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高考理科數(shù)學(xué)考點分類自測:拋物線
一、選擇題
1.已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線y2-x2=2的上焦點,則a等于 ( )
A.1 B.4
C.8 D.16
2.拋物線y=-4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)是 ( )
A.- B.-
C. D.
3.已
3、知F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A. B.1
C. D.
4.已知拋物線y2=2px,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相交C.相切 D.不確定
5.已知F為拋物線y2=8x的焦點,過F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,則||FA|-|FB||的值等于 ( )
A.4 B.
4、8
C.8 D.16
6.在y=2x2上有一點P,它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小,則點P的坐標(biāo)是 ( )
A.(-2,1) B.(1,2)
C.(2,1) D.(-1,2)
二、填空題7.以拋物線x2=16y的焦點為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為________.
8.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸,拋物線上一點Q(-3,m)到焦點的距離是5,則拋物線的方程為________.
9.已知拋物線y2=4x與直線2x
5、+y-4=0相交于A、B兩點,拋物線的焦點為F,那么| | +| | =________.
三、解答題
10.根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)拋物線的焦點是雙曲線 16x2-9y2=144的左頂點;
(2)過點P(2,-4).
11.已知點A(-1,0),B(1,-1),拋物線C:y2=4x,O為坐標(biāo)原點,過點A的動直線l交拋物線C于M,P兩點,直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量與的夾角為,求△POM的面積.
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(0,-1),B點在直線y=-3上,M點滿足 ∥ , · = · ,M點的
6、軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)P為C上的動點,l為C在P點處的切線,求O點到l距離的最小值.
詳解答案
一、選擇題
1.解析:根據(jù)拋物線方程可得其焦點坐標(biāo)為(0,),雙曲線的上焦點為(0,2),依題意則有
=2, 解得a=8.
答案:C
2.解析:拋物線方程可化為x2=-,其準(zhǔn)線方程為y=.設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知-y0=1?y0=-.
答案:B
3.解析:根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理,得線段AB中點到y(tǒng)軸的距離為:(|AF|+|BF|)-=-=.
答案:C
4.解析:設(shè)拋物線焦點弦為AB,中點為M,準(zhǔn)線l,A
7、1、B1分別為A、B在直線l上的射影,則|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是M到l的距離d=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|=半徑,故相切.
答案:C
5.解析:依題意F(2,0),所以直線方程為y=x-2由,消去y得x2-12x+4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|===8.
答案:C
6.解析:如圖所示,直線l為拋物線y=2x2的準(zhǔn)線,F(xiàn)為其焦點,PN⊥l,AN1⊥l,由拋物線的定義知,|PF|=|PN|,∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|,當(dāng)
8、且僅當(dāng)A、P、N三點共線時取等號.∴P點的橫坐標(biāo)與A點的橫坐標(biāo)相同即為1,則可排除A、C、D.
答案:B
二、填空題7.解析:拋物線的焦點為F(0,4),準(zhǔn)線為y=-4,則圓心為(0,4),半徑r=8.所以,圓的方程為x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
8.解析:設(shè)拋物線方程為x2=ay(a≠0),
則準(zhǔn)線為y=-.
∵Q(-3,m)在拋物線上,
∴9=am.
而點Q到焦點的距離等于點Q到準(zhǔn)線的距離,
∴|m-(-)|=5.將m=代入,
得|+|=5,解得,a=±2,或a=±18,
∴所求拋物線的方程為x2=±2y,或x2=±18y.
答案:x2
9、=±2y或x2=±18y
9.解析:由,消去y,得x2-5x+4=0(*),方程(*)的兩根為A、B兩點的橫坐標(biāo),故x1+x2=5,因為拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),所以| | +| | =(x1+1)+(x2+1)=7
答案:7
三、解答題
10.解:雙曲線方程化為-=1,
左頂點為 (-3,0),
由題意設(shè)拋物線方程為
y2=-2px(p>0),則-=-3,
∴p=6,∴拋物線方程為y2=-12x.
(2)由于P(2,-4)在第四象限且拋物線對稱軸為坐標(biāo)軸,可設(shè)拋物線方程為y2=mx或x2=ny,代入P點坐標(biāo)求得m=8,n=-1,
∴所求拋物線方程為y2=8x或
10、x2=-y.
11.解:設(shè)點M(,y1),P(,y2),
∵P,M,A三點共線,
∴kAM=kPM,
即=,
即=,
∴y1y2=4.
∴ · =·+y1y2=5.
∵向量 與 的夾角為,
∴| |·| |·cos=5.
∴S△POM=| | ·| | ·sin=.
12.解:(1)設(shè)M(x,y)由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y),
=(x,-2).
再由題意可知(+ )·=0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
所以曲線C的方程為y=x2-2.
(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線C:y=x2-2上一點,
因為y′=x,所以l的斜率為x0.
因此曲線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-x=0.
則O點到l的距離d=.又y0=x-2,
所以d==(+)≥2,
當(dāng)x0=0時取等號,所以O(shè)點到l距離的最小值為2.