新版一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案:第8章 第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 1

2、 1 第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 [考綱傳真] 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩平行直線間的距離. 1.兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2. ②當(dāng)直線

3、l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設(shè)為k1,k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2=-1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2. 2.兩條直線的交點的求法 直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解. 3.距離 P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點之間的距離|P1P2| d= 點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離 d= 平行線Ax+By+C1=0與A

4、x+By+C2=0間的距離 d= 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時,一定有k1=k2?l1∥l2.(  ) (2)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于-1.(  ) (3)點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為.(  ) (4)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),若直線l1⊥l2,則A1A2+B1B2=0.(  ) (5)若點P,Q分別是兩條平行線l1,l2上的任意一點,則P,Q兩點的最小距離就是兩條平

5、行線的距離.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.(教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a等于(  ) A.     B.2- C.-1 D.+1 C [由題意得=1,即|a+1|=, 又a>0,∴a=-1.] 3.直線l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,則直線l恒過定點________. (2,-2) [直線l的方程變形為a(x+y)-2x+y+6=0, 由解得x=2,y=-2, 所以直線l恒過定點(2,-2).] 4.已知直線l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:x-2y=0.若l1⊥l2

6、,則實數(shù)a的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號:57962375】 2 [由=-2,得a=2.] 5.(20xx·唐山調(diào)研)若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2間的距離為________.  [由l1∥l2,得a(a-2)=1×3, ∴a=3或a=-1. 但a=3時,l1與l2重合,舍去, ∴a=-1,則l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0. 故l1與l2間的距離d==.] 兩條直線的平行與垂直  (1)設(shè)a∈R,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(  ) A.

7、充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則直線xsin A+ay+c=0與直線bx-ysin B+sin C=0的位置關(guān)系是(  ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 (1)A (2)B [(1)當(dāng)a=1時,顯然l1∥l2, 若l1∥l2,則a(a+1)-2×1=0, 所以a=1或a=-2. 所以a=1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件. (2)在△ABC中,由正弦定理=, 得·=1. 又xsin A+ay+c=0的斜率k1=-, bx-ysin B+sin

8、C=0的斜率k2=, 因此k1·k2=·=-1,兩條直線垂直.] [規(guī)律方法] 1.判定直線間的位置關(guān)系,要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,還要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件. 2.在判斷兩直線平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論,可避免討論.另外當(dāng)A2B2C2≠0時,比例式與,的關(guān)系容易記住,在解答選擇、填空題時,有時比較方便. [變式訓(xùn)練1] 已知過點A(-2,m)和點B(m,4)的直線為l1,直線2x+y-1=0為l2,直線x+ny+1=0為l3.若l1∥l2,l2⊥l3,則實數(shù)m

9、+n的值為(  ) A.-10   B.-2   C.0   D.8 A [∵l1∥l2,∴kAB==-2,解得m=-8. 又∵l2⊥l3,∴×(-2)=-1, 解得n=-2,∴m+n=-10.] 兩直線的交點與距離問題  (1)直線l過點P(-1,2)且到點A(2,3)和點B(-4,5)的距離相等,則直線l的方程為________. (2)過點P(3,0)作一直線l,使它被兩直線l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的線段AB以P為中點,求此直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號:57962376】 (1)x+3y-5=0或x=-1 [法一:當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l

10、的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0. 由題意知=, 即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-, ∴直線l的方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,也符合題意. 法二:當(dāng)AB∥l時,有k=kAB=-,直線l的方程為 y-2=-(x+1),即x+3y-5=0. 當(dāng)l過AB中點時,AB的中點為(-1,4), ∴直線l的方程為x=-1. 故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.] (2)設(shè)直線l與l1的交點為A(x0,y0),則直線l與l2的交點B(6-x0,-y0), 2分 由題意知解得 6分

11、 即A,從而直線l的斜率k==8, 10分 直線l的方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0. 12分 [規(guī)律方法] 1.求過兩直線交點的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程;也可利用過交點的直線系方程,再求參數(shù). 2.利用距離公式應(yīng)注意:①點P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等. [變式訓(xùn)練2] 若直線l過點A(1,-1)與已知直線l1:2x+y-6=0相交于B點,且|AB|=5,求直線l的方程. [解]?、龠^點A(1,-1)與y軸平行的

12、直線為x=1. 解方程組求得B點坐標(biāo)為(1,4), 此時|AB|=5,即直線l的方程為x=1. 4分 ②設(shè)過點A(1,-1)且與y軸不平行的直線為y+1=k(x-1), 解方程組 得x=且y=(k≠-2,否則l與l1平行). 則B點坐標(biāo)為. 8分 又A(1,-1),且|AB|=5, 所以+=52,解得k=-. 10分 因此y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0. 綜上可知,所求直線的方程為x=1或3x+4y+1=0. 12分 對稱問題  (1)平面直角坐標(biāo)系中直線y=2x+1關(guān)于點(1,1)對稱的直線方程是________. (2)光線從A(-4,-2)點射

13、出,到直線y=x上的B點后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的C點,又被y軸反射,這時反射光線恰好過點D(-1,6),則BC所在的直線方程是________. (1)y=2x-3 (2)10x-3y+8=0 [(1)法一:在直線l上任取一點P′(x,y),其關(guān)于點(1,1)的對稱點P(2-x,2-y)必在直線y=2x+1上, ∴2-y=2(2-x)+1,即2x-y-3=0. 因此,直線l的方程為y=2x-3. 法二:由題意,l與直線y=2x+1平行,設(shè)l的方程為2x-y+c=0(c≠1),則點(1,1)到兩平行線的距離相等, ∴=,解得c=-3. 因此所求直線l的方程為y=2x-3. 法三

14、:在直線y=2x+1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關(guān)于點(1,1)對稱的點M(2,1),B關(guān)于點(1,1)對稱的點N(1,-1).由兩點式求出對稱直線MN的方程為=,即y=2x-3. (2)作出草圖,如圖所示,設(shè)A關(guān)于直線y=x的對稱點為A′,D關(guān)于y軸的對稱點為D′, 則易得A′(-2,-4),D′(1,6). 由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點B與C. 故BC所在的直線方程為=,即10x-3y+8=0.] [遷移探究1] 在題(1)中“將結(jié)論”改為“求點A(1,1)關(guān)于直線y=2x+1的對稱點”,則結(jié)果如何? [解] 設(shè)點A(1,1)關(guān)于直線y=2x

15、+1的對稱點為A′(a,b), 2分 則AA′的中點為,4分 所以解得 10分 故點A(1,1)關(guān)于直線y=2x+1的對稱點為. 12分 [遷移探究2] 在題(1)中“關(guān)于點(1,1)對稱”改為“關(guān)于直線x-y=0對稱”,則結(jié)果如何? [解] 在直線y=2x+1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關(guān)于直線x-y=0的對稱點為M(1,0),點B關(guān)于直線x-y=0的對稱點為N(3,1), 6分 ∴根據(jù)兩點式,得所求直線的方程為=,即x-2y-1=0. 12分 [規(guī)律方法] 1.第(1)題求解的關(guān)鍵是利用中點坐標(biāo)公式,將直線關(guān)于點的中心對稱轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱. 2.解決軸

16、對稱問題,一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點問題,關(guān)鍵是要抓住兩點,一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直;二是已知點與對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上. [變式訓(xùn)練3] (20xx·廣州模擬)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x+y-2=0對稱的直線方程是(  ) A.x+2y-1=0  B.2x-y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 B [由題意得直線x-2y+1=0與直線x+y-2=0的交點坐標(biāo)為(1,1). 在直線x-2y+1=0上取點A(-1,0), 設(shè)A點關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點為B(m,n), 則解得 故所求直線的方程為=,即2x-y-1=0.] [思想

17、與方法] 1.兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合.對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1,l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1·k2=-1.若有一條直線的斜率不存在,那么另一條直線的斜率一定要特別注意. 2.對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱,點與線的對稱,利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法. [易錯與防范] 1.判斷兩條直線的位置關(guān)系時,首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.兩條直線都有斜率,可根據(jù)判定定理判斷,若直線無斜率時,要單獨考慮. 2.(1)求點到直線的距離時,應(yīng)先化直線方程為一般式; (2)求兩平行線之間的距離時,應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的 系數(shù)對應(yīng)相等.

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