新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)

《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 【考綱下載】 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. 1．仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． 2．方位角 從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)． 3．方向角 相對(duì)于某一正方向的水平角 (1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向； (3)南偏西等其他方向角類似． 　　 4．坡角與坡度 (1)坡角：坡面與水

2、平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)； (2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比． 1．“仰角、俯角是相對(duì)水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的”．這種說(shuō)法正確嗎？ 提示：正確． 2．“方位角和方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系”，這種說(shuō)法是否正確？ 提示：正確． 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為(　　) A．α>β　　　　　　　 　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：選B　根據(jù)仰角和俯角的定義可知α＝β

3、. 2．(教材習(xí)題改編)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B.a km C.a km D．2a km 解析：選B　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2， 故|AB|＝a. 3．在上題的條件下，燈塔A在燈塔B的方向?yàn)?　　) A．北偏西5° B．北偏西10° C．

4、北偏西15° D．北偏西20° 解析：選B　由題意可知∠A＝∠B＝30°，又CB與正南方向線的夾角為40°，故所求角為40°－30°＝10°， 即燈塔A在燈塔B的方向?yàn)楸逼?0°. 4．一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°，距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為_(kāi)_______海里/小時(shí)． 解析：由題意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得＝，解得MN＝34海里，故這只船航行的速度為海里＝ 海里/小時(shí)．[來(lái)源:] 答案： 5．某運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)

5、幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 米(如圖所示)，則旗桿的高度為_(kāi)_______米． 解析：如圖，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°. 由正弦定理得＝，[來(lái)源:] 所以BC＝20×＝20 m， 在Rt△CBD中，CD＝BCsin 60°＝20×＝30 m. 答案：30 數(shù)學(xué)思想(六) 數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用 三角函數(shù)在實(shí)際生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識(shí)為核心，以測(cè)量、航海

6、、筑路、天文等為代表的實(shí)際應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的熱點(diǎn)題型．求解此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)審題，提煉題目信息，畫(huà)出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)求解．[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)] [典例]　(2014·廣州模擬)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A的北偏東45°且與點(diǎn)A相距40 海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A的北偏東(45°＋θ)其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且與點(diǎn)A相距10 海里的位置C. (1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí)

7、)； (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由． [解題指導(dǎo)]　根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，然后利用正、余弦定理求解．[來(lái)源:] [解]　 (1)如圖所示，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sin θ＝.因?yàn)?＜θ＜90°，所以cos θ＝＝， BC＝ ＝ 10. 所以該船的行駛速度為＝15 海里/小時(shí)． (2) 法一：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點(diǎn)為D. 由題設(shè)，得x1＝y(tǒng)1＝AB＝40， x2＝ACcos∠CAD＝10·cos(45°－θ)＝30，

8、 y2＝ACsin∠CAD＝10·sin(45°－θ)＝20. 所以過(guò)點(diǎn)B，C的直線l的斜率k＝＝2， 直線l的方程為y＝2x－40. 又點(diǎn)E(0，－55)到直線l的距離d＝＝3＜7， 所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域． 法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝. 所以sin∠ABC＝＝ ＝. 在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝＝＝40. 由于AE＝55＞40＝AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE＝AE－AQ＝15. 過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離． 在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQ

9、E＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7. 所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域． [題后悟道]　1.對(duì)于問(wèn)題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長(zhǎng)，除以行駛時(shí)間即可求得速度；對(duì)于問(wèn)題(2)，延長(zhǎng)BC交直線AE于點(diǎn)Q，然后在△ABQ中，由正弦定理求得AQ的長(zhǎng)、判斷點(diǎn)Q的位置，最后在△QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷． 2．解此類問(wèn)題，根據(jù)題意合理畫(huà)出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運(yùn)用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識(shí)結(jié)合有助于問(wèn)題的解決． [來(lái)源:] 某海域內(nèi)一觀測(cè)站A， 某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東5

10、0°且與A相距80海里的位置B，經(jīng)過(guò)1小時(shí)又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東50°＋θ其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且與A相距60海里的位置C. (1)求該船的行駛速度； (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛，求船在行駛過(guò)程中離觀測(cè)站A的最近距離． 解：(1)如圖，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sin θ＝. 由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝ ＝. 由余弦定理得 BC＝＝40海里/小時(shí)， 所以該船的行駛速度為40海里/小時(shí)． (2)在△ABC中，由正弦定理得＝， 則sin B＝＝60×＝， 過(guò)A作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于D，則AD的長(zhǎng)是船離觀測(cè)站的最近距離． 在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝80×＝15 海里， 故船在行駛過(guò)程中離觀測(cè)站A的最近距離為15 海里.