新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 專題探究課6 概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題 理 北師大版

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1、 1

2、 1 六)　概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題 (對應學生用書第193頁) [命題解讀]　1.概率與統(tǒng)計是高考中相對獨立的一個內容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量．該類問題以應用題為載體，注重考查應用意識及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉化能力.2.概率問題的核心是概率計算，其中事件的互斥、對立、獨立是概率計算的核心，排列組合是進行概率計算的工具，統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得

3、及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征，但近兩年全國卷突出回歸分析與獨立性檢驗的考查.3.離散型隨機變量的分布列及其均值的考查是歷年高考的重點，難度多為中檔類題目，特別是與統(tǒng)計內容滲透，背景新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性． 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 以實際生活中的事例為背景，通過對相關數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析、抽象概括，作出估計、判斷，常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查，考查數(shù)據(jù)處理能力，分析問題，解決問題的能力． 　(20xx·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量

4、(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖1所示： 圖1 (1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關； 箱產量＜50 kg 箱產量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)． 附： P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 χ2＝. [解]　

5、(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估計值為0.66. 因此，事件A的概率估計值為0.62×0.66＝0.409 2. (2)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產量＜50 kg

6、箱產量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 χ2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關． (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50 kg的直方圖面積為(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱產量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值為 50＋≈52.35(kg)． [規(guī)律方法]　1. 獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關系，利用獨立性檢驗，能夠幫助我

7、們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預測，并能較為準確地給出這種判斷的可信度；具體做法是根據(jù)公式χ2＝，計算隨機變量的觀測值χ2，χ2值越大，說明“兩個變量有關系”的可能性越大. 2.頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù). (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)； (2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標是中位數(shù)； (3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和. [跟蹤訓練]　(20xx·成都二診)某項科研活動共進行了5次試驗，其數(shù)據(jù)如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第

8、3次 第4次 第5次 x 555 559 551 563 552 y 601 605 597 599 598 (1)從5次特征量y的試驗數(shù)據(jù)中隨機地抽取兩個數(shù)據(jù)，求至少有一個大于600的概率； (2)求特征量y關于x的線性回歸方程y＝bx＋a，并預測當特征量x為570時，特征量y的值． (附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b＝，a＝－b) [解]　(1)記“至少有一個大于600”為事件A． ∴P(A)＝1－＝. (2)＝＝556， ＝＝600. ∴b＝＝＝0.3. ∵a＝－b＝600－0.3×556＝433.2， ∴線性回歸方程為

9、y＝0.3x＋433.2. 當x＝570時，y＝0.3×570＋433.2＝604.2. ∴當x＝570時，特征量y的估計值為604.2. 常見概率模型的概率 幾何概型、古典概型、相互獨立事件與互斥事件的概率是高考的熱點，幾何概型主要以客觀題進行考查，求解的關鍵在于找準測度(面積、體積或長度)；相互獨立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進一步求分布列、均值與方差的基礎，求解該類問題要正確理解題意，準確判定概率模型，恰當選擇概率公式． 　在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲投進每個球的概率

10、都是. (1)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列及均值； (2)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率． [解]　(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6. 依條件可知，X～B，P(X＝k)＝C·· (k＝0,1,2,3,4,5,6)． 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P 故EX＝(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝＝4.或因為X～B6，，所以EX＝6×＝4. (2)設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A， 則P(A)＝C··＋C··＋＝，即教師甲在一場比

11、賽中獲獎的概率為. [規(guī)律方法]　首先判斷隨機變量X服從二項分布是問題解決的突破口，對于實際問題中的隨機變量X，如果能夠斷定它服從二項分布B(n，p)，則其概率、均值與方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，EX＝np，DX＝np(1－p)求得，因此，利用二項分布的相關公式，可以避免煩瑣的運算過程，提高運算速度和準確度. [跟蹤訓練]　甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，，，乙隊每人答對的概率都是，設每人回答正確與否相互之間沒

12、有影響，用ξ表示甲隊總得分． (1)求ξ＝2的概率； (2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率． [解]　(1)ξ＝2，則甲隊有兩人答對， 一人答錯， 故P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝； (2)設甲隊和乙隊得分之和為4為事件A，甲隊比乙隊得分高為事件B．設乙隊得分為η，則η～B. P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝3)＝××＝， P(η＝1)＝C··＝， P(η＝2)＝C··＝， P(η＝3)＝C＝， ∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1)＝×＋×＋×＝， P(AB)＝P(ξ＝3)·

13、P(η＝1)＝×＝， ∴所求概率為P(B|A)＝＝＝. 離散型隨機變量的分布列、期望和方差的應用 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差及應用是高考的一大熱點，每年均有解答題，屬于中檔題．復習中應強化應用題的理解與掌握，弄清隨機變量的所有取值是正確列隨機變量分布列和求均值與方差的關鍵，對概率的確定與轉化是解題的基礎，準確計算是解題的核心． 　(本小題滿分12分)(20xx·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰． 機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.① 現(xiàn)需決

14、策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面如圖2所示的柱狀圖：② 圖2 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，③ n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，④確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？ [審題指導] 題眼 挖掘關鍵信息 ① 看到這種條件，想到解題時可能要分類求解 ② 看到柱狀圖

15、想到頻數(shù)與頻率間的關系，想到橫軸中的取值含義 ③ 看到自變量X想到柱狀圖，想到X的所有可能取值 ④ 看到P(X≤n)≥0.5想到X和n的含義，想到(1)中的分布列 [規(guī)范解答]　(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2. 1分 由題意可知X的所有可能取值為16，17，18，19，20，21，22.⑤ 從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2

16、×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 4分 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 6分 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，⑥ 故n的最小值為19. 7分 (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當n＝19時，⑦ EY＝19×20

17、0×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040； 9分 當n＝20時，⑧ EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 11分 可知當n＝19時所需費用的期望值小于當n＝20時所需費用的期望值，故應選n＝19. 12分 [閱卷者說] 易錯點 防范措施 ⑤忽視X的實際含義導致取值錯誤，進而導致概率計算錯誤 細心審題，把握題干中的重要字眼，關鍵處加標記，同時理解X取每個值的含義 ⑥忽視P(X≤n)≥0.5的含義，導致

18、不會求解 結合(1)中的分布列及n的含義，推理求解便可 ⑦、⑧忽視n＝19與n＝20的含義導致無法解題 本題中購買零件所需費用包含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用 [規(guī)律方法]　解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路： (1)明確隨機變量可能取哪些值. (2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值. (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 易錯警示：明確離散型隨機變量的取值及事件間的相互關系是求解此類問題的關鍵. [跟蹤訓練]　某網站用“10分制”調查一社區(qū)人們的治安滿意度．現(xiàn)從調查人群中隨機抽取16名，

19、如圖3莖葉圖記錄了他們的治安滿意度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)． 圖3 (1)若治安滿意度不低于9.5分，則稱該人的治安滿意度為“極安全”．求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極安全”的概率； (2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)中任選3人，記X表示抽到“極安全”的人數(shù)，求X的分布列、均值與方差. 【導學號：79140382】 [解]　(1)設Ai表示所取3人中有i個人是“極安全”，且i＝0,1,2,3.至多有1人是“極安全”記為事件A，則A＝A0＋A1， 所以P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.

20、(2)由莖葉圖可知，16人中任取1人是“極安全”的概率 P＝＝，依題意，X～B， 則P(X＝k)＝C ，k＝0,1,2,3. 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 0 1 2 3 P EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 或EX＝np＝. DX＝np(1－p)＝3××＝. 概率與統(tǒng)計的綜合應用 概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．主要依托點是統(tǒng)計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決問題的關鍵，復習時要在這些圖表上下功夫，把這

21、些統(tǒng)計圖表的含義弄清楚，在此基礎上掌握好樣本特征數(shù)的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算． 　(20xx·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產經驗，可以認為這條生產線在正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)． (1)假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望； (2)一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，

22、需對當天的生產過程進行檢查． ①試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性； ②下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸： 9.95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04 10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95 經計算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查．剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01)． 附：若隨

23、機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

24、率為0.997 4，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.002 6，故X～B(16,0.002 6)． 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X的數(shù)學期望為EX＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)①如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的

25、方法是合理的． ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計值為＝9.97，σ的估計值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需對當天的生產過程進行檢查． 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估計值為10.02. x＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估計值為≈0.09. [規(guī)律方法]　統(tǒng)計與概率的綜合應用.

26、(1)正態(tài)分布：若變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為樣本的均值，正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝μ；σ為樣本數(shù)據(jù)的標準差，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性. (2)二項分布：若變量X～B(n，p)，則X的期望EX＝np，方差DX＝np(1－p). [跟蹤訓練]　(20xx·鄭州第二次質量預測)某食品公司研發(fā)生產一種新的零售食品，從產品中抽取100件作為樣本，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得到如圖4頻率分布直方圖： 圖4 (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)由頻率分布直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(200,12.22)，試計算數(shù)據(jù)落在(187.8,212.2

27、)上的概率； (3)設生產成本為y，質量指標為x，生產成本與質量指標之間滿足函數(shù)關系y＝假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，試計算生產該食品的平均成本． 參考數(shù)據(jù)： 若Z～N(μ，δ2)，則P(μ－δ