證:ABBEAEDC解析(1)BE為圓O的切線,EBDBAD,又AD平分BAC,BADCAD,EBDCAD又CBDCAD,EBDCBD(2)在EBD和EAB中,EE,EBDEAB,EBDEAB,ABBEAEBD,又AD平分BAC,BDDC,故ABBEAEDC(理)(20xx唐山市二模)如圖,E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn),過AD延長線上一點(diǎn)F作圓O的切線FG,G為切點(diǎn),已知EFFG.求證:(1)DEFEAF;(2)EFCB分析(1)欲證DEFEAF,可證兩個(gè)三角形有兩內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等,亦可證兩個(gè)三角形有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,夾角對(duì)應(yīng)相等,由已知條件,F(xiàn)G、FA分別是圓的切線、割線

9、及EFFG可知兩個(gè)三角形有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,關(guān)鍵是其夾角相等,而夾角是公共角,第一問獲證(2)欲證EFCB,由圓想到可證角相等(同位角、內(nèi)錯(cuò)角),注意利用圓的有關(guān)角的性質(zhì)和(1)的結(jié)論解析(1)由切割線定理得FG2FAFD又EFFG,所以EF2FAFD,即.因?yàn)镋FADFE,所以DEFEAF.(2)由(1)得FEDFAE.因?yàn)镕AEDABDCB,所以FEDBCD,所以EFCB9(文) (20xx洛陽市質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖,AB是O的切線,B為切點(diǎn),ADE是O的割線,C是O外一點(diǎn),且ABAC,連接BD,BE,CD,CE,CD交O于F,CE交O于G.(1)求證:BECDBDCE;(2)求證:FGAC證明

10、(1)由已知得ABDAEB,而BADEAB,ABDAEB,所以,又ABAC,所以BDAEABBE,且,又CADEAC,ADCACE,所以,即DCAEACCE.由兩式相除可得BECDBDCE.(2)由ADCACE得,ACDAEC,又D,F(xiàn),G,E四點(diǎn)共圓,GFCAEC,因此GFCACD,所以FGAC(理)(20xx河南八市質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知BC為圓O的直徑,點(diǎn)A為圓周上一點(diǎn),ADBC于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作圓O的切線交BC的延長線于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作BE垂直PA的延長線于點(diǎn)E.求證:(1)PAPDPEPC;(2)ADAE.證明(1)因?yàn)锳DBP,BEAP,所以APDBPE,所以,所以APPEPDPB,又因?yàn)镻A

11、,PB分別為圓O的切線和割線,所以PA2PBPC,所以,所以PAPDPEPC(2)連接AC,DE,因?yàn)锽C為圓O的直徑,所以BAC90,即ABAC,因?yàn)?,所以ACDE,所以ABDE,又因?yàn)锽EAP,ADPB,所以A,D,B,E四點(diǎn)共圓且AB為直徑,又因?yàn)锳BDE,所以ADAE.10圓的兩條弦AB、CD交于點(diǎn)F,從F點(diǎn)引BC的平行線和直線DA的延長線交于點(diǎn)P,再從點(diǎn)P引這個(gè)圓的切線,切點(diǎn)是Q.求證:PFPQ.分析要證PFPQ,因?yàn)镻Q為圓的切線,PQ2PAPD,故只須證PF2PAPD,觀察圖形及條件可以發(fā)現(xiàn),PF與PA在APF中,PF與PD在EPD中,若能證得這兩個(gè)三角形相似,則問題獲解,由于兩

12、個(gè)三角形有公共角APF,只須再找一角相等即可由圓的幾何性質(zhì)不難證得AFPADF,故APFFPD證明因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)共圓,所以ADFABC因?yàn)镻FBC,所以AFPABC,所以AFPADF.又因?yàn)锳PFFPD,所以APFFPD,所以,所以PF2PAPD因?yàn)镻Q與圓相切,所以PQ2PAPD所以PF2PQ2,所以PFPQ.11(文)如圖,CD為ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BCAEDCAF,B、E、F、C四點(diǎn)共圓(1)證明:CA是ABC外接圓的直徑;(2)若DBBEEA,求過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值解析(1)因?yàn)?/p>

13、CD為ABC外接圓的切線,所以DCBA,由題設(shè)知,故CDBAEF,所以DBCEFA因?yàn)锽、E、F、C四點(diǎn)共圓,所以CFEDBC,故EFACFE90,所以CBA90,因此CA是ABC外接圓的直徑(2)連接CE,因?yàn)镃BE90,所以過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的直徑為CE,由DBBE,有CEDC,又BC2DBBA2DB2,所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2,故過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.(理)(20xx唐山市一模)如圖,AE是圓O的切線,A是切點(diǎn),ADOE于D,割線EC交圓O于B、C兩點(diǎn)(1)證明:O、D、B、C四點(diǎn)共圓;(2)設(shè)DBC50,

14、OBC30,求OEC的大小分析(1)由EA、EC分別為切線和割線,可利用切割線定理,由EA為切線,ADEO,在RtEOA中可利用射影定理,這樣可得到邊的比例關(guān)系式要證O、D、B、C四點(diǎn)共圓,只需證明對(duì)角互補(bǔ)或外角等于內(nèi)對(duì)角,結(jié)合條件與結(jié)論可考慮證明三角形相似,即BDEOCE.(2)給出DBC與OBC的大小,欲求OEC的大小,由外角定理OECDBCBDE,由OBOC知OBCOCB,溝通兩者的橋梁是(1)的結(jié)論,BDEOCB,于是獲解解析(1)連接OA、OC,則OAEA由射影定理得EA2EDEO.由切割線定理得EA2EBEC,故EDEOEBEC,即,又OECOEC,所以BDEOCE,所以EDBOC

15、E.因此O,D,B,C四點(diǎn)共圓(2)因?yàn)镺ECOCBCOE180,結(jié)合(1)得OEC180OCBCOE180OBCDBE180OBC(180DBC)DBCOBC20.12(文) (20xx江西質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖,D,E分別為ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與ABC的頂點(diǎn)重合已知ADABAEAC(1)求證:B,C,D,E四點(diǎn)共圓;(2)若三角形ABC是邊長為3的正三角形,且AD1,求B,C,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑解析(1)因?yàn)锳DABAEAG,所以,所以ADEACB,所以ADEACB,又ADEBDE180,所以ACBBDE180,所以B,C,D,E四點(diǎn)共圓(2)依題意:BCED是等腰梯形,且高為,設(shè)

16、B,C,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為r,則,解得r,B,C,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為.(理)(20xx唐山市一模)如圖,圓周角BAC的平分線與圓交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D的切線與弦AC的延長線交于點(diǎn)E,AD交BC于點(diǎn)F.(1)求證:BCDE;(2)若D,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,且,求BAC解析(1)證明:因?yàn)镋DCDAC,DACDAB,DABDCB,所以EDCDCB,所以BCDE.(2)解:因?yàn)镈,E,C,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,所以CFACED,由(1)知ACFCED,所以CFAACF.設(shè)DACDABx,因?yàn)?,所以CBABAC2x,所以CFAFBAFAB3x,在等腰ACF中,CFAACFCAF7x,則x,所以BAC2x.方法點(diǎn)撥這一部分主要命題方式是將圓的有關(guān)角、比例線段或圓內(nèi)接四邊形和三角形相似結(jié)合,求角,求線段長等,注意依據(jù)條件和結(jié)論選擇思維方向,如:給出切線時(shí),常作輔助線是作過切點(diǎn)的半徑,考慮方向是切割線定理,直角三角形射影定理、弦切角與圓周角的互化等;給出平行線時(shí),主要考慮角的關(guān)系及三角形相似;有關(guān)圓的問題,求線段長時(shí),??紤]相交弦定理、切割線定理、射影定理、垂徑定理;證明比例線段,主要通過三角形相似

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