新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第六節(jié)正弦定理和余弦定理突破熱點(diǎn)題型

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 考點(diǎn)一 利用正、余弦定理解三角形 　 [例1]　(1)(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin ∠BAC＝(　　) A.　　 　B.　 　　C.　　 　D. (2)(2013·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若b＋c＝2a, 3sin A＝5sin B，則角C＝________. (3)(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAM＝，則 sin∠BAC＝________. [自主解答]　(1)由余弦定理可得AC2＝9

2、＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝. (2)由3sin A＝5sin B，可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，則b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，又C∈(0，π)，故C＝. (3)在△ABM中，由正弦定理得＝＝，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝. [答案]　(1)C　(2)　(3) 【方法規(guī)律】 正、余弦定理的應(yīng)用原則 (1)正弦定理是一個(gè)連比等式，在運(yùn)用此定理時(shí)，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈

3、活運(yùn)用． (2)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用． 1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則∠B＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，∴sin Bsin(A＋C)＝sin B. 又∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝， ∴B＝或.又∵a＞b，∴A＞B， ∴B＝. 2．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,23cos

4、2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5[來源:] 解析：選D　由23cos2A＋cos 2A＝0，得25cos2A＝1，因?yàn)锳為銳角，所以cos A＝.又由a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝b2＋36－b，整理得5b2－12b－65＝0， 解得b＝－(舍)或b＝5.即b＝5. 考點(diǎn)二 利用正、余弦定理判斷三角形的形狀 　 [例2]　在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大?。? (2)若sin

5、B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀． [自主解答]　(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，又0＜c＜π，所以A＝120°. (2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝. 因?yàn)?＜B＜，0＜C＜， 故B＝C＝，[來源:] 所以△ABC是等腰鈍角三角形． 【互動(dòng)探究】 若將本例(2)中的條件改為“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”

6、，試判斷△ABC的形狀． 解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B.　　　　 在△ABC中，0＜2A＜2π，

7、0＜2B＜2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或 A＋B＝. ∴△ABC為等腰或直角三角形 【方法規(guī)律】 判定三角形形狀的兩種常用途徑 (1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷； (2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷． (2013·陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形　　　　　　　　B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定

8、 解析：選A　依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，邊化角選用正弦定理，有sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，則sin(B＋C)＝sin2A，由三角形內(nèi)角和及互補(bǔ)角的意義，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以A＝.即△ABC為直角三角形. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 與三角形面積有關(guān)的問題　　 1．正、余弦定理與三角形面積的綜合問題是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對(duì)此類問題的考查主要有以下兩個(gè)命題角度： (1)求三角形的面積； (2)已知三角形的面積解三角形． [例3]　(1)(2013·

9、新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　)[來源:] A．2＋2　　　　　　　　B.＋1 C．2－2 D.－1 (2)(2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. ①求角A的大??； ②若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值． [自主解答]　(1)由正弦定理知＝，結(jié)合條件得c＝＝2.又sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC

10、的面積S＝bcsin A＝＋1. (2)①由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2 A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)． 因?yàn)?

11、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式． (2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化． 1．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. 解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因?yàn)锽＝π－A－C，[來源:] 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C

12、＝0. 由于sin C≠0，所以sin＝. 又0＜A＜π，故A＝. (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2. 2．(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B. 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C. 所以sin Bsi

13、n C＝cos Bsin C， 又C∈(0，π)，所以sin C≠0，故sin B＝cos B.[來源:] 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立． 因此△ABC面積的最大值為＋1. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1組關(guān)系——三角形中的邊角關(guān)系 　在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B?cos A＜cos B. 2種途徑——判斷三角形形狀的途徑 　根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑： (1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換． 2個(gè)注意點(diǎn)——解三角形應(yīng)注意的問題 　(1)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進(jìn)行分類討論． (2)在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解.