新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 數(shù)列 突破點(diǎn)4 等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案

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1、 1 1突破點(diǎn)4等差數(shù)列、等比數(shù)列核心知識提煉提煉1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算(1)通項(xiàng)公式等差數(shù)列:ana1(n1)d;等比數(shù)列:ana1qn1.(2)求和公式等差數(shù)列:Snna1d;等比數(shù)列:Sn(q1)(3)性質(zhì)若mnpq,在等差數(shù)列中amanapaq;在等比數(shù)列中amanapaq.提煉2 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法:(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明an1an(nN*)為同一常數(shù);利用中項(xiàng)性質(zhì),即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明(nN*)為同一常數(shù);利用等比中項(xiàng),即證明aa

2、n1an1(n2).提煉3 數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解,利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范圍,從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化,進(jìn)而確定相應(yīng)的最值(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解,若求數(shù)列an的最大項(xiàng),則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項(xiàng),則可解不等式組求出n的取值范圍之后,再確定取得最值的項(xiàng) 高考真題回訪回訪1等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1(20xx全國卷)已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項(xiàng)和,若S84S4,則

3、a10()A.BC10 D12B公差為1,S88a118a128,S44a16.S84S4,8a1284(4a16),解得a1,a10a19d9.故選B.2(20xx全國卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1a3a53,則S5()A5B7 C.9D11A法一:a1a52a3,a1a3a53a33,a31,S55a35,故選A.法二:a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3,a12d1,S55a1d5(a12d)5,故選A.3(20xx全國卷)等差數(shù)列an的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則an的前n項(xiàng)和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.A由a2,a4,a8成等

4、比數(shù)列,得aa2a8,即(a16)2(a12)(a114),a12,Sn2n22nn2nn(n1)回訪2等比數(shù)列基本量的運(yùn)算4(20xx全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a1,a3a54(a41),則a2()A2 B1C. D.C法一:a3a5a,a3a54(a41),a4(a41),a4a440,a42.又q38,q2,a2a1q2,故選C.法二:a3a54(a41),a1q2a1q44(a1q31),將a1代入上式并整理,得q616q3640,解得q2,a2a1q,故選C.5(20xx全國卷)在數(shù)列an中,a12,an12an,Sn為an的前n項(xiàng)和若Sn126,則n_.6a12,an12an,數(shù)

5、列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,又Sn126,126,n6.熱點(diǎn)題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算題型分析:以等差(比)數(shù)列為載體,考查基本量的求解,體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),題型以客觀題為主,難度較小【例1】(1)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1a330,S4120,設(shè)bn1log3an,那么數(shù)列bn的前15項(xiàng)和為() 【導(dǎo)學(xué)號:04024053】A152 B135C80 D16(2)設(shè)an是首項(xiàng)為a1,公差為1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1()A2 B2C. D(1)B(2)D(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a1a330,a2

6、a4S4(a1a3)90,所以公比q3,首項(xiàng)a13,所以an3n,bn1log33n1n,則數(shù)列bn是等差數(shù)列,前15項(xiàng)的和為135,故選B.(2)由題意知S1a1,S22a11,S44a16,因?yàn)镾1,S2,S4成等比數(shù)列,所以SS1S4,即(2a11)2a1(4a16),解得a1,故選D.方法指津在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d(公比q),在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組,從而求出這兩個(gè)量,那么其他問題也就會迎刃而解這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法,這其中蘊(yùn)含著方程的思想提醒:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),務(wù)必注意公比q的取值范圍變式訓(xùn)練1 (1)

7、在數(shù)列an中,a11,an1an3,Sn為an的前n項(xiàng)和,若Sn51,則n_.(2)(20xx東北三省四市聯(lián)考)等比數(shù)列an中各項(xiàng)均為正數(shù),Sn是其前n項(xiàng)和,且滿足2S38a13a2,a416,則S4_.(1)6(2)30(1)由a11,an1an3,得an1an3,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列由Snn351,即(3n17)(n6)0,解得n6或n(舍)(2)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0),則解得所以S430.熱點(diǎn)題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)題型分析:該熱點(diǎn)常與數(shù)列中基本量的運(yùn)算綜合考查,熟知等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì),可以大大提高解題效率【例2】(1)(20xx南昌一模)若等比數(shù)

8、列的各項(xiàng)均為正數(shù),前4項(xiàng)的和為9,積為,則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為()【導(dǎo)學(xué)號:04024054】A. B.C1 D2(2)(20xx中原名校聯(lián)考)若數(shù)列an滿足d(nN*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列an為調(diào)和數(shù)列已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列,且x1x2x20200,則x5x16()A10 B20C30 D40(1)D(2)B(1)由題意得S49,所以.由a1a1qa1q2a1q3(aq3)2得aq3.由等比數(shù)列的性質(zhì)知該數(shù)列前4項(xiàng)倒數(shù)的和為2,故選D.(2)數(shù)列為調(diào)和數(shù)列,xn1xnd,xn是等差數(shù)列,x1x2x20200,x1x2020,又x1x20x5x16,x5x1620.方法指津1若an,bn均是等差數(shù)列,

9、Sn是an的前n項(xiàng)和,則mankbn,仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù)2若an,bn均是等比數(shù)列,則can(c0),|an|,anbn,manbn(m為常數(shù),m0),a,仍為等比數(shù)列3公比不為1的等比數(shù)列,其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列,且公比不變,即a2a1,a3a2,a4a3,成等比數(shù)列,且公比為q.4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比數(shù)列,其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差數(shù)列,公差為k2d.5若A2n1,B2n1分別為等差數(shù)列an,bn的前2n1項(xiàng)的和,則.變式訓(xùn)練2(1)已

10、知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足2a2a2a120,數(shù)列bn是等比數(shù)列,且b7a7,則b3b11等于()A16 B8 C.4 D2(2)(20xx武漢二模)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a5a6a4a718,則log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35(1)A(2)B(1)an是等差數(shù)列,a2a122a7,2a2a2a124a7a0.又a70,a74.又bn是等比數(shù)列,b3b11ba16.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6a4a79,所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510,故選B.

11、熱點(diǎn)題型3等差、等比數(shù)列的證明題型分析:該熱點(diǎn)在考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式的同時(shí),考查學(xué)生的推理論證能力【例3】(20xx全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22,S36.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn1,Sn,Sn2是否成等差數(shù)列解 (1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得2分解得q2,a124分故an的通項(xiàng)公式為an(2)n6分(2)由(1)可得Sn(1)n8分由于Sn2Sn1(1)n22Sn,10分故Sn1,Sn,Sn2成等差數(shù)列12分方法指津 判斷或證明數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列,一般是依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義,或利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)進(jìn)行判斷提醒:利用aa

12、n1an1(n2)來證明數(shù)列an為等比數(shù)列時(shí),要注意數(shù)列中的各項(xiàng)均不為0.變式訓(xùn)練3(20xx全國卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù)(1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由解 (1)證明:由題設(shè)知anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,2分由于an10,所以an2an4分(2)由題設(shè)知a11,a1a2S11,可得a21.5分由(1)知,a316分令2a2a1a3,解得4.7分故an2an4,由此可得a2n1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3.9分a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.11分所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列12分

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